Piano inclinato con attrito disposto su tavolo liscio
Sia una pallina sulla sommita di un piano inclinato con coefficiente di attrito uguale a $mu$ (consideriamola un punto materiale). Quando la pallina rotola scendendovi, il piano inclinato si sposta per effetto dell'attrito tra la pallina e il piano inclinato stesso. Come faccio a calcolare l'accelerazione complessiva che agisce sulla pallina, considerando che anche il piano inclinato si muove in direzione opposta?
Risposte
ciao,sono interessato anche io al problema, penso vada risolto introducendo il concetto di centro di massa, che per la presenza della forza di attrito varia la sua posizione,essendo quest'ultima una forza esterna(purtroppo),quindi il problema mi pare difficile (spero di sbagliarmi.)
chiedo lumi anche io.
chiedo lumi anche io.
"newton_1372":
Quando la pallina rotola scendendovi, il piano inclinato si sposta per effetto dell'attrito tra la pallina e il piano inclinato stesso.
Ti faccio solo notare che il piano si sposterebbe anche in assenza di attrito. Quest'ultimo caso è risolto esplicitamente in Esercizi di Fisica I, Bruno D'agostino Fiandri. Mi sembra un buon punto di partenza.
Ma facendo l'analisi delle forze mi trovo che le forze orizzontali (che sono quelle che fanno muovere il piano inclinato) si annullano in assenza di attrito! come fa una forza verticale come il peso a far muovere orizzontalmente il piano?
L'interazione tra la pallina e il piano inclinato si esplica mediante la reazione vincolare, non la forza peso della pallina.
Facendo uno schemino del piano inclinato, credo che newton_1372 voglia intendere questo:
http://imageshack.us/photo/my-images/820/pianos.jpg/
io ne ho fatto anche lo schema delle forze
per me, ciò che fa 'muovere' il piano è la forza di trascinamento, mentre l'accelerazione 'totale' sulla pallina (che ho disegnato come un cubetto) è la proezione della accelerazione di trascinamento sulla accelerazione che si ha dalla forza parallela al piano inclinato....
affinchè la pallina rimanga 'in quiete', dato l'angolo $alfha$, la condizione per trovare il coefficiente d'attrito statico $k$ è
$tg alpha = mu$ (se non è già noto)
http://imageshack.us/photo/my-images/820/pianos.jpg/
io ne ho fatto anche lo schema delle forze
per me, ciò che fa 'muovere' il piano è la forza di trascinamento, mentre l'accelerazione 'totale' sulla pallina (che ho disegnato come un cubetto) è la proezione della accelerazione di trascinamento sulla accelerazione che si ha dalla forza parallela al piano inclinato....
affinchè la pallina rimanga 'in quiete', dato l'angolo $alfha$, la condizione per trovare il coefficiente d'attrito statico $k$ è
$tg alpha = mu$ (se non è già noto)
clever, anche tu pensi che sia necessario l'attrito per muovere il piano?
Per muove il piano no, perchè è un parametro che riguarda solo il contatto pallina - piano inclinato, e non piano inclinato - piano orizzontale.
l'attrito è un parametro che ha una sua valenza nel gioco delle forze, ma secondo me c'entra l'accelerazione di trascinamento.
Si potrebbe trovare il coefficiente di attrito statico minimo affinche il corpo resti in quiete....
l'attrito è un parametro che ha una sua valenza nel gioco delle forze, ma secondo me c'entra l'accelerazione di trascinamento.
Si potrebbe trovare il coefficiente di attrito statico minimo affinche il corpo resti in quiete....
come già detto questo esercizio mi interessa anche a me..ho provato a fare qualcosa.
supponiamo $a_t$ accelerazione di trascinamento(che non so ricavare), l'accelerazione della pallina rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è $a=a_p+a_t$. con $a_p$ accelerazione della pallina.
quest'accelerazione però si può scomporre in due componenti(considero il disegno di clever)
$a_x=a_p*cos(alfa)+a_t$ e $a_y=-a_p*sen(alfa)$ a questo punto $a=sqrt(a_x^2+a_y^2)$
per quanto riguarda $a_t$ cosa si può dire?
supponiamo $a_t$ accelerazione di trascinamento(che non so ricavare), l'accelerazione della pallina rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è $a=a_p+a_t$. con $a_p$ accelerazione della pallina.
quest'accelerazione però si può scomporre in due componenti(considero il disegno di clever)
$a_x=a_p*cos(alfa)+a_t$ e $a_y=-a_p*sen(alfa)$ a questo punto $a=sqrt(a_x^2+a_y^2)$
per quanto riguarda $a_t$ cosa si può dire?
