Piccolo chiarimento Legge di Biot-Savart
Salve ragazzi, studiando i campi magnetici ho analizzato il campo di un filo rettilineo di lunghezza pressoché infinita e mi sono imbattuto nella legge di Biot-Savart. La parte dimostrativa del Mazzoldi è un pò prolissa e gioca molto su considerazioni di natura geometrica, mi scuso se allego un link esterno ma scrivere tutte le relazioni mi farebbe perdere parecchio tempo.
http://polysense.poliba.it/wp-content/uploads/2019/04/CAPITOLO-7.-Teorema-Ampere.pdf
L'intera spiegazione inizia dalla slide (o pagina) numero 4 e finisce alla 6. L'unica cosa che non riesco a capire è perchè, considerando un filo di lunghezza infinita, e quindi da $-oo$ a $+oo$, questo equivalga ad integrare tra $0$ e $\pi$. Mi sono imbattuto in altri casi simili negli esercizi in cui venivano scelti, ad esempio, $0$ e $\pi/2$ come estremi di integrazione. Grazie di cuore in anticipo
http://polysense.poliba.it/wp-content/uploads/2019/04/CAPITOLO-7.-Teorema-Ampere.pdf
L'intera spiegazione inizia dalla slide (o pagina) numero 4 e finisce alla 6. L'unica cosa che non riesco a capire è perchè, considerando un filo di lunghezza infinita, e quindi da $-oo$ a $+oo$, questo equivalga ad integrare tra $0$ e $\pi$. Mi sono imbattuto in altri casi simili negli esercizi in cui venivano scelti, ad esempio, $0$ e $\pi/2$ come estremi di integrazione. Grazie di cuore in anticipo
Risposte
Semplicemente perché l’angolo $\theta$ presenta quell’intervallo di variabilità fra quei due estremi infiniti del conduttore; se il filo non fosse infinito ma di lunghezza finita, ovviamente, l’intervallo sarebbe diverso.
Ciao Renzo mi scuso ma non ho capito 
Una volta espresso $s$ in funzione di $\theta$ [nota]Conveniente, vista la presenza del prodotto vettoriale e quindi del $\sin\theta$.[/nota], andrai a effettuare un cambio di variabile (da $s$ a $\theta$) e di conseguenza un cambio degli estremi di integrazione, che passeranno da $s=-\infty$ a $\theta=0$ e da $s=+\infty$ a $\theta=\pi$.
perchè proprio $0$ e $\pi$
E' proprio la scelta di questi estremi di integrazione che non riesco a capire, che variano in base a qualcosa che ancora mi sfugge
E' proprio la scelta di questi estremi di integrazione che non riesco a capire, che variano in base a qualcosa che ancora mi sfugge
Ma l'hai guardata la figura di quel pdf?
Hai provato ad immaginare come varia quell'angolo $\theta$ andando a muovere quel particolare punto di ordinata $s$ relativo al generico tratto infinitesimo $ds$, dall'estremo infinito inferiore a quello infinito superiore del conduttore?
Hai provato ad immaginare come varia quell'angolo $\theta$ andando a muovere quel particolare punto di ordinata $s$ relativo al generico tratto infinitesimo $ds$, dall'estremo infinito inferiore a quello infinito superiore del conduttore?
Devo immaginare di variare il punto $P$, giusto?
No, ho sbagliato a scrivere P, non avevo visto che la P era già usata, rileggi il mio post.
ok ti ringrazio 
Non ho ancora capito, ma vediamo se rileggendo più volte mi viene in mente la soluzione...
Non ho ancora capito, ma vediamo se rileggendo più volte mi viene in mente la soluzione...
Se non ti piace ricavartelo per via geometrica, puoi anche farlo più rigorosamente per via analitica, dalla funzione $s=f(\theta)$; suppongo che un cambio di variabile ti sia già capitato più volte nello studio, no?
PS O meglio ancora
$ \theta =g(s)= {(\pi-tan^-1(R/s) \text{ se } s\ge 0 ), (-tan^-1(R/s) \qquad \text{ se } s<0):} $
PS O meglio ancora
$ \theta =g(s)= {(\pi-tan^-1(R/s) \text{ se } s\ge 0 ), (-tan^-1(R/s) \qquad \text{ se } s<0):} $
Sto provando ad immaginare la cosa per via geometrica, perchè son sicuro che sia di gran lunga più facile così. Mi sono imbattuto in un altro esercizio in cui l'estremo inferiore vale $\pi/2$ e quello superiore $0$, ma la cosa non mi è chiara per niente mannaggia 
Hai letto il PS del mio precedente messaggio?
