Piano inclinato - Lagrangiana vincolata
Ho il classico esercizio di una corpo di massa $m$ su un piano inclinato di una angolo $alpha$ costante che sivola senza attrito
come in figura
Per prima cosa l'esercizio chiede di ricavare l'equazioni di lagrange e risolverle
ho preso come coordinata generalizzata la distanza tra la posizione del punto sul piano inclinato e il punto alla base del piano e la chiamo $q(t)$
come condizioni iniziali ho $q(t) = q_0$ e $dot(q)(t) = dot(q)_0$
il potenziale é anch'esso classico quindi $U = mgh = mg \cdot q \cdot \sin alpha$
la lagrangiana quindi diventa
$L = T-U = 1/2 m dot(q)^2-mg \cdot q \cdot \sin alpha$
quindi dall'equazione di Eulero-Lagrange ho
$d/dt((dL)/(d dot(q)))-(dL)/(dq)=0$
quindi
$ddot(q)=g \sin alpha$
che integrato duo volte rispetto al tempo e applicando le condizioni iniziali mi da
$dot(q) = g \sin alpha t + dot(q)_0$
$q =1/2 g \sin alpha t^2 + dot(q)_0 t + q_0$
fino a qui spero di non aver fatto stupidaggini
Adesso l'esercizio mi chiede di ricavare le stesse equazioni ma considerando il vincolo del piano inclinato
Se non sbaglio dovrei considerare come equazione del vincolo $dot(q) \cdot \cos alpha = 0$
non riesco peró a capire come formulare adesso la lagrangiana inserendo il vincolo. Qualcuno potrebbe darmi una mano?
grazie mille
come in figura
Per prima cosa l'esercizio chiede di ricavare l'equazioni di lagrange e risolverle
ho preso come coordinata generalizzata la distanza tra la posizione del punto sul piano inclinato e il punto alla base del piano e la chiamo $q(t)$
come condizioni iniziali ho $q(t) = q_0$ e $dot(q)(t) = dot(q)_0$
il potenziale é anch'esso classico quindi $U = mgh = mg \cdot q \cdot \sin alpha$
la lagrangiana quindi diventa
$L = T-U = 1/2 m dot(q)^2-mg \cdot q \cdot \sin alpha$
quindi dall'equazione di Eulero-Lagrange ho
$d/dt((dL)/(d dot(q)))-(dL)/(dq)=0$
quindi
$ddot(q)=g \sin alpha$
che integrato duo volte rispetto al tempo e applicando le condizioni iniziali mi da
$dot(q) = g \sin alpha t + dot(q)_0$
$q =1/2 g \sin alpha t^2 + dot(q)_0 t + q_0$
fino a qui spero di non aver fatto stupidaggini
Adesso l'esercizio mi chiede di ricavare le stesse equazioni ma considerando il vincolo del piano inclinato
Se non sbaglio dovrei considerare come equazione del vincolo $dot(q) \cdot \cos alpha = 0$
non riesco peró a capire come formulare adesso la lagrangiana inserendo il vincolo. Qualcuno potrebbe darmi una mano?
grazie mille
Risposte
Summerwind:
Scusa, ma non sono troppi "due punti" in $d/dt((dL)/(ddot(q)))$ ?
credo che al denominatore debba comparire la derivata prima di $q$ rispetto al tempo, non la seconda.
E poi, non mi sembra che tu abbia risolto l'equazione di Eulero-Lagrange, come hai fatto ...o mi sbaglio?
Per prima cosa l'esercizio chiede di ricavare l'equazioni di lagrange e risolverle
ho preso come coordinata generalizzata la distanza tra la posizione del punto sul piano inclinato e il punto alla base del piano e la chiamo $q(t)$
come condizioni iniziali ho $q(t) = q_0$ e $dot(q)(t) = dot(q)_0$
il potenziale é anch'esso classico quindi $U = mgh = mg \cdot q \cdot \sin alpha$
la lagrangiana quindi diventa
$L = T-U = 1/2 m dot(q)^2-mg \cdot q \cdot \sin alpha$
quindi dall'equazione di Eulero-Lagrange ho
$d/dt((dL)/(ddot(q)))-(dL)/(dq)=0$
quindi
$ddot(q)=g \sin alpha$
Scusa, ma non sono troppi "due punti" in $d/dt((dL)/(ddot(q)))$ ?
credo che al denominatore debba comparire la derivata prima di $q$ rispetto al tempo, non la seconda.
E poi, non mi sembra che tu abbia risolto l'equazione di Eulero-Lagrange, come hai fatto ...o mi sbaglio?
ho corretto, in realtà non era un errore ma ho scritto una "d" per indicare la derivazione e poi il comando "dot(q)" per far scrivere il punto e l'editor lo ha interpretato come un "ddot(q)" scrivendo quindi il doppio punto
Per quanto riguarda l'equazione di eulero-lagrange, da li ho ricavato le equazioni del moto
Per quanto riguarda l'equazione di eulero-lagrange, da li ho ricavato le equazioni del moto
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