Piano inclinato scabro e molla.
Ciao a tutti, ho ripescato un vecchio tema d'esame per esercitarmi e vorrei il vostro parere se il mio ragionamento fila o meno.
Testo:
Una molla di costante elastica K, e lunghezza lo a riposo, è disposta lungo un piano inclinato di angolo $alpha$ rispetto all'orizzonale- Un corpo puntiforme di massa m è attaccato alla molla ed è libero di muoversi lungo il piano inclinato. All'istante iniziale il corpo ha velocità $Vo$ diretta lungo il piano inclinato e verso l'alto, mentre la molla è a riposo ($lo$). Sapendo che il coeff d'atttrito vale $\mu$ calcolare:
a) tempo necessario affinchè il corpo abbia per la prima volta velocità nulla.
è tutto noto, tranne $lo$, quindi come sistema di riferimento prendo $lo=0$ quindi come condizioni iniziali scrivo:
$x(0)=lo=0$
$x'(0)=Vo$
$\omega^2=K/m$
l'eq del moto è del tipo:
$x(t)=A sin (\omega t + phi) + x_c$
mi trovo $A$, $phi$ e $x_c$
$A^2=(x0)^2 + ((V_0)/(\omega))^2$
x0 l'ho presupposto 0, quindi mi rimane: $A= ((V_0)/(\omega))$
per la $phi$ si ha: $phi = arctan (\omega)*(x0)/(Vo) = arctan 0 = 0$
dato che all'istante iniziale è a riposo la somma delle forze è nulla:
$-m g sin alpha - K x_c - \mu m g cos alpha = 0$
ricordando che appunto in 'salita' l'attrito è concorde a $Fx$ da qui $x_c = - (mg/k sin alpha + \mu m g/k cos alpha)$:
il tutto diventa:
$x(t) = A sin (\omega t) + x_c$
dovviamo trovare quando la velocità si annulla, quindi deriviamo e si ha:
$x'(t') = A omega cos (\omega t' ) $
$0= cos (\omega t')$
$t'=pi/(2 \omega)$
se mi si fosse chiesto di trovare l'allungamento massimo, avrei dovuto vedere quando il $sin$ raggiungesse un massimo?
grazie
Testo:
Una molla di costante elastica K, e lunghezza lo a riposo, è disposta lungo un piano inclinato di angolo $alpha$ rispetto all'orizzonale- Un corpo puntiforme di massa m è attaccato alla molla ed è libero di muoversi lungo il piano inclinato. All'istante iniziale il corpo ha velocità $Vo$ diretta lungo il piano inclinato e verso l'alto, mentre la molla è a riposo ($lo$). Sapendo che il coeff d'atttrito vale $\mu$ calcolare:
a) tempo necessario affinchè il corpo abbia per la prima volta velocità nulla.
è tutto noto, tranne $lo$, quindi come sistema di riferimento prendo $lo=0$ quindi come condizioni iniziali scrivo:
$x(0)=lo=0$
$x'(0)=Vo$
$\omega^2=K/m$
l'eq del moto è del tipo:
$x(t)=A sin (\omega t + phi) + x_c$
mi trovo $A$, $phi$ e $x_c$
$A^2=(x0)^2 + ((V_0)/(\omega))^2$
x0 l'ho presupposto 0, quindi mi rimane: $A= ((V_0)/(\omega))$
per la $phi$ si ha: $phi = arctan (\omega)*(x0)/(Vo) = arctan 0 = 0$
dato che all'istante iniziale è a riposo la somma delle forze è nulla:
$-m g sin alpha - K x_c - \mu m g cos alpha = 0$
ricordando che appunto in 'salita' l'attrito è concorde a $Fx$ da qui $x_c = - (mg/k sin alpha + \mu m g/k cos alpha)$:
il tutto diventa:
$x(t) = A sin (\omega t) + x_c$
dovviamo trovare quando la velocità si annulla, quindi deriviamo e si ha:
$x'(t') = A omega cos (\omega t' ) $
$0= cos (\omega t')$
$t'=pi/(2 \omega)$
se mi si fosse chiesto di trovare l'allungamento massimo, avrei dovuto vedere quando il $sin$ raggiungesse un massimo?
grazie
Risposte
up
Se ho capito bene, la tua soluzione sarebbe $\pi/(2\omega)$, indipendentemente dalla velocità iniziale $V_0$, dall'inclinazione del piano $\alpha$ e dal coefficiente di attrito $\mu$. La soluzione dovrebbe essere $t=\pi/(2\omega)-1/\omegaarctg[g/(\omegaV_0)(sen\alpha+\mucos\alpha)]$.
*_* Praticamente manca tutta la parte 'principale', mi da qualche consiglio su come rivedere il tutto, per far uscire quel risultato?
Almeno fino a quando il corpo puntiforme non si ferma, vale la seguente equazione del moto:
$ddot x+\omega^2x=g(sen\alpha+\mucos\alpha)$
Ottieni il seguente integrale generale:
$x(t)=Asen(\omegat+\phi)+g/\omega^2(sen\alpha+\mucos\alpha)$
Prova ora ad imporre le seguenti condizioni iniziali:
$\{(x(0)=0),(dotx(0)=-V_0):}$
Se non riesci a completare, lo faccio io.
Mi viene
1)Solo una cosa, non avendo fatto ancora analisi 2, come hai dedotto la prima relazione che hai scritto? Quella dove compare x due punti etc etc, inoltre l'unica cosa che so è che da quella prima relazione che ti sei dedotto l'equazione del moto: somma della soluzione omogenea associata + soluzione particolare (l'argomento del sin immaggino).
Il resto mi sembra abbastanza chiaro, nei vari passaggi.
2)Per l'allungamento della molla, devo vedere solo quando il sin è max, metterci dentro l'argomento il valore max e trovarmi $L_max$ giusto?
3) Nel caso la molla fosse messa in basso invece che in alto, i segni andrebbero bene fintantochè io metta come sistema di riferimento $x,y$ dal basso verso l'alto, cioè x positivo quando ''punta'' verso la cima.
1)Solo una cosa, non avendo fatto ancora analisi 2, come hai dedotto la prima relazione che hai scritto? Quella dove compare x due punti etc etc, inoltre l'unica cosa che so è che da quella prima relazione che ti sei dedotto l'equazione del moto: somma della soluzione omogenea associata + soluzione particolare (l'argomento del sin immaggino).
Il resto mi sembra abbastanza chiaro, nei vari passaggi.
2)Per l'allungamento della molla, devo vedere solo quando il sin è max, metterci dentro l'argomento il valore max e trovarmi $L_max$ giusto?
3) Nel caso la molla fosse messa in basso invece che in alto, i segni andrebbero bene fintantochè io metta come sistema di riferimento $x,y$ dal basso verso l'alto, cioè x positivo quando ''punta'' verso la cima.
Ottieni la stessa equazione differenziale anche nell'altro caso, dovresti verificarlo con gli strumenti di Fisica I.
Ah capito, se ho altri dubbi, non aprirò altri post, e posterò qui, grazie Speculor!
Ho dimenticato di dire che ottieni la stessa equazione differenziale con lo stesso sistema di riferimento, non è necessario cambiare il verso dell'asse. Sei riuscito a completarlo?
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