Polarizzazione non lineare
Studiando la propagazione di onde e.m. in mezzi non lineari si introduce il vettore di polarizzazione non lineare al secondo ordine definito come:
$P_{i}^((NL))=\epsilon_0\sum_{jk}\chi_{ijk}^((2))E_jE_k$
Inoltre si ha che $\vec\nabla\cdot\vecP^((NL))=0$ perchè ho un onda uniforme trasversa...la mia domanda è:
se volessi calcolare esplicitamente la divergenza e verificare effettivamente che sia nulla come procedo?(pura curiosità matematica)
$P_{i}^((NL))=\epsilon_0\sum_{jk}\chi_{ijk}^((2))E_jE_k$
Inoltre si ha che $\vec\nabla\cdot\vecP^((NL))=0$ perchè ho un onda uniforme trasversa...la mia domanda è:
se volessi calcolare esplicitamente la divergenza e verificare effettivamente che sia nulla come procedo?(pura curiosità matematica)
Risposte
Se hai un campo uniforme la divergenza sarà sempre nulla, questo è ovvio. La derivata di una costante è zero. Comunque in genere si procede al contrario. Ciò che è più facile ottenere è già la polarizzazione, che poi si usa per ricavare le componenti del tensore suscettivitá.
si ok la mia domanda era però di tipo prettamente matematico...cioè dato il vettore di polarizzazione definito sopra a livello esplicito se faccio la divergenza in che modo ottengo zero?
Dovrei fare il seguente prodotto scalare in notazione di Einstein:
$\vec\nabla\cdot\vecP^((NL))=\delta_{ij}\partial^jP_i^((NL))$
Dovrei fare il seguente prodotto scalare in notazione di Einstein:
$\vec\nabla\cdot\vecP^((NL))=\delta_{ij}\partial^jP_i^((NL))$
Non hai capito, il campo è uniforme, le componenti del campo elettricosono costanti. È banale, sono nulle tutte le derivate di tutte le componenti. Non c'è niente da calcolare.
a me invece sembra tutt'altro che uniforme se considero un campo elettrico generico del tipo:
$\vecE(\vecr,t)=\vecE_0(\vecr)e^(i(\veck\vecr-wt))$
$\vecE(\vecr,t)=\vecE_0(\vecr)e^(i(\veck\vecr-wt))$
Scusami, sennò sembra che mi stai pigliando in giro
. Hai detto tu che il campo è uniforme, mica io.

"delbi":
perchè ho un onda uniforme trasversa...la mia domanda è:se volessi calcolare esplicitamente la divergenza e verificare effettivamente che sia nulla come procedo?
ok mi spiego meglio...il mio dubbio è nato studiando l'amplificazione parametrica...allego 2 immagini:


Nell'equazione B.9 mi dice che $\vec\nabla\vecP^(NL)=0$ perchè il campo è uniforme e trasverso però poi considero onde del tipo B.12 e non capisco perchè mi viene nulla quella divergenza...per quello volevo provare a fare un calcolo esplicito per verificare questa cosa.
(p.s. sicuramente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua)


