Piano inclinato
Ragazzi, ho un semplice problema su una casa su un piano inclinato, ma putroppo non vengo a capo all'ultimo punto:
Problema:
una cassa di massa $m$ è appoggiata su di un piano liscio inclinato di un angolo $\theta$.
1)Si determini l'accelerazione della cassa una volta lasciata libera
E fin qui ci sono, mi trovo che è $a = g sin \theta$
2) Facciamo l'ipotesi che la cassa venga abbandonata da ferma alla sommità del piano inclinato, e la distanza lungo il piano da cima a fondo sia $d$. Quanto impiega la cassa a raggiungere il fondo?
E anche qui sembra che ci sono, risolvo $d = 0 + 0 + 1/2g* sin \theta * t ^ 2 \hArr t^2 = (2d)/(g * sin \theta) \rArr t = sqrt(((2d)/(g *sin \theta)))$
3) A che velocità raggiunge il fondo?
E qui non capisco perchè non mi trovo.
la velocità è $v_f = v_0 + at$? quindi sostituendo ho che $v = g * sin \theta * sqrt(((2d)/(g *sin \theta))) = sqrt(((2d*g * sin \theta)/(g *sin \theta))) = sqrt(2d*g*sin\theta)$
Corretto? perchè il libro dice di no
Problema:
una cassa di massa $m$ è appoggiata su di un piano liscio inclinato di un angolo $\theta$.
1)Si determini l'accelerazione della cassa una volta lasciata libera
E fin qui ci sono, mi trovo che è $a = g sin \theta$
2) Facciamo l'ipotesi che la cassa venga abbandonata da ferma alla sommità del piano inclinato, e la distanza lungo il piano da cima a fondo sia $d$. Quanto impiega la cassa a raggiungere il fondo?
E anche qui sembra che ci sono, risolvo $d = 0 + 0 + 1/2g* sin \theta * t ^ 2 \hArr t^2 = (2d)/(g * sin \theta) \rArr t = sqrt(((2d)/(g *sin \theta)))$
3) A che velocità raggiunge il fondo?
E qui non capisco perchè non mi trovo.
la velocità è $v_f = v_0 + at$? quindi sostituendo ho che $v = g * sin \theta * sqrt(((2d)/(g *sin \theta))) = sqrt(((2d*g * sin \theta)/(g *sin \theta))) = sqrt(2d*g*sin\theta)$
Corretto? perchè il libro dice di no
Risposte
Mi sembra corretto. Cosa dice il tuo libro?
per caso dice $v=sqrt(2gh)$
con
$h = dsin\theta$
?
con
$h = dsin\theta$
?
si esatto ebol! si trova così... ma perchè??
Ovviamente, seguendo un approccio energetico, hai una trasformazione integrale di energia potenziale in energia cinetica....
1/2mv^2=mgh
da cui è immediato trovare v
1/2mv^2=mgh
da cui è immediato trovare v
Bè diciamo che il modo più semplice è quello di sfruttare la conservazione dell'energia.
$U_i + K_i = U_f + K_f$
Dove $U$ e $K$ sono rispettivamente l'energia potenziale e cinetica del corpo; mentre i pedici $i$ $f$ stanno ad indicare (l'energia) "iniziale" e "finale".
[si può dimostrare che con alcune condizioni $E=U+K=cost$]
Sostanzialmente il corpo partendo da fermo (cioè con velocita $v_i=0$) ha ovviamente energia cinetica nulla $K_i=0$ e dato che si trova ad una certa altezza ed è soggetto alla forza di gravità (in questo caso $\vec F=m \vec g$) l'energia potenziale iniziale sarà $U_i= mgh$; dove h è l'altezza da cui cade il corpo.
Quando il corpo arriva in fondo al piano inclinato (h=0) tutta la sua energia potenziale si è trasformata in energia cinetica quindi:
$U_f=0$ e $ K_f= 1/2 mv^2$
Quindi sostituendo ottieni un uguaglianza da cui puoi facilmente ricavare la velocità.
L'altezza h si ricava semplicemente da considerazioni trigonometriche se conosci la lunghezza del piano inclinato e l'angolo d'inclinazione.
(secondo me) è bene che pensi al fatto che l'energia si è trasformata da potenziale a cinetica.
Diciamo che si manifesta sotto diverse vesti
Non so a che livello degli studi sei arrivato quindi mi fermo quì Nel caso su internet trovi qualche spiegazione; altrimenti controlla sui libri e chiedi al professore.
Ciao!
$U_i + K_i = U_f + K_f$
Dove $U$ e $K$ sono rispettivamente l'energia potenziale e cinetica del corpo; mentre i pedici $i$ $f$ stanno ad indicare (l'energia) "iniziale" e "finale".
