Piccolo esercizio sui condensatori
Salve forum,
Sto studiando i condensatori e la capacità elettrica sul libro Fisica 2 di Halliday, Resnick e Krane e, affrontando gli esercizi, credo di aver incontrato un errore o, meglio, una domanda posta male che non ha risposta. Non ne sono sicuro, per cui chiedo conferma a voi.
Riporto la figura del testo
Il testo, presupponendo che ogni condensatore abbia stessa capacità $c$, chiede testualmente "quale disposizione realizzi la massima capacità equivalente". Nel testo è spiegato che, dati $n$ condensatori connessi in parallelo o in serie, le loro capacità equivalenti sono rispettivamente
[tex]C_{eq_{par}}=\sum_i^n\,c_i \qquad e \qquad C_{eq_{ser}}=\frac{\prod_i^n\,c_i}{\sum_i^n\,c_i}[/tex],
quindi, applicando queste regole ai quattro circuiti in figura, verrebbe
[tex]C_{eq_{A}}=3c,\qquad
C_{eq_{B}}=\frac{2}{3}c,\qquad
C_{eq_{C}}=\frac{3}{2}c,\qquad
C_{eq_{D}}=\frac{1}{3}c^2[/tex]
E qui il dubbio. Se io non conosco $c$, ma soltanto che i condensatori hanno tutti la stessa capacità, come posso stabilire a priori quale capacità equivalente sarà superiore? Cioè, formalizzando la cosa, se ho $n$ condensatori tutti di capacità $c$ in parallelo, le capacità equivalente è pari a $C_{eq_{par}}=nc$, mentre in serie hanno capacità equivalente $C_{eq_{ser}}=\frac{1}{n}c^{n-1}$, correggetemi se sbaglio. Indipendentemente da $n$, quindi la capacità equivalente in parallelo è sempre una retta e quella in serie ha andamento parabolico, ma stabilire se l'una è più grande dell'altra senza conoscere $c$ è impossibile. Infatti, imponendo $nc=\frac{1}{n}c^{n-1}$ si arriva a $c=^{n-2}\sqrt{n^2}$ (radice (n-2)esima di $n^2$, non veniva con TeX), per cui la $C_{eq_{par}}$ è maggiore della $C_{eq_{ser}}$ solo per $c<^{n-2}\sqrt{n^2}$, ma per $c>^{n-2}\sqrt{n^2}$ la situazione si ribalta.
So che probabilmente è una questione molto banale, ma... ho sbagliato qualcosa io, o la domanda, semplicemente, è mal posta?
A voi!
Sto studiando i condensatori e la capacità elettrica sul libro Fisica 2 di Halliday, Resnick e Krane e, affrontando gli esercizi, credo di aver incontrato un errore o, meglio, una domanda posta male che non ha risposta. Non ne sono sicuro, per cui chiedo conferma a voi.
Riporto la figura del testo
Il testo, presupponendo che ogni condensatore abbia stessa capacità $c$, chiede testualmente "quale disposizione realizzi la massima capacità equivalente". Nel testo è spiegato che, dati $n$ condensatori connessi in parallelo o in serie, le loro capacità equivalenti sono rispettivamente
[tex]C_{eq_{par}}=\sum_i^n\,c_i \qquad e \qquad C_{eq_{ser}}=\frac{\prod_i^n\,c_i}{\sum_i^n\,c_i}[/tex],
quindi, applicando queste regole ai quattro circuiti in figura, verrebbe
[tex]C_{eq_{A}}=3c,\qquad
C_{eq_{B}}=\frac{2}{3}c,\qquad
C_{eq_{C}}=\frac{3}{2}c,\qquad
C_{eq_{D}}=\frac{1}{3}c^2[/tex]
E qui il dubbio. Se io non conosco $c$, ma soltanto che i condensatori hanno tutti la stessa capacità, come posso stabilire a priori quale capacità equivalente sarà superiore? Cioè, formalizzando la cosa, se ho $n$ condensatori tutti di capacità $c$ in parallelo, le capacità equivalente è pari a $C_{eq_{par}}=nc$, mentre in serie hanno capacità equivalente $C_{eq_{ser}}=\frac{1}{n}c^{n-1}$, correggetemi se sbaglio. Indipendentemente da $n$, quindi la capacità equivalente in parallelo è sempre una retta e quella in serie ha andamento parabolico, ma stabilire se l'una è più grande dell'altra senza conoscere $c$ è impossibile. Infatti, imponendo $nc=\frac{1}{n}c^{n-1}$ si arriva a $c=^{n-2}\sqrt{n^2}$ (radice (n-2)esima di $n^2$, non veniva con TeX), per cui la $C_{eq_{par}}$ è maggiore della $C_{eq_{ser}}$ solo per $c<^{n-2}\sqrt{n^2}$, ma per $c>^{n-2}\sqrt{n^2}$ la situazione si ribalta.
So che probabilmente è una questione molto banale, ma... ho sbagliato qualcosa io, o la domanda, semplicemente, è mal posta?
A voi!
Risposte
d=C/3
Ma se poni C=1 quale capacità equivalente sarà maggiore di tutti? penso sia banale la soluzione....
Ma se poni C=1 quale capacità equivalente sarà maggiore di tutti? penso sia banale la soluzione....
Non mi sembra molto banale la soluzione. Non posso porre c=1 come mi pare, perchè il testo prevede soltanto che i condensatori abbiano stessa capacità e richiede una risposta che dovrebbe dipendere soltanto dalla disposizione dei condensatori stessi, non dalle loro capacità. Eppure, come scrivevo prima, la risposta dipende da c, poichè $3c>\frac{1}{3}c^2$ se e soltanto se $c<9$, ma per $c>9$ il peso di $c^2$ presente in $C_{eq_{D}}$ inizia a farsi sentire e supera $C_{eq_{A}}$, per cui la risposta alla domanda "quale disposizione realizza la massima capacità equivalente?" dovrebbe essere
"La disposizione A (tutto in parallelo) per $09$",
O sbaglio?