Nell'equazione B.9 mi dice che $\vec\nabla\vecP^(NL)=0$ perchè il campo è uniforme e trasverso però poi considero onde del tipo B.12 e non capisco perchè mi viene nulla quella divergenza...per quello volevo provare a fare un calcolo esplicito per verificare questa cosa.
(p.s. sicuramente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua)
Per curiosità, che testo è? Secondo me lì è scritto nel modo più ambiguo possibile. Posto ovviamente che il ragionamento matematico e fisico è chiaro. Non è nulla la divergenza del campo perché è nulla quella della polarizzazione, ma il contrario.
La divergenza del campo elettrico come sai è legata al teorema di Gauss. Dicendo "in un'onda uniforme trasversa" credo intenda semplicemente dire che non ci sono sorgenti di campo elettrico lì dove stai osservando ma c'è solo l'onda che si propaga, quindi il flusso attraverso una superficie chiusa è nullo, come è nulla appunto la divergenza.
In sostanza il passaggio logico è dire che, avendo una densità di carica $\rho=0$ risulta $Div[E]=0$ e dato che è pure uguale alla $Div[P^(NL)]$ anche essa è nulla. Ma sta solo divertendosi con la matematica, poteva fermarsi imponendo la divergenza nulla del campo elettrico nel calcolo di $rot(rot(E))$ e sostituirvi la relazione già trovata alla pagina precedente derivante dalle equazioni di Maxwell che poi è quello che fa.
La divergenza del campo elettrico come sai è legata al teorema di Gauss. Dicendo "in un'onda uniforme trasversa" credo intenda semplicemente dire che non ci sono sorgenti di campo elettrico lì dove stai osservando ma c'è solo l'onda che si propaga, quindi il flusso attraverso una superficie chiusa è nullo, come è nulla appunto la divergenza.
In sostanza il passaggio logico è dire che, avendo una densità di carica $\rho=0$ risulta $Div[E]=0$ e dato che è pure uguale alla $Div[P^(NL)]$ anche essa è nulla. Ma sta solo divertendosi con la matematica, poteva fermarsi imponendo la divergenza nulla del campo elettrico nel calcolo di $rot(rot(E))$ e sostituirvi la relazione già trovata alla pagina precedente derivante dalle equazioni di Maxwell che poi è quello che fa.
ah ecco allora il fatto che $\vec\nabla\cdotP^(NL)=0$ è solo una conseguenza logica di $\vec\nabla\cdot\vecE=0$ in assenza di densità di cariche free...perfetto capito grazie
p.s. il libro è "Quantum Optics an introduction, Mark Fox"
p.s. il libro è "Quantum Optics an introduction, Mark Fox"
Mai sentito nominare. Comunque l'importante è aver svelato l'arcano. Anzi visto che ormai ci sono, per una dimostrazione ancora più semplice io farei così.
Partendo dall'equazione delle onde $\nabla^2E=\epsilon\mu_0(\partial^2E)/(\partialt^2)$ esprimerei $\epsilon=\epsilon_0\epsilon_r=\epsilon_0(1+\chi)$. Se sostituisci e consideri che $P=\epsilon_0\chiE$ ti torna l'equazione finale solo che invece di $P^(NL)$ hai $P$. Sembra un voler barare, perché sto imponendo una relazione lineare per la polarizzazione, ma in realtà sto procedendo a ritroso, per separare i due addendi che si erano "fusi" nella risoluzione dell'equazione delle onde nel caso lineare. A questo punto basta interpretare la polarizzazione come la parte di ordine superiore che non può più sommarsi direttamente ma va considerata a sé. In genere studiare gli ordini superiori è utile quando si hanno campi particolarmente intensi che causano una variazione della suscettività non più esprimibile come costante ma come componenti del tensore che avevi scritto all'inizio.
Partendo dall'equazione delle onde $\nabla^2E=\epsilon\mu_0(\partial^2E)/(\partialt^2)$ esprimerei $\epsilon=\epsilon_0\epsilon_r=\epsilon_0(1+\chi)$. Se sostituisci e consideri che $P=\epsilon_0\chiE$ ti torna l'equazione finale solo che invece di $P^(NL)$ hai $P$. Sembra un voler barare, perché sto imponendo una relazione lineare per la polarizzazione, ma in realtà sto procedendo a ritroso, per separare i due addendi che si erano "fusi" nella risoluzione dell'equazione delle onde nel caso lineare. A questo punto basta interpretare la polarizzazione come la parte di ordine superiore che non può più sommarsi direttamente ma va considerata a sé. In genere studiare gli ordini superiori è utile quando si hanno campi particolarmente intensi che causano una variazione della suscettività non più esprimibile come costante ma come componenti del tensore che avevi scritto all'inizio.