Piano inclinato, angolo di instabilità verticale di baricent
Bene come si sa un oggetto é in equilibrio se la verticale di baricentro cade sull'area convessa definita dai punti di appoggio.
Qualora un oggetto si trovi su un piano inclinato c'è un particolare angolo di inclinazione del piano prima del quale si ha stabilità e oltre il quale la si perde. Il problema 4.16 del seguente scan chiede di calcolare tale angolo: http://img525.imageshack.us/img525/4766/inclin.jpg
Mi dite come si fa a partire dai dati del problema e mi spiegate anche l'impianto teorico delle relative formule ?
Purtroppo il libro nella teoria oltre a esporre il punto focale che ho condensato nella prima riga fa degli esempi su come ciò influenzi la motilità degli animali, ma non spiega le formule.
grazie mille a chi ci prova!
Qualora un oggetto si trovi su un piano inclinato c'è un particolare angolo di inclinazione del piano prima del quale si ha stabilità e oltre il quale la si perde. Il problema 4.16 del seguente scan chiede di calcolare tale angolo: http://img525.imageshack.us/img525/4766/inclin.jpg
Mi dite come si fa a partire dai dati del problema e mi spiegate anche l'impianto teorico delle relative formule ?
Purtroppo il libro nella teoria oltre a esporre il punto focale che ho condensato nella prima riga fa degli esempi su come ciò influenzi la motilità degli animali, ma non spiega le formule.
grazie mille a chi ci prova!
Risposte
Bisogna innanzitutto capire che, affinché il tavolo rimanga in equilibrio sul piano inclinato, senza scivolare giù, l'angolo di inclinazione deve essere inferiore all'angolo di attrito. Sai che cosa è l'angolo di attrito? Te lo spiego.
Il contatto tra le quattro gambe del tavolo e il piano non può essere liscio, cioè tra le superfici delle gambe poggiate sul piano e il piano stesso deve esserci una forza di attrito statico, affinché alzando lentamente il piano esso non scivoli immediatamente giù. Se il tavolo ha un certo peso $\vecP = m\vec(g)$ e il piano viene inclinato di un angolo $\theta$, il peso si scompone in una componente tangente al piano, diretta verso il basso, di modulo $mg*sen\theta$, e una componente normale al piano, di modulo $mg*cos\theta$.
Il piano reagisce con una reazione normale uguale e contraria alla seconda componente detta, e inoltre con una componente tangente al piano, opposta alla prima componente, data dalla forza di attrito complessiva tra piano e superfici inferiori delle 4 gambe.
Fin tanto che la forza di modulo $mg*sen\theta$ risulta inferiore, o al limite uguale, alla massima forza di attrito che il piano può opporre, data da : $\mu*mg*cos\theta$, dove $\mu$ è il coefficiente di attrito, l'equilibrio è assicurato, il tavolo non scivola lungo il piano. Nella condizione limite detta di uguaglianza, si ha :$mg*sen\theta - \mu*mg*cos\theta = 0$, da cui si ricava che l'angolo massimo di cui si può sollevare il piano è dato da : $tg\theta = \mu$.
Questo è vero in generale, per qualsiasi corpo posto su un piano inclinato scabro, che può essere inclinato al massimo di $\theta = arctg\mu$ affinché il corpo rimanga in equilibrio.
Posto quanto sopra, supponiamo di essere in una condizione per cui il tavolo è in equilibrio. Perciò sussiste l'equazione vettoriale : $ vecP + vecR = 0 $ , dove $vecR$ è la reazione del piano.
Che cosa significa " ribaltamento" ? Significa che il tavolo, senza scivolare, tende a ruotare attorno al punto $H$ di contatto del piede posto più in basso ( a rigore dovrei parlare al plurale: i piedi più in basso sono 2, ma sul foglio di disegno vedi la proiezione). La condizione al limite del ribaltamento è quindi che la retta di azione di $vecP$ passi per questo punto di contatto $H$ .
Se la retta di azione è interna all'appoggio, cioè è più in alto di $H$ sul piano inclinato, il momento del peso rispetto ad $H$ è orario (guarda il disegno) dunque raddrizzante.
Se invece la retta di azione è esterna all'appoggio, cioè è più in basso di $H$, il momento del peso rispetto ad $H$ è antiorario, dunque ribaltante.
