Piano osculatore

[Sk_Anonymous]

se consideriamo un curva $gamma$ e due suoi punti P e P', il piano osculatore alla curva nel punto P è la posizione limite del piano $pi$ che contiene la tangente $vecT$ in P ed il punto P' al tendere di quest'ultimo a P lungo la curva. La sua equazione in forma vettoriale è (indicando con Q un generico punto pel piano $pi$)


NB non so se l'ho scritto bene in matml ma con $*$ intendo il prodotto scalare....ovviamente


(1) $vec(PQ)*vecT\timesvec(PP')=0$

che magicamente diventa

(2) $vec(PQ)*vecT\times(dvecT)/(ds)=0$


come si passa dalla (1) alla (2)? perchè $vec(PP')$ diventa $(dvecT)/(ds)$???

mi potreste indicare tutti i passaggi?

grazie 10000

ciao

[fireball1]

Siano $vec(t)(s)$ e $vec(n)(s)$ rispettivamente
il vettore tangente e il vettore normale alla curva,
espressi in funzione dell'ascissa curvilinea $s$, e $P in Gamma$,
dove $Gamma$ è la curva in considerazione.
Allora il piano osculatore della curva in $P$ è il
piano contenente il vettore tangente e il vettore
normale in $P$, o detto altrimenti, il piano perpendicolare
in $P$ al versore binormale, cioè $vec(b)(s)=vec(t)(s)xxvec(n)(s)$.
Quindi dato $y in RR^3$, l'equazione del piano
osculatore è $(: vec(t)xxvec(n),y-P :)=0$.
A questo punto, ricordati che $vec(k)(s)=(dvec(t))/(ds)
cioè la derivata del vettore tangente rispetto all'ascissa curvilinea
è il vettore curvatura $veck$, che a sua volta è un multiplo
(cioè è parallelo) del versore normale $vecn$:
$veck=kvecn$, con $k>0$. Quindi, dato che l'equazione dice $(: vec(t)xxvec(n),y-P :)=0$
puoi sostituire tranquillamente $veck$ al posto di $vecn$, infatti il prodotto scalare dev'essere
nullo, e se sostituisci ad $vecn$ un vettore ad esso parallelo, sempre nullo rimane.

Scusami se ho riscritto tutto daccapo, probabilmente con un tono da saccente,
ma per risponderti volevo prima riscrivere il "problema" in termini di come sono stato
abituato io a scrivere le equazioni vettoriali.

[Sk_Anonymous]

ho capito. grazie