Piccole oscillazioni di una composizione di moti armonici
http://imageshack.us/photo/my-images/3/molleinuntriangolo.png/
Domanda 1. I tre pezzi che compongono l'energia potenziale della pallina hanno tutti LO STESSO SEGNO?
Domanda 2. Vorrei studiare il tutto per piccole oscillazioni.Quale sistema di riferimento mi conviene usare per evitare dei calcoli troppo complessi? Ho provato a porre il sistema di riferimento nel vertice del triangolo in basso a sinistra, ma viene un MACELLO...intuitivamente immagino di doverlo porre "verso il centro", l'unico problema è che la pallina SI MUOVE, quindi sarebbe un sistema di riferimento mobile...
(vorrei arrivare a studiare il periodo delle piccole oscillazioni)
Domanda 1. I tre pezzi che compongono l'energia potenziale della pallina hanno tutti LO STESSO SEGNO?
Domanda 2. Vorrei studiare il tutto per piccole oscillazioni.Quale sistema di riferimento mi conviene usare per evitare dei calcoli troppo complessi? Ho provato a porre il sistema di riferimento nel vertice del triangolo in basso a sinistra, ma viene un MACELLO...intuitivamente immagino di doverlo porre "verso il centro", l'unico problema è che la pallina SI MUOVE, quindi sarebbe un sistema di riferimento mobile...
(vorrei arrivare a studiare il periodo delle piccole oscillazioni)
Risposte
Considerando il sistema di riferimento avente l'origine nella posizione di equilibrio e assi paralleli rispettivamente alla base e all'altezza del triangolo equilatero, e non si comprende per quale motivo tu senta la necessità di considerare questo sistema di riferimento solidale alla massa puntiforme, i tre vertici hanno coordinate $A(-L/2,-sqrt3/6L)$, $B(L/2,-sqrt3/6L)$ e $C(0,sqrt3/3L)$. Supponendo che le tre molle abbiano lunghezza a riposo nulla e uguale costante elastica, la Lagrangiana risulta essere:
$L=1/2mdotx^2+1/2mdoty^2-1/2k[(x+L/2)^2+(y+sqrt3/6L)^2]-1/2k[(x-L/2)^2+(y+sqrt3/6L)^2]-1/2k[x^2+(y-sqrt3/3L)^2]$
$L=1/2mdotx^2+1/2mdoty^2-3/2kx^2-3/2ky^2$
avendo trascurato una costante additiva inessenziale. Si ottiene così la stessa Lagrangiana di una massa puntiforme attaccata ad una sola molla posta nella posizione di equilibrio, avente lunghezza a riposo nulla e costante elastica $[3k]$. Per questo motivo non è necessario linearizzare le equazioni del moto ed è possibile parlare di periodo più in generale, non solo per le piccole oscillazioni.
$L=1/2mdotx^2+1/2mdoty^2-1/2k[(x+L/2)^2+(y+sqrt3/6L)^2]-1/2k[(x-L/2)^2+(y+sqrt3/6L)^2]-1/2k[x^2+(y-sqrt3/3L)^2]$
$L=1/2mdotx^2+1/2mdoty^2-3/2kx^2-3/2ky^2$
avendo trascurato una costante additiva inessenziale. Si ottiene così la stessa Lagrangiana di una massa puntiforme attaccata ad una sola molla posta nella posizione di equilibrio, avente lunghezza a riposo nulla e costante elastica $[3k]$. Per questo motivo non è necessario linearizzare le equazioni del moto ed è possibile parlare di periodo più in generale, non solo per le piccole oscillazioni.
Grazie davvero.......c'è solo un problema...NON HO MAI FATTO LA LAGRANGIANA!! XD...Questa sarebbe fisica 1...però ho riconosciuto nelle tue equazioni qualcosa di dimensionalmente simile all'energia cinetica....è un caso? C'è un modo meno da "meccanica razionale" e più da "fisica 1" per risolvere il prob? Magari approssimando qualcosa...
Tra l'altro, invece di scrivere la Lagrangiana, avevo scritto l'energia meccanica. Ho corretto, basta cambiare segno all'energia potenziale. A questo punto, per rimanere nell'ambito di Fisica 1, potresti scrivere direttamente le equazioni del moto.
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