[si può dimostrare che con alcune condizioni $E=U+K=cost$]
Sostanzialmente il corpo partendo da fermo (cioè con velocita $v_i=0$) ha ovviamente energia cinetica nulla $K_i=0$ e dato che si trova ad una certa altezza ed è soggetto alla forza di gravità (in questo caso $\vec F=m \vec g$) l'energia potenziale iniziale sarà $U_i= mgh$; dove h è l'altezza da cui cade il corpo.
Quando il corpo arriva in fondo al piano inclinato (h=0) tutta la sua energia potenziale si è trasformata in energia cinetica quindi:
$U_f=0$ e $ K_f= 1/2 mv^2$
Quindi sostituendo ottieni un uguaglianza da cui puoi facilmente ricavare la velocità.
L'altezza h si ricava semplicemente da considerazioni trigonometriche se conosci la lunghezza del piano inclinato e l'angolo d'inclinazione.
(secondo me) è bene che pensi al fatto che l'energia si è trasformata da potenziale a cinetica.
Diciamo che si manifesta sotto diverse vesti
Non so a che livello degli studi sei arrivato quindi mi fermo quì
Nel caso su internet trovi qualche spiegazione; altrimenti controlla sui libri e chiedi al professore.Ciao!
mmm scusami ma l'energia potenziale non dovrebbe essere $mgh*sin \theta$?? perchè altrimenti non prendo in considerazione solo la componente parallela al piano, ma quella di un qualunque elemento posto ad altezza h, quindi avere piani di diversa inclinazione (o non averne proprio) diventa ininfluente... o sbaglio?
"enpires":
mmm scusami ma l'energia potenziale non dovrebbe essere $mgh*sin \theta$?? perchè altrimenti non prendo in considerazione solo la componente parallela al piano, ma quella di un qualunque elemento posto ad altezza h, quindi avere piani di diversa inclinazione (o non averne proprio) diventa ininfluente... o sbaglio?
è proprio questo il vantaggio del peso, di essere una forza conservativa, ed esattamente come hai detto per tutti i piani di altezza $h$ e inclinazione qualsiasi l'energia potenziale di un corpo sulla sua cima è sempre $m*g*h$
l'oggetto è posto ad altezza h e l'energia potenziale gravitazionale dipende dall'altezza. cioè se tu tieni una palla ad una certa altezza a quella non gli importa cosa la sta tenendo, c'è un vincolo che riesce a bilanciarne la forza peso.
Inoltre la cassa parte da ferma, quindi si potrebbe immaginare che la cassa sta nel piano inclinato e c'è un perno di fronte che non la fa scivolare. Stiamo parlando di "energia potenziale" (di Lavoro) e dunque di uno scalare (numero).
Infatti il lavoro fatto (o se vuoi l'energia spesa) per portare la massa m a quell'altezza è indipendente dal cammino fatto.
(es. se dovessi portar quella cassa dal piano terra al primo sarebbe ininfluente che tu prenda l'ascensore, facendo un tragitto verticale, o che tu prenda le scale. Contano solo la posizione di partenza e quella di arrivo)
un po' diverso è se vai a vedere la Forza; questa dato che è un vettore avrà 2 componenti (x,y) rispetto al sitema di riferimento che scegli.
Quindi l'energia potenziale $U_i=mgh=mg d sen \theta$
perchè $h=d sen\theta$
Inoltre la cassa parte da ferma, quindi si potrebbe immaginare che la cassa sta nel piano inclinato e c'è un perno di fronte che non la fa scivolare. Stiamo parlando di "energia potenziale" (di Lavoro) e dunque di uno scalare (numero).
Infatti il lavoro fatto (o se vuoi l'energia spesa) per portare la massa m a quell'altezza è indipendente dal cammino fatto.
(es. se dovessi portar quella cassa dal piano terra al primo sarebbe ininfluente che tu prenda l'ascensore, facendo un tragitto verticale, o che tu prenda le scale. Contano solo la posizione di partenza e quella di arrivo)
un po' diverso è se vai a vedere la Forza; questa dato che è un vettore avrà 2 componenti (x,y) rispetto al sitema di riferimento che scegli.
Quindi l'energia potenziale $U_i=mgh=mg d sen \theta$
perchè $h=d sen\theta$
perfetto grazie mille a tutti!!!
grazie mille a tutti!!!
la velocità raggiunta sul fondo sarà sempre la stessa qualunque sia l'angolo (da un piano quasi orizzontale lungo chilometri, a una caduta verticale senza alcun piano) purchè l'altezza iniziale sia sempre quella....
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