Supponiamo $a_t$ dato noto del problema.
quindi tu supponi come accelerazione 'relativa' quella della pallina rispetto al piano inclinato?
quindi tu supponi come accelerazione 'relativa' quella della pallina rispetto al piano inclinato?
si rispetto al "SISTEMA DI RIFERIMENTO INERZIALE".(un osservatore che vede il piano inclinato muoversi, il piano inclinato sarebbe il treno e la pallina la persona,tanto per fare un esempio)
comunque non mi piace supporre $a_t$ dato noto del problema,la difficolta maggiore del problema è la determinazione di questa accelerazione.
penso vadano fatte considerazioni sul centro di massa.
tu cosa ne dici?
comunque non mi piace supporre $a_t$ dato noto del problema,la difficolta maggiore del problema è la determinazione di questa accelerazione.
penso vadano fatte considerazioni sul centro di massa.
tu cosa ne dici?
si possono fare considerazioni del centro di massa, quando conosci entrambe le masse M del piano e m della pallina [che l'autore del post ha supposto punto materiale, e che di M non c'è ne ha proprio parlato].
Questo tipo di problemi creano un pò di difficoltà.
Questo tipo di problemi creano un pò di difficoltà.
si,infatti.com'è possibile quindi determinare $a_t$? qualche idea?
comunque se $a_t$ fosse nota,nel mio ragionamento non ho tenuto conto della forza di attrito,che tende a diminuire l'accelerazione.
dopo provo a fare qualcosa,prima però mi interessa il problema di $a_t$
comunque se $a_t$ fosse nota,nel mio ragionamento non ho tenuto conto della forza di attrito,che tende a diminuire l'accelerazione.
dopo provo a fare qualcosa,prima però mi interessa il problema di $a_t$
Le ipotesi sono due:
O $a_t$ è noto, dato del problema insieme alla massa $M$ del piano inclinato.
o non è noto niente. [ci vorrebbero allora altri parametri]
io penso che bisognerebbe scrivere una visione analitica della situazione.
Quali sono le forze in gioco?
Cosa si deve trovare?
spero in vostre risposte, mi interessa queto problema!
O $a_t$ è noto, dato del problema insieme alla massa $M$ del piano inclinato.
o non è noto niente. [ci vorrebbero allora altri parametri]
io penso che bisognerebbe scrivere una visione analitica della situazione.
Quali sono le forze in gioco?
Cosa si deve trovare?
spero in vostre risposte, mi interessa queto problema!
mi unisco anch'io alla richiesta di clever.
mi interessa anche a me questo problema 
però invece di dare risposte, pongo domande...
è corretto dire che la quantità di moto del sistema si conserva, giusto? dato che il vincolo è solo in direzione "verticale", ed i due oggetti non sono vincolati orizzontalmente...
però invece di dare risposte, pongo domande...
è corretto dire che la quantità di moto del sistema si conserva, giusto? dato che il vincolo è solo in direzione "verticale", ed i due oggetti non sono vincolati orizzontalmente...
Ci ho speso più di due ore 
ma dovrei essere riuscito a cavarne qualcosa...
immaginiamo la situazione dall'esterno (un sistema di riferimento solidale al terreno penso si dica) e scriviamo l'equzione di Newton per il blocchetto prima e poi per il piano inclinato.
lungo l'asse y, che è perpendicolare al terreno, avrò $mg-N\cos \alpha -\mu N \sin \alpha = ma_y$ mentre per l'asse x sarà $N \sin \alpha - \mu N \cos \alpha=ma_x$. Lasciamo perdere il blocchetto e guardiamo il piano inclinato: ci sono 2 forze che vogliono farlo muovere in orizzontale; la reazione al blocchetto ($N$) e la forza d'attrito. Pertanto per il piano inclinato avrò $\mu N \cos \alpha - N\sin \alpha = MA$ dove $A$ è l'accelerazione del piano inclinato, quella che prima mi pare chiamavate $a_t$. Infine abbiamo il vincolo che non possiamo ignorare: lungo la perpendicolare al piano inclinato, esso e il blocchetto non si separano, allora $a_x\sin \alpha -a_y \cos \alpha =A\sin \alpha$.