Si può esprimere analiticamente questo nel modo seguente: scomponi la forza peso applicata in $G$ nelle due componenti, una parallela e l'altra perpendicolare al piano inclinato. Il baricentro $G$ dista $h$ dal piano, e dista $L/2$ dall'esterno gamba del tavolo. LA forza parallela ha momento ribaltante $ mgsen\theta*h$, la forza perpendicolare ha momento raddrizzante $mgcos\theta*L/2$.
PErchè non ci sia ribaltamento, deve essere : $ mgsen\theta*h <= mgcos\theta*L/2$, ovvero : $tg\theta<=L/(2h)$. LA condizione limite si ha col segno di uguaglianza.
No si può dire a priori se il tavolo scivola prima di ribaltarsi oppure non scivola e si ribalta: dipende dalla geometria e dal coefficiente di attrito. È intuitivo che un tavolo basso e largo tenderà a scivolare, mentre un tavolo alto e stretto tenderà a ribaltarsi. MA ripeto, dipende dai fattori detti.
Il contatto tra le quattro gambe del tavolo e il piano non può essere liscio, cioè tra le superfici delle gambe poggiate sul piano e il piano stesso deve esserci una forza di attrito statico, affinché alzando lentamente il piano esso non scivoli immediatamente giù. Se il tavolo ha un certo peso $\vecP = m\vec(g)$ e il piano viene inclinato di un angolo $\theta$, il peso si scompone in una componente tangente al piano, diretta verso il basso, di modulo $mg*sen\theta$, e una componente normale al piano, di modulo $mg*cos\theta$.
Il piano reagisce con una reazione normale uguale e contraria alla seconda componente detta, e inoltre con una componente tangente al piano, opposta alla prima componente, data dalla forza di attrito complessiva tra piano e superfici inferiori delle 4 gambe.
Fin tanto che la forza di modulo $mg*sen\theta$ risulta inferiore, o al limite uguale, alla massima forza di attrito che il piano può opporre, data da : $\mu*mg*cos\theta$, dove $\mu$ è il coefficiente di attrito, l'equilibrio è assicurato, il tavolo non scivola lungo il piano. Nella condizione limite detta di uguaglianza, si ha :$mg*sen\theta - \mu*mg*cos\theta = 0$, da cui si ricava che l'angolo massimo di cui si può sollevare il piano è dato da : $tg\theta = \mu$.
Questo è vero in generale, per qualsiasi corpo posto su un piano inclinato scabro, che può essere inclinato al massimo di $\theta = arctg\mu$ affinché il corpo rimanga in equilibrio.
Posto quanto sopra, supponiamo di essere in una condizione per cui il tavolo è in equilibrio. Perciò sussiste l'equazione vettoriale : $ vecP + vecR = 0 $ , dove $vecR$ è la reazione del piano.
Che cosa significa " ribaltamento" ? Significa che il tavolo, senza scivolare, tende a ruotare attorno al punto $H$ di contatto del piede posto più in basso ( a rigore dovrei parlare al plurale: i piedi più in basso sono 2, ma sul foglio di disegno vedi la proiezione). La condizione al limite del ribaltamento è quindi che la retta di azione di $vecP$ passi per questo punto di contatto $H$ .
Se la retta di azione è interna all'appoggio, cioè è più in alto di $H$ sul piano inclinato, il momento del peso rispetto ad $H$ è orario (guarda il disegno) dunque raddrizzante.
Se invece la retta di azione è esterna all'appoggio, cioè è più in basso di $H$, il momento del peso rispetto ad $H$ è antiorario, dunque ribaltante.
Si può esprimere analiticamente questo nel modo seguente: scomponi la forza peso applicata in $G$ nelle due componenti, una parallela e l'altra perpendicolare al piano inclinato. Il baricentro $G$ dista $h$ dal piano, e dista $L/2$ dall'esterno gamba del tavolo. LA forza parallela ha momento ribaltante $ mgsen\theta*h$, la forza perpendicolare ha momento raddrizzante $mgcos\theta*L/2$.
PErchè non ci sia ribaltamento, deve essere : $ mgsen\theta*h <= mgcos\theta*L/2$, ovvero : $tg\theta<=L/(2h)$. LA condizione limite si ha col segno di uguaglianza.
No si può dire a priori se il tavolo scivola prima di ribaltarsi oppure non scivola e si ribalta: dipende dalla geometria e dal coefficiente di attrito. È intuitivo che un tavolo basso e largo tenderà a scivolare, mentre un tavolo alto e stretto tenderà a ribaltarsi. MA ripeto, dipende dai fattori detti.
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