Piano inclinato con attrito disposto su tavolo liscio
Sia una pallina sulla sommita di un piano inclinato con coefficiente di attrito uguale a $mu$ (consideriamola un punto materiale). Quando la pallina rotola scendendovi, il piano inclinato si sposta per effetto dell'attrito tra la pallina e il piano inclinato stesso. Come faccio a calcolare l'accelerazione complessiva che agisce sulla pallina, considerando che anche il piano inclinato si muove in direzione opposta?
Risposte
Sì, hai perfettamente ragione 
Ho provato a rifarlo ora e il risultato mi esce identico al tuo. Ho controllato per $\alpha=0$ e mi è venuto subito qualche dubbio dato che $A$ non risulta zero, ma è chiaro che il sistema vale se il blocchetto è in movimento, per cui il significato fisico per $\alpha=0$ penso sia questo: lanciamo un blocchetto su un piano "inclinato" non inclinato; $A$ ci fornisce l'accelerazione di questo Ok, l'esercizio è risolto, cioè adesso bisognerebbe farsi una marea di contazzi per arrivare all'accelerazione della pallina nel sistema di riferimento del terreno, ma le idee sono state dette tutte (almeno mi pare )
Se trovo un altro modo di risolverlo ve lo faccio sapere
Ho provato a rifarlo ora e il risultato mi esce identico al tuo. Ho controllato per $\alpha=0$ e mi è venuto subito qualche dubbio dato che $A$ non risulta zero, ma è chiaro che il sistema vale se il blocchetto è in movimento, per cui il significato fisico per $\alpha=0$ penso sia questo: lanciamo un blocchetto su un piano "inclinato" non inclinato; $A$ ci fornisce l'accelerazione di questo
Ok, l'esercizio è risolto, cioè adesso bisognerebbe farsi una marea di contazzi per arrivare all'accelerazione della pallina nel sistema di riferimento del terreno, ma le idee sono state dette tutte (almeno mi pare )Se trovo un altro modo di risolverlo ve lo faccio sapere
Concordo su tutto. Complimenti ancora. 
In realtà ho trovato un altro metodo per risolverlo che ridicolizza di brutto quel megasistemone di prima.
Piazziamoci sul piano inclinato in movimento: il blocchetto avverte una forza apparente diretta parallelamente al terreno che lo "strappa dal piano" e poichè il piano accelera con $A$ (ancora incognita) questa forza che vale $mA$ Per cui la reazione vincolare del piano vale $N=mg\cos \alpha -mA \sin \alpha$ Ed e questo passaggio che ridicolizza tutti i contazzi di prima perchè il problema è già finito: scrivo $F=ma$ per il piano inclinato; avrò (ora il verso positivo l'ho scelto al contrario di prima, poco cambia
)$mg\cos \alpha \sin \alpha -mA\sin ^2 \alpha -\mu mg \cos^2 \alpha + \mu mA \sin \alpha \cos \alpha =MA\Rightarrow A=\frac{mg(\sin \alpha \cos \alpha - \mu \cos^2\alpha)}{m\sin^2 \alpha -\mu m \sin \alpha \cos \alpha +M}$ Adesso divido tutto per $\cos^2 \alpha$, poi utilizzo il fatto che $\tan^2\alpha +1=\frac{1}{\cos^2\alpha}$ ed ho il risultato di prima in tre righe
Piazziamoci sul piano inclinato in movimento: il blocchetto avverte una forza apparente diretta parallelamente al terreno che lo "strappa dal piano" e poichè il piano accelera con $A$ (ancora incognita) questa forza che vale $mA$ Per cui la reazione vincolare del piano vale $N=mg\cos \alpha -mA \sin \alpha$ Ed e questo passaggio che ridicolizza tutti i contazzi di prima perchè il problema è già finito: scrivo $F=ma$ per il piano inclinato; avrò (ora il verso positivo l'ho scelto al contrario di prima, poco cambia
)$mg\cos \alpha \sin \alpha -mA\sin ^2 \alpha -\mu mg \cos^2 \alpha + \mu mA \sin \alpha \cos \alpha =MA\Rightarrow A=\frac{mg(\sin \alpha \cos \alpha - \mu \cos^2\alpha)}{m\sin^2 \alpha -\mu m \sin \alpha \cos \alpha +M}$ Adesso divido tutto per $\cos^2 \alpha$, poi utilizzo il fatto che $\tan^2\alpha +1=\frac{1}{\cos^2\alpha}$ ed ho il risultato di prima in tre righe
mamma mia quanto mi sono perso...
