Piano inclinato e attrito
Ciao a tutti! Sto faticando a districarmi con un problema e chiedo quindi aiuto a voi. 
Ho un piano inclinato posto su una superficie liscia, e nel primo caso entrambi sono privi di attrito. Ora, ho un corpo di massa 1 kg che si trova ad una distanza di 5 m dall'inizio della rampa, e che viene lanciato verso questa con una velocità di 5 m/s. Mi si chiede di calcolare la lunghezza che il corpo raggiungerà sulla rampa prima di scivolare giù.
Ora, per comodità scompongo il moto dell'oggetto in due parti: la prima fino a che questo non raggiunge la rampa, e la seconda dal raggiungimento della rampa in poi.
Dato che l'attrito è nullo, immagino che l'oggetto si muova di moto rettilineo uniforme, e che quindi impieghi 1 s a percorrere con velocità 5 m/s i 5 m che lo separano dalla rampa.
Raggiunta la rampa, avrò un moto rettilineo uniformemente decelerato: dato che la componente perpendicolare della forza peso (=mg cos 30°, con 30° l'inclinazione del piano) si annulla con la reazione vincolare del piano, devo considerare solo la componente parallela della forza peso (=mg sen 30°), e quindi l'accelerazione del corpo sarà a= -g sen 30°. Di conseguenza la legge oraria che descrive il moto del corpo sarà x(t)= vt - 1/2 g t^2 sen 30°; derivandola troverò v(t) e, ponendo questa uguale a 0, troverò il tempo che l'oggetto impiegherà per fermarsi lungo la rampa, prima di scivolare giù con accelerazione a= g sen 30° e tornare al punto di partenza con la stessa velocità inizale.
Fin qui è giusto?
Ora, la seconda parte del problema (quella che mi sta lasciando perplessa): considerando lo stesso oggetto nelle stesse condizioni, ma immaginando che il piano inclinato abbia un coefficiente di attrito pari a 0,50 (mentre rimane priva di attrito la superficie iniziale), quale sarà la lunghezza della rampa raggiunta?
La prima parte del moto è identica.
Arrivato alla rampa, il corpo subirà una accelerazione pari a a= - g sen 30°; devo però tener conto dell'attrito che decelera ulteriormente il corpo. Mi basta moltiplicare la suddetta decelerazione per 0,50 oppure devo considerare anche la forza di attrito (= 0,50 mg cos 30°) e dunque un'ulteriore decelerazione pari a b= -0,50 g cos 30°?
Se questo fosse il caso, devo fare la somma vettoriale tra le due (a e b), o cosa? E qual'è l'equazione oraria risultante? Tentativamente io avrei x(t)= vt - 1/2 g (0,50 cos 30° + sen 30°) t^2 ma non sono convinta. Il fatto di dover considerare la "risalita" del corpo lungo il piano inclinato e non la semplice discesa mi mette in confusione!
Il problema ce lo ha dato il professore senza dati, quindi non ho risultati con cui confrontarmi.
Se vorrete aiutarmi ve ne sarò enormemente grata!
Ho un piano inclinato posto su una superficie liscia, e nel primo caso entrambi sono privi di attrito. Ora, ho un corpo di massa 1 kg che si trova ad una distanza di 5 m dall'inizio della rampa, e che viene lanciato verso questa con una velocità di 5 m/s. Mi si chiede di calcolare la lunghezza che il corpo raggiungerà sulla rampa prima di scivolare giù.
Ora, per comodità scompongo il moto dell'oggetto in due parti: la prima fino a che questo non raggiunge la rampa, e la seconda dal raggiungimento della rampa in poi.
Dato che l'attrito è nullo, immagino che l'oggetto si muova di moto rettilineo uniforme, e che quindi impieghi 1 s a percorrere con velocità 5 m/s i 5 m che lo separano dalla rampa.
Raggiunta la rampa, avrò un moto rettilineo uniformemente decelerato: dato che la componente perpendicolare della forza peso (=mg cos 30°, con 30° l'inclinazione del piano) si annulla con la reazione vincolare del piano, devo considerare solo la componente parallela della forza peso (=mg sen 30°), e quindi l'accelerazione del corpo sarà a= -g sen 30°. Di conseguenza la legge oraria che descrive il moto del corpo sarà x(t)= vt - 1/2 g t^2 sen 30°; derivandola troverò v(t) e, ponendo questa uguale a 0, troverò il tempo che l'oggetto impiegherà per fermarsi lungo la rampa, prima di scivolare giù con accelerazione a= g sen 30° e tornare al punto di partenza con la stessa velocità inizale.
Fin qui è giusto?
Ora, la seconda parte del problema (quella che mi sta lasciando perplessa): considerando lo stesso oggetto nelle stesse condizioni, ma immaginando che il piano inclinato abbia un coefficiente di attrito pari a 0,50 (mentre rimane priva di attrito la superficie iniziale), quale sarà la lunghezza della rampa raggiunta?
La prima parte del moto è identica.
Arrivato alla rampa, il corpo subirà una accelerazione pari a a= - g sen 30°; devo però tener conto dell'attrito che decelera ulteriormente il corpo. Mi basta moltiplicare la suddetta decelerazione per 0,50 oppure devo considerare anche la forza di attrito (= 0,50 mg cos 30°) e dunque un'ulteriore decelerazione pari a b= -0,50 g cos 30°?
Se questo fosse il caso, devo fare la somma vettoriale tra le due (a e b), o cosa? E qual'è l'equazione oraria risultante? Tentativamente io avrei x(t)= vt - 1/2 g (0,50 cos 30° + sen 30°) t^2 ma non sono convinta. Il fatto di dover considerare la "risalita" del corpo lungo il piano inclinato e non la semplice discesa mi mette in confusione!Il problema ce lo ha dato il professore senza dati, quindi non ho risultati con cui confrontarmi.