"La disposizione A (tutto in parallelo) per $0
O sbaglio?
Io la interpreto diversamente....
Innanzitutto la d=c/3 (rifai bene i conti
). La traccia dice quale disposizione (circuito) ha la massica capacità equivalente. Se poni c=11 (quindi c>9) hai: A=33, B=7.33 , C=16,5, D=3.66....quindi D è la minore capacità NON la massima. Per me la soluzione è quella banale, però vediamo cosa dicono gli altri
EDIT:
Rileggendo bene quello che hai scritto stiamo ragionando allo stesso modo....Solo che tu sbagli nel considerare d=$c^2$/3, in questo caso il tuo ragionamento è corretto; io invece ragiono considerando d=c/3 che è CORRETTO
dim.
$frac{1}{c_e}=frac{1}{c_1}+frac{1}{c_2}+frac{1}{c_3}$
sapendo che $c_1$=$c_2$=$c_3$=$c$
allora $frac{1}{c_e}=frac{3}{c}$=>$c_e$=$frac{c}{3}$
Innanzitutto la d=c/3 (rifai bene i conti
). La traccia dice quale disposizione (circuito) ha la massica capacità equivalente. Se poni c=11 (quindi c>9) hai: A=33, B=7.33 , C=16,5, D=3.66....quindi D è la minore capacità NON la massima. Per me la soluzione è quella banale, però vediamo cosa dicono gli altri EDIT:
Rileggendo bene quello che hai scritto stiamo ragionando allo stesso modo....Solo che tu sbagli nel considerare d=$c^2$/3, in questo caso il tuo ragionamento è corretto; io invece ragiono considerando d=c/3 che è CORRETTO
dim.
$frac{1}{c_e}=frac{1}{c_1}+frac{1}{c_2}+frac{1}{c_3}$
sapendo che $c_1$=$c_2$=$c_3$=$c$
allora $frac{1}{c_e}=frac{3}{c}$=>$c_e$=$frac{c}{3}$
Mi scuso profondamente per aver sbagliato una cosa del genere. Ho capito il problema e spiego cosa mi ha fatto sbagliare.
La capacità equivalente in serie, in genere, è espressa semplicemente come $\frac{1}{C_{eq}}=\sum_i^n\frac{1}{c_i}$ mentre io, volendo calcolare direttamente $C_{eq}$, avevo ricavato una formula erronea, cioè $C_{eq}=\frac{\prod_i^n c_i}{\sum_i^n c_i}$, tra l'altro anche piuttosto scomoda dal punto di vista formale. Ora mi sono reso conto che sia molto meglio utilizzare la prima formula di cui sopra e poi calcolare l'inverso.
Comunque, a voler formalizzare come si deve, la formulazione per la capacità equivalente con $n$ condensatori in serie, se non vado errato, dovrebbe assomigliare a
[size=150][tex]C_{eq_{serie}}=\frac{\prod_i^n\,c_i}{\sum_i^n(\frac{1}{c_i}\prod_j^n\,c_j)}[/tex][/size]
Ne convengo che sia piuttosto pesante e superflua, data la prima formula scritta, ma almeno ora funziona correttamente. Infatti, introducendo $n=3$ e $c_1=c_2=c_3=c$, il risultato è
[tex]C_{eq_D}=\frac{c\cdot c\cdot c}{\frac{c\cdot c\cdot c}{c}+\frac{c\cdot c\cdot c}{c}+\frac{c\cdot c\cdot c}{c}}=\frac{c}{3}[/tex],
per cui
[tex]C_{eq_A}>C_{eq_D} \quad \Rightarrow \quad 3c>\frac{c}{3} \qquad \forall c \in \mathbb{R}[/tex]
Si, era banale, ma grazie comunque dell'aiuto!
La capacità equivalente in serie, in genere, è espressa semplicemente come $\frac{1}{C_{eq}}=\sum_i^n\frac{1}{c_i}$ mentre io, volendo calcolare direttamente $C_{eq}$, avevo ricavato una formula erronea, cioè $C_{eq}=\frac{\prod_i^n c_i}{\sum_i^n c_i}$, tra l'altro anche piuttosto scomoda dal punto di vista formale. Ora mi sono reso conto che sia molto meglio utilizzare la prima formula di cui sopra e poi calcolare l'inverso.
Comunque, a voler formalizzare come si deve, la formulazione per la capacità equivalente con $n$ condensatori in serie, se non vado errato, dovrebbe assomigliare a
[size=150][tex]C_{eq_{serie}}=\frac{\prod_i^n\,c_i}{\sum_i^n(\frac{1}{c_i}\prod_j^n\,c_j)}[/tex][/size]
Ne convengo che sia piuttosto pesante e superflua, data la prima formula scritta, ma almeno ora funziona correttamente. Infatti, introducendo $n=3$ e $c_1=c_2=c_3=c$, il risultato è
[tex]C_{eq_D}=\frac{c\cdot c\cdot c}{\frac{c\cdot c\cdot c}{c}+\frac{c\cdot c\cdot c}{c}+\frac{c\cdot c\cdot c}{c}}=\frac{c}{3}[/tex],
per cui
[tex]C_{eq_A}>C_{eq_D} \quad \Rightarrow \quad 3c>\frac{c}{3} \qquad \forall c \in \mathbb{R}[/tex]
Si, era banale, ma grazie comunque dell'aiuto!
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