Piano inclinato, molla e attrito...
Ciao 
, ho un esercizio di Fisica Generale 1 in più punti ma riporto soltanto le parti che mi interessano:
Per il primo punto ho pensato che ci sono delle forze conservative e non. Quella non conservativa è la forza di attrito dinamico proiettile-piano inclinato, e vale \(-\mu mg x \cos\theta\), dove con \(x\) indico lo spazio percorso dal proiettile quando non ha ancora abbandonato la molla. Quindi pensavo di avere le cose come seguono: \[-\mu mg x \cos\theta = \underbrace{\frac12 mv_0^2 + mgx\sin\theta + \frac12 k(d-x)^2}_{\text{energia meccanica finale}} - \underbrace{\frac12 kd^2}_\text {energia meccancia iniziale}\] E la domanda ora è: quando il proiettile si stacca dalla molla? Quando \(x = d\)? Mi sembra di sì, ma non saprei spiegarlo... quindi non lo so.
Ammesso che sia giusto il ragionamento precedente, un formula chiusa per il calcolo della velocità c'è, almeno.
(2) Il problema mi sembra si ricolleghi al precedente punto: non riesco a figurarmi quando vale \(x\). Comunque sia, c'è già il contibuto costante \((\sin\theta+ \mu \cos\theta) \mathbf g\) sull'accelerazione del proiettile. Nel caso felice in cui \(x = d\), sarebbe proprio questa l'accelerazione, visto che la molla di suo non ne fornisce più alcuna a quel punto.
, ho un esercizio di Fisica Generale 1 in più punti ma riporto soltanto le parti che mi interessano:
Un proiettile di massa \(m= 150\text{g}\) si trova su di un piano inclinato di angolo alla base \(\theta = 30°\), comprimendo completamente una molla di lunghezza a riposo \(d = 15\text{cm}\) e di costante elastica \(k=100\text{N/m}\). Tra il proiettile e il piano c'è attrito, con coefficiente di attrito dinamico \(\mu = 0.3\). Ad un certo istante la molla viene rilasciata, ed il proiettile sale lungo il piano inclinato.
(1) Calcola la velocità \(v_0\) del proiettile quando si stacca dalla molla.
(2) Calcola l'accelerazione del proiettile quando si è staccato dalla molla.
Per il primo punto ho pensato che ci sono delle forze conservative e non. Quella non conservativa è la forza di attrito dinamico proiettile-piano inclinato, e vale \(-\mu mg x \cos\theta\), dove con \(x\) indico lo spazio percorso dal proiettile quando non ha ancora abbandonato la molla. Quindi pensavo di avere le cose come seguono: \[-\mu mg x \cos\theta = \underbrace{\frac12 mv_0^2 + mgx\sin\theta + \frac12 k(d-x)^2}_{\text{energia meccanica finale}} - \underbrace{\frac12 kd^2}_\text {energia meccancia iniziale}\] E la domanda ora è: quando il proiettile si stacca dalla molla? Quando \(x = d\)? Mi sembra di sì, ma non saprei spiegarlo... quindi non lo so.
Ammesso che sia giusto il ragionamento precedente, un formula chiusa per il calcolo della velocità c'è, almeno.(2) Il problema mi sembra si ricolleghi al precedente punto: non riesco a figurarmi quando vale \(x\). Comunque sia, c'è già il contibuto costante \((\sin\theta+ \mu \cos\theta) \mathbf g\) sull'accelerazione del proiettile. Nel caso felice in cui \(x = d\), sarebbe proprio questa l'accelerazione, visto che la molla di suo non ne fornisce più alcuna a quel punto.
Risposte
Il proiettile si stacca dalla molla quando l'elongazione è massima.
E tu come faresti a trovare questo valore?
Infatti, per scrivere veloce ho scritto una ©@%%@7@...
Il distacco si ha quando la forza impressa è massima, cioè quando il proiettile passa per il centro di oscillazione.
Il distacco si ha quando la forza impressa è massima, cioè quando il proiettile passa per il centro di oscillazione.
Io farei cosi.
