Piattaforma e moto relativo

[feddy]

Come al solito non dispongo dei risultati, e avrei bisogno di qualche conferma

Una piattaforma, disposta come una superficie piana orizzontale, è in movimento verticale verso l'alto con velocità costante $v_{t}=10 m s^{-1} \mathbf{k}$. Quando essa si trova ad un'altezza $H=28 m$ del piano orizzontale, un ragazzo fermo in piedi su di essa lancia un proiettile in direzione verticale da un'altezza $h=1.5m$ rispetto alla piattaforma. Il proiettile ha velocità iniziale $v_0=20 m s^{-1} $ rispetto alla piattaforma.

Si determini:
1. La massima altezza raggiunta dalla proiettile rispetto al suolo.
2. La velocità assoluta dal proiettile con cui cade sulla piattaforma
3. l'istante di tempo quando il proiettile cade sulla piattaforme mobile.

La situazione è la seguente


Svolgimento:



1.)

$\vec{v_{t}}$ è la velocità con cui si muove il sistema di riferimento piattaforma, mentre $\vec{v_0}$ è la velocità del lancio rispetto alla piattaforma.

Si ha che la velocità $\vec{v}=\vec{v_0} + \vec{v_t}$, da cui $\vec{v}=30 ms^{-1} \mathbf{k}$.

L'altezza massima raggiunta rispetto al suolo si trova scrivendo la legge del moto

$z(t)=(H+h) - \frac{1}{2}g t^2 + vt$

e imponendo che $v(t)=v-g t=0$.


Perciò

$t=\frac{v}{g}$

e quindi

$z(t)=(H+h) + \frac{v^2}{2g}$

2.
Con riferimento a $z(t)$, si ha che la condizione "il proiettile cade sulla piattaforma" si traduce in

$z(t)=H$

Perciò si ricava il tempo in cui atterra sulla piattaforma che vale $\bar{t}=\frac{v+\sqrt(v^2+2hg)}{g}$

da cui si può rispondere a 3. e dire che

$v_{\text{impatto}}=v-g \bar{t}$

Può andare oppure ho scritto delle scempiaggini ?

[anonymous_0b37e9]

"feddy":
... la condizione "il proiettile cade sulla piattaforma" si traduce in ...

Ciao feddy. Purtroppo, nel secondo punto hai commesso una svista. Quando il proiettile cade sulla piattaforma, quest'ultima non si trova più ad un'altezza $H$ dal suolo. Tra l'altro, sarebbe più elegante procedere studiando il moto nel sistema di riferimento inerziale solidale alla piattaforma:

$[v=-g t+20] ^^ [z=-1/2g t^2+20t+3/2]$

[feddy]

Ciao SE, come al solito grazie per l'osservazione
Cerco quindi di studiare il moto nel s.d.r. solidale alla piattaforma. L'ho evitato perché lo credevo erroneamente un po' "scivoloso".

Qui si ha che il proiettile compie un moto verso l'alto secondo la legge z(t)=h + (v0 - v_{T})t - \frac{1}{2} g t^2
A questo punto ponendo $z(t)=0$ si ricava, risolvendo un'equazione di secondo grado, il tempo $\bar{t}$ in cui ritorna sulla piattaforma.
Perciò $v(t)=v_0 - v_{T} - g \bar{t}$.

Spero di aver colto il punto. Let me know

EDIT:

Ho sbarrato il passaggio che era errato. Tuttavia non capisco come nel moto riferito al s.d.r. solidale con la piattaforma non vada considerato anche $v_{t}$.

Una volta compreso questo il resto è chiaro. Va imposto $z(t)=0$ e dal tempo ricavo la velocità d'impatto

[anonymous_0b37e9]

"feddy":
... non capisco come nel moto riferito al ...

Perché si deve considerare la velocità relativa.

Modo 1

Moto piattaforma

$[v=10] ^^ [z=10t+28]$

Moto proiettile

$[v=-g t+30] ^^ [z=-1/2g t^2+30t+59/2]$

Condizione d'impatto

$[10t+28=-1/2g t^2+30t+59/2] rarr [g t^2-40t-3=0] rarr [t=bart] ^^ [v_a=-gbart+30]$

Modo 2

Moto proiettile

$[v=-g t+20] ^^ [z=-1/2g t^2+20t+3/2]$

Condizione d'impatto

$[g t^2-40t-3=0] rarr [t=bart] ^^ [v_r=-gbart+20] rarr [v_a=v_r+10=-gbart+30]$

[feddy]

Tutto chiaro. Effettivamente il modo 2 è più elegante. Grazie ancora SE