Piccole Oscillazioni in Meccanica Lagrangiana
Non so se ho ben capito l'argomento. Potete dirmi se queste considerazioni (molto sintetiche) sono giuste?
In sistemi con vincoli indipendenti dal tempo, nei punti di equilibrio \(q_i^0\) si ha che \(\frac{\partial }{\partial q_i}V(q_i^0)=0\).
Considerando per semplicità sistemi con due gradi di libertà ed introducendo $\eta_i = q_i-q_i^0$ si ha, attorno all'equilibrio (sviluppando in serie di Taylor),
\[T\simeq \frac{1}{2} \sum_{ij} T_{i,j}\dot{\eta_i} \dot{\eta_j}\]
\[V \simeq V_0 +\frac{1}{2} \sum_{ij} V_{i,j}\eta_i \eta_j\]
dove $T_{ij}$ e $V_{ij}$ sono matrici simmetriche e $V_{ij}=\frac{\partial^2 V}{\partial q_i \partial q_j}(q_1^0,q_2^0)$. Se $V_{ij}$ è definita positiva (negativa) il punto è di equilibrio stabile (instabile). La lagrangiana, dunque, è
\[L=\frac{1}{2} \sum_{ij}(T_{i,j}\dot{\eta_i} \dot{\eta_j}- V_{i,j}\eta_i \eta_j)\]
e le equazioni del moto
\[ \sum_{j} (T_{ij} \ddot{\eta_j} +V_{ij} \eta_j)=0\]
le cui soluzioni sono (attorno ai punti di equilibrio stabile, dove possono avvenire piccole oscillazioni)
[size=150][HO DUBBI IN PARTICOLARE DA QUI][/size]
\[\eta_i=\alpha \cos{\Omega_+ t}+\beta \sin{\Omega_+ t}\]
\[\eta_j=\gamma\cos{\Omega_- t}+\delta \sin{\Omega_- t}\]
dove $\Omega_{\pm}$, dette autofrequenze, sono le soluzioni dell'equazione secolare (nell'incognita $\Omega^2$)
\[ \det [ -\Omega^2 T_{ij}+V_{ij}]=0\]
e le costanti $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ si ricavano dalle quattro condizioni iniziali su $q_1$ e $q_2$.
In sistemi con vincoli indipendenti dal tempo, nei punti di equilibrio \(q_i^0\) si ha che \(\frac{\partial }{\partial q_i}V(q_i^0)=0\).
Considerando per semplicità sistemi con due gradi di libertà ed introducendo $\eta_i = q_i-q_i^0$ si ha, attorno all'equilibrio (sviluppando in serie di Taylor),
\[T\simeq \frac{1}{2} \sum_{ij} T_{i,j}\dot{\eta_i} \dot{\eta_j}\]
\[V \simeq V_0 +\frac{1}{2} \sum_{ij} V_{i,j}\eta_i \eta_j\]
dove $T_{ij}$ e $V_{ij}$ sono matrici simmetriche e $V_{ij}=\frac{\partial^2 V}{\partial q_i \partial q_j}(q_1^0,q_2^0)$. Se $V_{ij}$ è definita positiva (negativa) il punto è di equilibrio stabile (instabile). La lagrangiana, dunque, è
\[L=\frac{1}{2} \sum_{ij}(T_{i,j}\dot{\eta_i} \dot{\eta_j}- V_{i,j}\eta_i \eta_j)\]
e le equazioni del moto
\[ \sum_{j} (T_{ij} \ddot{\eta_j} +V_{ij} \eta_j)=0\]
le cui soluzioni sono (attorno ai punti di equilibrio stabile, dove possono avvenire piccole oscillazioni)
[size=150][HO DUBBI IN PARTICOLARE DA QUI][/size]
\[\eta_i=\alpha \cos{\Omega_+ t}+\beta \sin{\Omega_+ t}\]
\[\eta_j=\gamma\cos{\Omega_- t}+\delta \sin{\Omega_- t}\]
dove $\Omega_{\pm}$, dette autofrequenze, sono le soluzioni dell'equazione secolare (nell'incognita $\Omega^2$)
\[ \det [ -\Omega^2 T_{ij}+V_{ij}]=0\]
e le costanti $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ si ricavano dalle quattro condizioni iniziali su $q_1$ e $q_2$.
