PIATTAFORMA CHE ROTEA
Abbiamo una piattaforma circolare girevole di massa $M=100 kg$ di raggio $R=2.5m$, che gira con un periodo $T=8 s$.
Al momento $t=0$ un bambino ($M=30 KG$) si trova sulla giostra ad una distanza $r=2m$ e inizia a correre con una accelerazione $a=0.1 m/s^2$ rispetto alla giostra. Così facendo il bambino frena la giostra, che al momento $t_E$ è ferma, dopodiché la piccola peste si blocca di colpo.
a) Il momento rotatorio totale è conservato? Calcola il momento di inerzia della giostra con il bambino.
b) Quanto vale $t_E$? Che velocità ha il bambino alla fine?
c) Che energia deve impiegare il bambino per fermare la giostra?
d) A cosa è uguale il momento rotatorio all'istante $t=t_E$?
Al momento $t=0$ un bambino ($M=30 KG$) si trova sulla giostra ad una distanza $r=2m$ e inizia a correre con una accelerazione $a=0.1 m/s^2$ rispetto alla giostra. Così facendo il bambino frena la giostra, che al momento $t_E$ è ferma, dopodiché la piccola peste si blocca di colpo.
a) Il momento rotatorio totale è conservato? Calcola il momento di inerzia della giostra con il bambino.
b) Quanto vale $t_E$? Che velocità ha il bambino alla fine?
c) Che energia deve impiegare il bambino per fermare la giostra?
d) A cosa è uguale il momento rotatorio all'istante $t=t_E$?
Risposte
Il momento angolare si conserva se si suppone che il perno sia liscio. Il calcolo del momento d'inerzia complessivo è banale. Imponendo la conservazione della quantità di moto si trova facilemnte la velocità angolare in funzione del tempo, da cui imponendo che essa sia nulla, si trova il tempo di arresto. Alla fine, all'istante dell'arresto della piattaforma il bambino ha velocità pari ad $at_E$. Subito dopo visto che si ferma rispetto alla giostra viaggia alla velocità della giostra stessa, la quale per la conservazione del momento angolare, ha la velocità angolare iniziale di nuovo. Poi per trovare il lavoro fatto dal bambino , basta usare il th delle forze vive: $L=Delta T$. L'ultimo punto è già stato detto prima.
Per la parte b) intendi qualcosa di questo tipo?
$L=\mbox{const} \Rightarrow \frac{dL}{dt}=0=\frac{dL_S}{dt}+\frac{dL_J}{dt} \Rightarrow \frac{dL_S}{dt}=-\frac{dL_J}{dt}$
$(I_S \omega(t))'=-(mrv(t))'$
$I_S \alpha=mra$ (il - se ne va perché l'accelerazione è frenante)
$\Rightarrow \alpha=\frac{mar}{I_{S}}=\mbox{const}$
$\Rightarrow \omega(t)=\omega_0-\alpha t$
$\omega(t_E)=0 \Rightarrow ...$
Dove i pedici S e J sono rispettivamente la piattaforma e il bambino.
$L=\mbox{const} \Rightarrow \frac{dL}{dt}=0=\frac{dL_S}{dt}+\frac{dL_J}{dt} \Rightarrow \frac{dL_S}{dt}=-\frac{dL_J}{dt}$
$(I_S \omega(t))'=-(mrv(t))'$
$I_S \alpha=mra$ (il - se ne va perché l'accelerazione è frenante)
$\Rightarrow \alpha=\frac{mar}{I_{S}}=\mbox{const}$
$\Rightarrow \omega(t)=\omega_0-\alpha t$
$\omega(t_E)=0 \Rightarrow ...$
Dove i pedici S e J sono rispettivamente la piattaforma e il bambino.
Si, anche se a me torna:
$t_e=omega_0 (I+mr^2)/(mra)$ , $alpha=-(mra)/(I+mr^2)$, dove $I$ è il momento d'inerzia del disco.
$t_e=omega_0 (I+mr^2)/(mra)$ , $alpha=-(mra)/(I+mr^2)$, dove $I$ è il momento d'inerzia del disco.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo