Piano inclinato con tre masse

[jackomone]

Buonasera, vi espongo un quesito presente nell'ultimo mio appello di Fisica 1 che non sono riuscito a risolvere.

Dati:
m1 = 5Kg
m2= 10Kg
\alpha= 30°
\mu s= 0.12
\mu d = 0,1

Il sistema è formato da un piano inclinato su cui è appoggiato m2. Alla base del piano inclinato vi è un tratto orizzontale su cui è posizionato m1 che è collegato ad m2 tramite una fune con massa trascurabile. Dalla sommità del piano inclinato è sospeso m che è collegato ad m2 tramite una fune dalla massa trascurabile.

Sul piano inclinato e sul tratto orizzontale è presente attrito.



Le richieste sono:
a) calcolare m max per cui il sistema resta in equilibrio
b) se m = 2 m max, calcolare l'accelerazione del sistema
c) calcolare la tensione (dopo b) )

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Io ho pensato a creare quindi un sistema con le tre masse e con l'ipotesi che l'accelerazione sia pari a 0.

$ T -\mu s m1 g cos \alpha = m1a $
$T - m2 g sen\alpha - \mu s m2 g cos \alpha = m2 a $
$mg - T = ma $

Che quindi poi si semplifica in

$ T = \mu s m1 g cos \alpha $
$T = m2 g sen\alpha + \mu s m2 g cos \alpha = 0 $
$mg = T$

Continuando però nei calcoli non sono riuscito a risolvere nulla, trovandomi di fatto con accelerazioni sbagliate e tensioni sbagliate.

La mia domanda è:

la massa m1 bisogna tenerla in considerazione nel caso in cui si voglia mantenere l'equilibrio (ovvero è una componente necessaria al sistema per mantenere l'equilibrio?)

Non nego che siano presenti errori nelle formule.

Ringrazio chiunque per qualsiasi risposta.

[mgrau]

"jackomone":

La mia domanda è:

la massa m1 bisogna tenerla in considerazione nel caso in cui si voglia mantenere l'equilibrio (ovvero è una componente necessaria al sistema per mantenere l'equilibrio?)

E certo che conta... se $m_1$ è un elefante direi che m ha una certa libertà di manovra, e molto meno se fosse una piuma...

[jackomone]

Però facendo i calcoli non mi tornano, ovvero mi ritrovo con due tensioni diverse e quindi accelerazioni sbagliate.
L'approccio che uso io è giusto o bisogna considerare altro?

[anonymous_0b37e9]

Premesso che le tensioni delle due funi non sono necessariamente uguali, per quanto riguarda il punto a), il massimo valore di $m$ si ottiene quando le due forze di attrito sono massime:

Condizione di equilibrio relativa a $m_1$ (asse orizzontale diretto verso destra)

$T_1-F_(a_1)=0$

Condizione di equilibrio relativa a $m_2$ (asse inclinato diretto verso l'alto)

$T_2-T_1-m_2gsin\alpha-F_(a_2)=0$

Condizione di equilibrio relativa a $m$ (asse verticale diretto verso il basso)

$mg-T_2=0$

Poiché, sommando membro a membro:

$m=m_2sin\alpha+F_(a_1)/g+F_(a_2)/g$

il massimo valore di $m$:

$m_(max)=m_2sin\alpha+\mu_sm_1+\mu_sm_2cos\alpha$

si ottiene quando:

$F_(a_1)=\mu_sm_1g$

$F_(a_2)=\mu_sm_2gcos\alpha$

[jackomone]

"anonymous_0b37e9":
il massimo valore di $m$:

$m_(max)=m_2sin\alpha+\mu_sm_1+\mu_sm_2cos\alpha$

Da questa mi ricavo $m_max$:

$m_(max)=m_2sin\alpha+\mu_sm_1+\mu_sm_2cos\alpha$

che risulta $m_max=6.64 kg$.

Proseguo quindi al punto b):

$m=2*m_max$ che risulta $m=13.28kg$.

Mi prendo quindi le equazioni del sistema precedente:

$\{(T_1= m_1a - m_1g),(T_2=mg-ma),(T_2-T_1-m_2gsen\alpha-\mu_dm_2gcos\alpha=m_2a):}$

Nell'ultima equazione sostituisco le due tensioni:

$mg-ma-m_1a-\mu_dm_1g-m_2gsen\alpha-\mu_dm_2gcos\alpha=m_2a$

Sistemando un attimo mi trovo con:

$a=g(m-\mu_dm_1-m_2sen\alpha-\mu_dm_2cos\alpha)/(m+m_1+m_2)$ che risulta $a=2.39m/s^2$.

Finendo quindi col punto c) mi calcolo le tensioni:

$T_1=m_1a-m_1g$ $rarr$ $T_1=16,86N$
$T_2=mg-ma$ $rarr$ $T_2=98.54N$

Plausibile?

[anonymous_0b37e9]

Premesso che:

Secondo principio relativo a $m_1$

$T_1-\mu_dm_1g=m_1a$

Secondo principio relativo a $m_2$

$T_2-T_1-m_2gsin\alpha-\mu_dm_2gcos\alpha=m_2a$

Secondo principio relativo a $m$

$mg-T_2=ma$

qualcosa non torna nella prima equazione che hai scritto:

"jackomone":

$T_1=m_1a-m_1g$

[jackomone]

E' stato un refuso, ma nei miei appunti è corretto ed i risultati erano corretti, comunque:

$T_1=m_1a+\mu_dm_1g$ $rarr$ $T_1=16,86N$
$T_2=mg-ma$ $rarr$ $T_2=98.54N$

E questo dovrebbe essere risolto così