Risolvo il megasistemone ed ho che $A=\frac{mg}{M\frac{1+\mu \tan \alpha}{\mu \tan \alpha -1}-\tan \alpha (m+M)}$ Posso poi ricavare $a_x$ e $a_y$, fare il teorema di pitagora e ricavare il modulo dell'accelerazione della pallina nel nostro sistema di riferimento.
ma dovrei essere riuscito a cavarne qualcosa...immaginiamo la situazione dall'esterno (un sistema di riferimento solidale al terreno penso si dica) e scriviamo l'equzione di Newton per il blocchetto prima e poi per il piano inclinato.
lungo l'asse y, che è perpendicolare al terreno, avrò $mg-N\cos \alpha -\mu N \sin \alpha = ma_y$ mentre per l'asse x sarà $N \sin \alpha - \mu N \cos \alpha=ma_x$. Lasciamo perdere il blocchetto e guardiamo il piano inclinato: ci sono 2 forze che vogliono farlo muovere in orizzontale; la reazione al blocchetto ($N$) e la forza d'attrito. Pertanto per il piano inclinato avrò $\mu N \cos \alpha - N\sin \alpha = MA$ dove $A$ è l'accelerazione del piano inclinato, quella che prima mi pare chiamavate $a_t$. Infine abbiamo il vincolo che non possiamo ignorare: lungo la perpendicolare al piano inclinato, esso e il blocchetto non si separano, allora $a_x\sin \alpha -a_y \cos \alpha =A\sin \alpha$.
Risolvo il megasistemone ed ho che $A=\frac{mg}{M\frac{1+\mu \tan \alpha}{\mu \tan \alpha -1}-\tan \alpha (m+M)}$ Posso poi ricavare $a_x$ e $a_y$, fare il teorema di pitagora e ricavare il modulo dell'accelerazione della pallina nel nostro sistema di riferimento.
"matematico91":
come già detto questo esercizio mi interessa anche a me..ho provato a fare qualcosa.
supponiamo $a_t$ accelerazione di trascinamento(che non so ricavare), l'accelerazione della pallina rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è $a=a_p+a_t$. con $a_p$ accelerazione della pallina.
quest'accelerazione però si può scomporre in due componenti(considero il disegno di clever)
$a_x=a_p*cos(alfa)+a_t$ e $a_y=-a_p*sen(alfa)$ a questo punto $a=sqrt(a_x^2+a_y^2)$
per quanto riguarda $a_t$ cosa si può dire?
ci ho ripensato anche io:
se $a_t$ è noto allora non serve la massa $M$,supponendo allora di avere a disposizione $a_t$ il mio ragionamentoche quoto mi pare essere corretto.
al posto di $a_p$ andrà messa l'espressione dell'accelerazione di un corspo che scende da un piano inclinato con un dato coef di attrito,che si ricava facilmente $a_p=g*(\mu *cos(\alpha)-sen(\alpha))$
per il resto penso sia valido il discorso precendete.
cercando di immaginare quale potrebbe essere la traiettoria del blocco mi sono un pò trovato in difficolta,ma penso sia una retta di cui devo ancora determinare l'equazione.
@texas97: non mi torna del tutto il tuo ragionamento.
@matematico91: forse c'è qualcosa di poco chiaro nel mio ragionamento (beh, di sicuro l'esposizione si può migliorare scrivere non è il mio forte)?