Ciò che mi hai detto nel PS ha validità generale o vale solo in questo specifico caso di filo rettilineo indefinito?
Ovviamente vale solo per il caso di filo rettilineo, che poi sia infinito o finito, ovvero che si estenda da s=a a s=b, quelle relazioni valgono ancora.
Mi scuso se insisto ancora ma non sono soddisfatto se non riesco a capire la geometria che sta dietro a tutto questo. Mi trovo in questo caso:
Il tratto orizzontale non contribuisce perché $|ds \times u_r| = 0$ con $u_r$ versore della direzione che va dal pezzettino di filo che consideriamo al punto $O$. Il campo dovuto al tratto di semicirconferenza l'ho calcolato con successo usando la prima legge di Laplace. Il mio problema su cui sto sbattendo la testa giornalmente è il tratto rettilineo verticale. Questa volta, in teoria, rispetto al caso contemplato all'inizio di questo topic, in cui il filo era rettilineo e di lunghezza infinita, avremo un filo a "semiretta" dato che avrà origine in un certo punto $P$ di ordinata $0$ e con una certa ascissa $x$. Vi chiedo per l'ultima volta, se vi è possibile, di aiutarmi a capire la natura geometrica del problema, altrimenti mi arrangerò in qualche altro modo, ad esempio usando le relazioni suggerite da Renzo senza metterle in discussione...
Spulciando un pò in rete ho trovato la seguente risposta di @RenzoDF
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 8#p8258331
Ed è proprio quello che mi serve capire, perchè in tutti i problemi come questi viene sempre applicata la stessa relazione essendo i fili semi-infiniti.
Il tratto orizzontale non contribuisce perché $|ds \times u_r| = 0$ con $u_r$ versore della direzione che va dal pezzettino di filo che consideriamo al punto $O$. Il campo dovuto al tratto di semicirconferenza l'ho calcolato con successo usando la prima legge di Laplace. Il mio problema su cui sto sbattendo la testa giornalmente è il tratto rettilineo verticale. Questa volta, in teoria, rispetto al caso contemplato all'inizio di questo topic, in cui il filo era rettilineo e di lunghezza infinita, avremo un filo a "semiretta" dato che avrà origine in un certo punto $P$ di ordinata $0$ e con una certa ascissa $x$. Vi chiedo per l'ultima volta, se vi è possibile, di aiutarmi a capire la natura geometrica del problema, altrimenti mi arrangerò in qualche altro modo, ad esempio usando le relazioni suggerite da Renzo senza metterle in discussione...
Spulciando un pò in rete ho trovato la seguente risposta di @RenzoDF
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 8#p8258331
Ed è proprio quello che mi serve capire, perchè in tutti i problemi come questi viene sempre applicata la stessa relazione essendo i fili semi-infiniti.
"MrEngineer":
... Mi trovo in questo caso: ... Il mio problema su cui sto sbattendo la testa giornalmente è il tratto rettilineo verticale.
Supponendo tu stia cercando il campo nell'origine di quel sistema, ti chiedo: quel tratto verticale è di lunghezza finita h?
Se la risposta è sì, dovrai integrare il contributo infinitesimo del campo, da s=-h a s=0 e di conseguenza, ricordando quanto detto nel thread, da \(\theta_i=\tan^{-1}(R/h)\) a \(\theta_f=\pi/2\); se la risposta è no, ovvero con h infinito, usando la stessa relazione, otterrai per il primo estremo \(\theta_i=0\), e in questo caso il campo sarà ovviamente la metà di quello generato da un filo infinito.
"MrEngineer":
... Il campo dovuto al tratto di semicirconferenza l'ho calcolato con successo usando la prima legge di Laplace.
Per il contributo di un arco di circonferenza nel suo centro, ti conviene ricordare che puoi ottenerlo come frazione \(\alpha/(2\pi)\) del campo al centro di una spira circolare, senza dover ogni volta scomodare Laplace.
Riprendo questo topic per non doverne riaprire un altro. Dal teorema di Ampere (che sicuramente conosceremo tutti) il verso della linea chiusa $\gamma$ determina il verso delle correnti concatenate positivamente o negativamente. Sto avendo un piccolo dubbio.