LA molla, che ha costante elastica $k$, viene compressa completamente di $d$ , quindi ha una energia elastica immagazzinata pari a :
$E_0 = 1/2kd^2$
1) Supponiamo dapprima che il piano inclinato non abbia attrito , quindi $mu_d = 0$ . Quando la molla viene rilasciata, il proiettile viene sparato verso l’alto sul piano inclinato stesso, e prima o poi si ferma, anche se il piano è senza attrito, e torna indietro. Ci interessa il punto in cui si ferma e la distanza percorsa . Possiamo scrivere il seguente bilancio di energia in questo caso :
$E_0 = U_i - U_f $
e cioè l’energia della molla diventa variazione di energia potenziale del proiettile. Nel caso in esame, l’energia potenziale iniziale la assumiamo uguale a zero. Quindi si ha :
$E_0 = 0-U_f = 0-(-mgh) = mgh = mgLsentheta$
il doppio segno “-“ sta a ricordare che il lavoro della forza peso è negativo. $L$ è la distanza percorsa sul piano inclinato dal proiettile prima di fermarsi. Che cosa ce ne facciamo? Trovata $L$ , possiamo dire che il moto è uniformemente "ritardato” , e quindi con le formule relative a questo tipo di moto possiamo ricavarci quanto vale la velocità iniziale, servendoci app’unto di $L$ :
$v= v_0 -at$
$L= v_0t - 1/2at^2$
L’accelerazione non è altro che $gsenalpha$ in modulo; il proiettile si ferma, cioè v=0, in un certo istante $t_f$...eccetera eccetera.
2) supponiamo ora che il piano sia scabro, quindi $mu_d \ne 0$ . Allora il bilancio energetico si scrive :
$E_0 = mgh' + W_a = mgL'senalpha + mu_dmgcosalpha *L’ = mgL’(senalpha +mu_dcosalpha) $
dove $W_a $ è il lavoro della forza di attrito , e naturalmente $L’$ è la distanza percorsa sul piano inclinato , inferiore alla $L$ di prima.
Anche qui, servendosi delle formule del moto uniformemente “ritardato” , ci possiamo trovare l’istante di arresto e la velocità iniziale .
LA molla, che ha costante elastica $k$, viene compressa completamente di $d$ , quindi ha una energia elastica immagazzinata pari a :
$E_0 = 1/2kd^2$
1) Supponiamo dapprima che il piano inclinato non abbia attrito , quindi $mu_d = 0$ . Quando la molla viene rilasciata, il proiettile viene sparato verso l’alto sul piano inclinato stesso, e prima o poi si ferma, anche se il piano è senza attrito, e torna indietro. Ci interessa il punto in cui si ferma e la distanza percorsa . Possiamo scrivere il seguente bilancio di energia in questo caso :
$E_0 = U_i - U_f $
e cioè l’energia della molla diventa variazione di energia potenziale del proiettile. Nel caso in esame, l’energia potenziale iniziale la assumiamo uguale a zero. Quindi si ha :
$E_0 = 0-U_f = 0-(-mgh) = mgh = mgLsentheta$
il doppio segno “-“ sta a ricordare che il lavoro della forza peso è negativo. $L$ è la distanza percorsa sul piano inclinato dal proiettile prima di fermarsi. Che cosa ce ne facciamo? Trovata $L$ , possiamo dire che il moto è uniformemente "ritardato” , e quindi con le formule relative a questo tipo di moto possiamo ricavarci quanto vale la velocità iniziale, servendoci app’unto di $L$ :
$v= v_0 -at$
$L= v_0t - 1/2at^2$
L’accelerazione non è altro che $gsenalpha$ in modulo; il proiettile si ferma, cioè v=0, in un certo istante $t_f$...eccetera eccetera.
2) supponiamo ora che il piano sia scabro, quindi $mu_d \ne 0$ . Allora il bilancio energetico si scrive :
$E_0 = mgh' + W_a = mgL'senalpha + mu_dmgcosalpha *L’ = mgL’(senalpha +mu_dcosalpha) $
dove $W_a $ è il lavoro della forza di attrito , e naturalmente $L’$ è la distanza percorsa sul piano inclinato , inferiore alla $L$ di prima.
Anche qui, servendosi delle formule del moto uniformemente “ritardato” , ci possiamo trovare l’istante di arresto e la velocità iniziale .
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