Per chiarezza posso scrivere qualche considerazione in più: i risultati sono tutti con il segno, vale a dire la $A$ che ho ricavato risulta per forza essere negativa e perciò il denominatore deve essere negativo. Salta dunque fuori una disequazione. Se questa non viene soddisfatta non significa che piano inclinato e blocchetto partono entrambi verso destra (o sinistra, dipende dal tuo disegno) il che non avrebbe senso fisico, ma significa che il sistema non si muove (immagina un $\alpha$ piccolo e un grande $\mu$).
Poi, boh, quanto a quello che dici, non sono totalmente d'accordo: non capisco se la tua $a_t$ è la mia $A$; se così fosse non credo che tu possa sommare algebricamente $a_p + a_t$ poichè sono due vettori non paralleli, a meno che tu non intenda somma vettoriale. Inoltre l'accelerazione relativa fra pallina e piano inclinato non è quella che tu chiami $a_p$ poichè la reazione normale del piano non vale $mg\cos \alpha$. Magari prova a fare i calcoli fino in fondo e vediamo se $A$ risulta uguale...
Per qunto riguarda la traiettoria del corpo, essa è retta poichè tutte le accelerazioni in gioco sono costanti nel tempo; pertanto penso che non può essere che così
scrivere non è il mio forte)?Per chiarezza posso scrivere qualche considerazione in più: i risultati sono tutti con il segno, vale a dire la $A$ che ho ricavato risulta per forza essere negativa e perciò il denominatore deve essere negativo. Salta dunque fuori una disequazione. Se questa non viene soddisfatta non significa che piano inclinato e blocchetto partono entrambi verso destra (o sinistra, dipende dal tuo disegno) il che non avrebbe senso fisico, ma significa che il sistema non si muove (immagina un $\alpha$ piccolo e un grande $\mu$).
Poi, boh, quanto a quello che dici, non sono totalmente d'accordo: non capisco se la tua $a_t$ è la mia $A$; se così fosse non credo che tu possa sommare algebricamente $a_p + a_t$ poichè sono due vettori non paralleli, a meno che tu non intenda somma vettoriale. Inoltre l'accelerazione relativa fra pallina e piano inclinato non è quella che tu chiami $a_p$ poichè la reazione normale del piano non vale $mg\cos \alpha$. Magari prova a fare i calcoli fino in fondo e vediamo se $A$ risulta uguale...
Per qunto riguarda la traiettoria del corpo, essa è retta poichè tutte le accelerazioni in gioco sono costanti nel tempo; pertanto penso che non può essere che così
si naturalmente è una somma vettoriale,se poi continui a leggere il post ho scomposto nella direzione x e nella direzione y,comunque si quello che tu chiami A io chiamo $a_t$(accelerazione di tracinamento).comunque la tua $a_t$ ovvero A non mi convince,domani proverò a fare qualcosa,mentre per quanto riguarda la reazione normale penso proprio che valga quello che ho scritto e quindi l'accelerazione $a_p$ vale ciò che ho detto,comunque proverò a rifare e ti faccio sapere.
intanto mi fa piacere che tu ti sia interessato al problema,pensavo di non trovare nessuno con qui discutere.
grazie.
intanto mi fa piacere che tu ti sia interessato al problema,pensavo di non trovare nessuno con qui discutere.
grazie.
Complimenti texas97, il sistema è corretto. Devi però aver commesso un errore nel ricavare la tua soluzione:
$A=\frac{mg}{M\frac{1+\mu \tan \alpha}{\mu \tan \alpha -1}-\tan \alpha (m+M)}$
come puoi facilmente verificare sostituendo i $2$ casi limite corrispondenti al piano orizzontale, con e senza attrito. Dovresti invece ottenere la seguente soluzione:
$A=(m(\mu-tg\alpha))/((M+m)tg^2\alpha-m\mutg\alpha+M)g$
nel pieno rispetto dei casi limite.
$A=\frac{mg}{M\frac{1+\mu \tan \alpha}{\mu \tan \alpha -1}-\tan \alpha (m+M)}$
come puoi facilmente verificare sostituendo i $2$ casi limite corrispondenti al piano orizzontale, con e senza attrito. Dovresti invece ottenere la seguente soluzione:
$A=(m(\mu-tg\alpha))/((M+m)tg^2\alpha-m\mutg\alpha+M)g$
nel pieno rispetto dei casi limite.
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