@texas97: non ho capito un pezzo della tua prima soluzione:
non capisco questa ultima condizione,quali forze stai eguagliando?
inoltre:l'attrito tende a spostare verso sinistra il blocco? che presumo debba spostarsi verso destra.
mentre la componente orizzontale della reazione vincolare tende a spostarlo verso sinistra?giusto?
ma se sono uguali in modulo il blocco non si sposta,dico bene?
@texas97: non ho capito un pezzo della tua prima soluzione:
"texas97":
Infine abbiamo il vincolo che non possiamo ignorare: lungo la perpendicolare al piano inclinato, esso e il blocchetto non si separano, allora $a_x\sin \alpha -a_y \cos \alpha =A\sin \alpha$.
non capisco questa ultima condizione,quali forze stai eguagliando?
inoltre:l'attrito tende a spostare verso sinistra il blocco? che presumo debba spostarsi verso destra.
mentre la componente orizzontale della reazione vincolare tende a spostarlo verso sinistra?giusto?
ma se sono uguali in modulo il blocco non si sposta,dico bene?
Allora, vediamo un po'... Perdonami se non uso un sacco di formalismi che penso debbano essere usati, ma non so ancora usarli 
Il vincolo che tu hai quotato prima nasce da questo fatto. Considera ciò che io chiamo $a_x \ a_y \ A$ e considera che il blocchetto non perde mai contatto con il piano. Questo significa che il blocchetto non parte, non salta, non si stacca lungo la normale al piano inclinato. Per cui lungo la direzione della normale al piano inclinato l'accelerazione del blocchetto è uguale a quella del piano inclinato (sempre considerando le componenti lungo la normale al piano inclinato
). Te le scomponi, imponi che siano uguali ed esce ciò che avevo scritto. Poi non capisco bene quando parli di blocco se ti riferisci al piano inclinato o al blocchetto. Se ho capito bene ciò che intendi è vero ciò che dici ma quelle due forze non possono mai essere uguali sia se il piano inclinato è fermo, a maggior ragione quando si muove (per il fatto che $N$ è ancora minore...). Spero di essermi spiegato
Comunque, secondo me è migliore la seconda soluzione della prima, ed è anche più intuitiva oltre al fatto di essere decisamente più breve
Il vincolo che tu hai quotato prima nasce da questo fatto. Considera ciò che io chiamo $a_x \ a_y \ A$ e considera che il blocchetto non perde mai contatto con il piano. Questo significa che il blocchetto non parte, non salta, non si stacca lungo la normale al piano inclinato. Per cui lungo la direzione della normale al piano inclinato l'accelerazione del blocchetto è uguale a quella del piano inclinato (sempre considerando le componenti lungo la normale al piano inclinato
). Te le scomponi, imponi che siano uguali ed esce ciò che avevo scritto. Poi non capisco bene quando parli di blocco se ti riferisci al piano inclinato o al blocchetto. Se ho capito bene ciò che intendi è vero ciò che dici ma quelle due forze non possono mai essere uguali sia se il piano inclinato è fermo, a maggior ragione quando si muove (per il fatto che $N$ è ancora minore...). Spero di essermi spiegato Comunque, secondo me è migliore la seconda soluzione della prima, ed è anche più intuitiva oltre al fatto di essere decisamente più breve
è vero,ora mi piace di più. BRAVO.
per quanto riguarda la seconda soluzione:non avevo ancora visto. comunque si è vero è molto più facile ed intuitiva,è come se il corpo scendendo pesasse di meno.
comunque penso che tu abbia commesso un errore di battitura nell'espressione di N. dovrebbe essere $N=mgcos(\alpha)-mAsen(\alpha)$.
correggi per i posteri.
comunque sei un GENIO, bravo.
per quanto riguarda la seconda soluzione:non avevo ancora visto. comunque si è vero è molto più facile ed intuitiva,è come se il corpo scendendo pesasse di meno.
comunque penso che tu abbia commesso un errore di battitura nell'espressione di N. dovrebbe essere $N=mgcos(\alpha)-mAsen(\alpha)$.
correggi per i posteri.
comunque sei un GENIO, bravo.
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