Piano inclinato e puleggia con massa

[vitunurpo]

Ciao a tutti.
Avrei un problema a capire se la risoluzione di questo esercizio ha senso o meno. Purtroppo non ho la soluzione, ecco perché chiedo qui.

Un cavo insensibile di massa trascurabile è arrotolato su una puleggia dimessa m e si raggio r e l'estremo libero del cavo sorregge un blocco di massa M. Il blocco parte da fermo e scivola lungo un piano inclinato scabro che forma un angolo $ theta $ con i piano orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamica tra blocco e piano è $ \mu_k $ .
Si calcoli l'accelerazione del blocco.

Se fossi su un normale piano inclinato con attrito scriverei che le forze agenti nella direzione x (supponendo quindi x la direzione lungo sui sta scivolando il blocco ) come

$ Ma=Mgsin\theta-Mg\mu_k cos\theta $
Qui però c'è una puleggia con massa... immagino che dia il suo contributo all'accelerazione del blocco.
Considerare un termine di questo tipo come contributo della puleggia all'accelerazione
$ a=R\dot(\omega) $
ha senso o è una stupidaggine?
Potreste aiutarmi a capire come considerare la puleggia?
Grazie

[professorkappa]

La puleggia si oppone per inerzia al moto del blocco.
"Spezza" la corda in modo da trattare i 2 corpi separatamente, posta il ragionamento e vediamo che esce

[vitunurpo]

Tentativo (forse balordo):

Suppongo la puleggia un disco (può aver senso, da quanto mi dice nel testo?)
e quindi scrivo il suo momento delle forze come

$ Rf=I(d\omega)/dt $ con ovviamente R il raggio e I il momento di inerzia del disco che è $ I=(mR^2)/2 $ .
Quindi
$ f=I/R (d\omega)/(dt)=(MR)/2 (d\omega)/dt $ considero $ \omega=v/R $ . Sarà diretta verso le x negative e dato che devo 'proiettare' appunto sulle x ne prendo la componente coseno.

Otterrei un'espressione di questo tipo

$ a=\frac{Mgsin\theta-Mg\mu_k cos\theta}{(M+m/2 cos\theta)} $

[professorkappa]

Se spezzassi il sistema, come ti avevo suggerito di fare, ti renderesti conto che sulla puleggia, assimilata a un disco di momento di inerzia $[mR^2]/2$, su questa agisce solo la tensione della corda, incognita e di modulo T, parallela al piano e positiva a scendere lungo il piano stesso.
Per la puleggia vale:
$TR=Iddot theta$

La stessa tensione, in senso opposto, lavora sul blocco che e; soggetto all'attrito e alla componente tangenziale della forza peso $mgsintheta$
Per il blocco vale: $-T-muMgcostheta+Mgsintheta=Ma$, con $a=Rddot theta$ per via dei vincoli cinematici

Risolvendo il sistema per sostituzione, eliminando l'incognita T,

$-Iddot theta/R-muMgcostheta+Mgsintheta=Ma$ e cioe'

$-Ia/R^2-muMgcostheta+Mgsintheta=Ma$ da cui

$-ma/2-muMgcostheta+Mgsintheta=Ma$

E quindi, $a=[2Mg(sintheta-mucostheta)]/(2M+m)$

[vitunurpo]

mi son brutalmente tolto la tensione. Male.
Grazie