[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
CV 1 19 17 21 29 45 38 48 21 38 13 32 17 25 15 21 15 19 16 19 16 0
FCJ 2 0 3 2 0
LI 17 39 52 10 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 29 19 4 3 0 0 0 * I1
TY 22 49 4 3 0 0 0 *
MC 21 15 0 0 074
LI 47 28 39 35 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 31 34 41 25 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
CV 0 25 39 41 25 50 16 53 22 35 38 28 43 2
FCJ 0 0 3 2 1
TY 43 30 4 3 0 0 2 * I2
TY 37 51 4 3 0 0 2 *[/fcd]
Sia $I_1$ che $I_2$ attraversano la curva $\gamma$ più volte. $I_2$ la attraversa in due versi opposti dunque il suo contributo in termini di correnti concatenate sarà nullo. $I_1$ la attraversa più volte nello stesso verso. Ma, in questo caso, non è importante quante volte la curva viene attraversata ma considero solo il contributo dovuto ai versi della corrente, giusto? Quindi, per capirci, $I_1$ sarà concatenata negativamente mentre $I_2$ non verrà conteggiata dico bene?
[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
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Sia $I_1$ che $I_2$ attraversano la curva $\gamma$ più volte. $I_2$ la attraversa in due versi opposti dunque il suo contributo in termini di correnti concatenate sarà nullo. $I_1$ la attraversa più volte nello stesso verso. Ma, in questo caso, non è importante quante volte la curva viene attraversata ma considero solo il contributo dovuto ai versi della corrente, giusto? Quindi, per capirci, $I_1$ sarà concatenata negativamente mentre $I_2$ non verrà conteggiata dico bene?
"MrEngineer":
$I_1$ la attraversa più volte nello stesso verso.
Perchè "più volte"?
Nel senso che la attraversa nei due punti in verde.
[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
CV 1 19 17 21 29 45 38 48 21 38 13 32 17 25 15 21 15 19 16 19 16 0
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SA 45 16 7[/fcd]
Ah, no. Sei del tutto fuori strada. Dire che una corrente è concatenata ad una linea, non vuol dire che interseca la linea, ma che attraversa una superficie che ha la linea come contorno.
Mi dirai che di superfici che hanno la linea come contorno ce ne sono tante. Giusto. Ma, sotto certe ipotesi, il risultato è indipendente dalla superficie scelta.
Le ipotesi occorrenti non te le so dire di preciso, ma certamente se hai una corrente stazionaria è così.
Del resto, il termine aggiunto da Maxwell alla sua terza equazione, che corrisponde alla corrente di spostamento, serve ad aggiustare questi problemi, che nascono quando differenti scelte della superficie appoggiata al circuito danno luogo a differenti correnti concatenate. Hai presente? Se hai un circuito che contiene un condensatore, e una linea che circonda il filo, (come qui) tu puoi pensare ad una superficie, appoggiata alla linea, che è attraversata dal filo; ma se deformi la superficie, in modo da farla passare nello spazio fra le armature, non è attraversata da nessun filo, quindi da nessuna corrente, mentre la circuitazione di $vec B$, rimane uguale, pur di tener conto, oltre alla corrente "normale", anche di quella di spostamento, $epsi_0 (dPhi(vecE))/(dt)$
Mi dirai che di superfici che hanno la linea come contorno ce ne sono tante. Giusto. Ma, sotto certe ipotesi, il risultato è indipendente dalla superficie scelta.
Le ipotesi occorrenti non te le so dire di preciso, ma certamente se hai una corrente stazionaria è così.
Del resto, il termine aggiunto da Maxwell alla sua terza equazione, che corrisponde alla corrente di spostamento, serve ad aggiustare questi problemi, che nascono quando differenti scelte della superficie appoggiata al circuito danno luogo a differenti correnti concatenate. Hai presente? Se hai un circuito che contiene un condensatore, e una linea che circonda il filo, (come qui) tu puoi pensare ad una superficie, appoggiata alla linea, che è attraversata dal filo; ma se deformi la superficie, in modo da farla passare nello spazio fra le armature, non è attraversata da nessun filo, quindi da nessuna corrente, mentre la circuitazione di $vec B$, rimane uguale, pur di tener conto, oltre alla corrente "normale", anche di quella di spostamento, $epsi_0 (dPhi(vecE))/(dt)$
Grazie Mgrau!
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