Se vorrete aiutarmi ve ne sarò enormemente grata!
Risposte
Non so se tu lo abbia già trattato, ma in questi problemi la soluzione più rapida sarebbe procedere utilizzando il teorema di conservazione dell'energia. Tuttavia è possibile, con un po' di sforzo in più, affrontare il problema utilizzando la descrizione cinematica del moto.
Veniamo a noi. La prima parte è corretta. Chiaramente una volta trovato il $t_{max}$ di arresto dovrai sostituirlo nella legge oraria per trovare $x(t_{max})$.
Per la seconda parte basta considerare le forze a cui è sottoposto il corpo, peso tangente e attrito:
[tex]a = {F \over m} = - |P_x| - \mu |N_y| = {(-mg sin\alpha - \mu mg cos\alpha) \over m} = -g(sin\alpha + \mu cos\alpha)[/tex]
E sostituendo nell'equazione del moto uniformemente accelerato:
[tex]x(t) = v_0t - g(sin\alpha + \mu cos\alpha)t^2[/tex]
Ciao
EDIT: avevo dimenticato il $cos\alpha$ scusa
Veniamo a noi. La prima parte è corretta. Chiaramente una volta trovato il $t_{max}$ di arresto dovrai sostituirlo nella legge oraria per trovare $x(t_{max})$.
Per la seconda parte basta considerare le forze a cui è sottoposto il corpo, peso tangente e attrito:
[tex]a = {F \over m} = - |P_x| - \mu |N_y| = {(-mg sin\alpha - \mu mg cos\alpha) \over m} = -g(sin\alpha + \mu cos\alpha)[/tex]
E sostituendo nell'equazione del moto uniformemente accelerato:
[tex]x(t) = v_0t - g(sin\alpha + \mu cos\alpha)t^2[/tex]
Ciao
EDIT: avevo dimenticato il $cos\alpha$ scusa
Ti ringrazio moltissimo per la risposta, Emar. No, dobbiamo ancora trattare la conservazione dell'energia (o meglio, l'ho fatta a suo tempo alle superiori, ma per utilizzarla in questo caso dovrei rinfrescarmi la memoria parecchio), è per questo che ho risolto il problema per via cinematica.
Mi rimane un dubbio, però. Se non sbaglio il moto accelerato ha un'equazione oraria generica x(t)= vt + 1/2 a t^2, che ottengo sostituendo a x(t)= x° + vt la velocità media v= v° + 1/2 at. Ora, dato che nel problema abbiamo a= -g (sin 30° + 0,5 cos 30°), come mai nell'equazione oraria che mi hai dato manca il 1/2 davanti a g?
Chiedo venia per non aver utilizzato il sistema più ortodosso per scrivere le formule, ma non ho molto tempo e sono "technologically challenged".
Mi rimane un dubbio, però. Se non sbaglio il moto accelerato ha un'equazione oraria generica x(t)= vt + 1/2 a t^2, che ottengo sostituendo a x(t)= x° + vt la velocità media v= v° + 1/2 at. Ora, dato che nel problema abbiamo a= -g (sin 30° + 0,5 cos 30°), come mai nell'equazione oraria che mi hai dato manca il 1/2 davanti a g?
Chiedo venia per non aver utilizzato il sistema più ortodosso per scrivere le formule, ma non ho molto tempo e sono "technologically challenged".
Ti rispondo veloce perchè sono con il cellulare. Sì, errore mio. Mi sono dimenticato $1/2$ davanti al termine $a$. Domani, se mi ricordo, ti rispondo meglio.
Non preoccuparti per le formule, con il tempo imparerai (anche se per quelle banali è piuttosto semplice)
Non preoccuparti per le formule, con il tempo imparerai (anche se per quelle banali è piuttosto semplice)
Non serve, i conti tornano! Grazie mille ancora!
Quello che volevo dirti ieri sera è che più che dire così:
abituati a ragionare in termini di funzioni e integrazioni.
L'equazione del moto uniformemente accelerato si ricava partendo dall'accelerazione costante:
[tex]a(t) = v'(t) = a_0[/tex]
[tex]v(t) = x'(t) = v_0 + \int _{0} ^ta(t) dt= v_0 + a_0t[/tex]
[tex]x(t) = x_0 + \int_0^t v(t)dt = x_0 + v_0\int _{0} ^t dt + a_0\int _{0} ^tt dt= x_0 + v_0t + 1/2a_0t^2[/tex]
Senza utilizzare concetti come la tua "velocità media".
Era solo per puntualizzare sul metodo per ricavare le equazioni che è un metodo generale e molto importante. Se già sapevi queste cose non importa, ho fatto un po' di esercizio con LateX
"CellarDoor":
...equazione oraria generica x(t)= vt + 1/2 a t^2, che ottengo sostituendo a x(t)= x° + vt la velocità media v= v° + 1/2 at.(
abituati a ragionare in termini di funzioni e integrazioni.
L'equazione del moto uniformemente accelerato si ricava partendo dall'accelerazione costante:
[tex]a(t) = v'(t) = a_0[/tex]
[tex]v(t) = x'(t) = v_0 + \int _{0} ^ta(t) dt= v_0 + a_0t[/tex]
[tex]x(t) = x_0 + \int_0^t v(t)dt = x_0 + v_0\int _{0} ^t dt + a_0\int _{0} ^tt dt= x_0 + v_0t + 1/2a_0t^2[/tex]
Senza utilizzare concetti come la tua "velocità media".
Era solo per puntualizzare sul metodo per ricavare le equazioni che è un metodo generale e molto importante. Se già sapevi queste cose non importa, ho fatto un po' di esercizio con LateX
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