Risposte
Nel caso generale, le seguenti posizioni:
$[eta_1=alphacosOmega_+t+betasinOmega_+t] ^^ [eta_2=gammacosOmega_(-)t+deltasinOmega_(-)t]$
non sono corrette. Si potrebbero porre se e solo se $[eta_1]$ e $[eta_2]$ fossero le coordinate normali. Evidentemente, non è assolutamente detto che la scelta iniziale delle coordinate generalizzate sia così fortunata. Solo in questo caso è possibile disaccoppiare completamente i due gradi di libertà. A tal fine, si rende necessario diagonalizzare simultaneamente le due forme quadratiche mediante un'opportuna combinazione lineare di $[eta_1]$ e $[eta_2]$.
$[eta_1=alphacosOmega_+t+betasinOmega_+t] ^^ [eta_2=gammacosOmega_(-)t+deltasinOmega_(-)t]$
non sono corrette. Si potrebbero porre se e solo se $[eta_1]$ e $[eta_2]$ fossero le coordinate normali. Evidentemente, non è assolutamente detto che la scelta iniziale delle coordinate generalizzate sia così fortunata. Solo in questo caso è possibile disaccoppiare completamente i due gradi di libertà. A tal fine, si rende necessario diagonalizzare simultaneamente le due forme quadratiche mediante un'opportuna combinazione lineare di $[eta_1]$ e $[eta_2]$.
"speculor":
Nel caso generale, le seguenti posizioni:
$[eta_1=alphacosOmega_+t+betasinOmega_+t] ^^ [eta_2=gammacosOmega_(-)t+deltasinOmega_(-)t]$
non sono corrette. Si potrebbero porre se e solo se $[eta_1]$ e $[eta_2]$ fossero le coordinate normali. Solo in questo caso è possibile disaccoppiare completamente i due gradi di libertà. A tal fine, si rende necessario diagonalizzare simultaneamente le due forme quadratiche mediante un'opportuna combinazione lineare di $[eta_1]$ e $[eta_2]$.
Quindi la soluzione sarebbe, in generale, questa?
\[\eta_k=\alpha \cos{\Omega_+ t}+\beta \sin{\Omega_+ t}+\gamma\cos{\Omega_- t}+\delta \sin{\Omega_- t}\]
Indicando con $[Q_1]$ e $[Q_2]$ le coordinate normali:
$[Q_1(t)=Q_(10)cosOmega_+t+dotQ_(10)/Omega_+sinOmega_+t] ^^ [Q_2=Q_(20)cosOmega_(-)t+dotQ_(20)/Omega_(-)sinOmega_(-)t]$
Indicando con $[q_1]$ e $[q_2]$ le coordinate generalizzate di partenza, non necessariamente normali:
$[q_1(t)=A_(11)Q_1(t)+A_(12)Q_2(t)] ^^ [q_2(t)=A_(21)Q_1(t)+A_(22)Q_2(t)]$
Sostituendo, al di là delle notazioni, si ottengono le espressioni da te riportate.
$[Q_1(t)=Q_(10)cosOmega_+t+dotQ_(10)/Omega_+sinOmega_+t] ^^ [Q_2=Q_(20)cosOmega_(-)t+dotQ_(20)/Omega_(-)sinOmega_(-)t]$
Indicando con $[q_1]$ e $[q_2]$ le coordinate generalizzate di partenza, non necessariamente normali:
$[q_1(t)=A_(11)Q_1(t)+A_(12)Q_2(t)] ^^ [q_2(t)=A_(21)Q_1(t)+A_(22)Q_2(t)]$
Sostituendo, al di là delle notazioni, si ottengono le espressioni da te riportate.
Caspita, hai ragione, che stupido che sono..!
Grazie mille!
Grazie mille!
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