Piano inclinato.
Un corpo scivola lungo un piano inclinato di $50°$ rispetto all'orizzontale e raggiunge un piano orizzontale dove si ferma ad una distanza $d$ dal piano inclinato. Se il corpo parte da fermo da un'altezza iniziale $h=5m$ e se lungo tutto il suo percorso il coefficiente di attrito dinamico tra il corpo e la superficie su cui si muove e' $0,2$, quanto vale $d$?
Svolgimento
Lunghezza $h'$ piano inclinato: $h'*sinalpha=h$ cioe'.. $h'=h/(sinalpha)$
Io avevo pensato di utilizzare il principio di conservazione dell'energia in presenza di attrito per trovare la velocita' che raggiunge il corpo quando arriva alla fine del piano inclinato.
Il mio problema e' che ho difficolta' ad impostarla algebricamente.. spero che qualcuno di voi mi possa aiutare a farlo nel modo corretto.
L'equazione che ho utilizzato e' la seguente..
$DeltaE_(mec) + DeltaE_(th) = 0$
quindi..
$DeltaE_(mec) = - DeltaE_(th)$
$- DeltaE_(th)= -f_k*h' = - mu_k*mgcosalpha*h'$
$DeltaE_(mec) = ?$
Svolgimento
Lunghezza $h'$ piano inclinato: $h'*sinalpha=h$ cioe'.. $h'=h/(sinalpha)$
Io avevo pensato di utilizzare il principio di conservazione dell'energia in presenza di attrito per trovare la velocita' che raggiunge il corpo quando arriva alla fine del piano inclinato.
Il mio problema e' che ho difficolta' ad impostarla algebricamente.. spero che qualcuno di voi mi possa aiutare a farlo nel modo corretto.
L'equazione che ho utilizzato e' la seguente..
$DeltaE_(mec) + DeltaE_(th) = 0$
quindi..
$DeltaE_(mec) = - DeltaE_(th)$
$- DeltaE_(th)= -f_k*h' = - mu_k*mgcosalpha*h'$
$DeltaE_(mec) = ?$
Risposte
puoi impostare il principio ma devi tenere conto che l'energia meccanica non è conservata. Viene conservata solo nel momento in cui ad esempio non c'è l'attrito.
in termini energetici, puoi usare il teorema delle forze vive lungo la zona inclinata (ovvero dal p.to iniziale alla fine del piano inclinato) e poi lungo quella pianeggiante. oppure puoi trattare il problema in termini dinamici ma non mi sembra conveniente per la maggior durata di tempo.
credo e spero di non avere detto delle cazzate.
ciao ciao
credo e spero di non avere detto delle cazzate.
ciao ciao
$E_i=mgh$
$E_f=mumg(hcottheta+d)$
$E_1=E_f$...
$E_f=mumg(hcottheta+d)$
$E_1=E_f$...
Ma con le forze trovando l'accelerazione non è più facile???
Direi di no... 
Io l'avevo pensata in questo modo:
(PREMESSA: i pedici i e f si riferiscono ai punti iniziali e finali del piano inclinato e l'equazione $DeltaE_(mec)=-DeltaE_(th)$ si riverisce solamente al piano inclinato, l'equazione mi restituisce il valore al quadrato assunto dalla velocita' alla fine del piano inclinato)
$DeltaE_(mec)=m/2v_f^2-m/2v_i^2+mgsinalphah'_i-mgsinalphah'_f$
L'energia cinetica e l'energia potenziale all'inizio del piano inclinato valgono zero, perche' il corpo parte da fermo e $h'_i=0$.
Quindi rimane:
$DeltaE_(mec)=m/2v_f^2-mgsinalphah'_f$
Sonstituendo in $DeltaE_(mec)=-DeltaE_(th)$ sia ha che:
$m/2v_f^2-mgsinalphah'_f=-mu_k*mgcosalpha*h'$
La velocita' al quadrato alla fine del piano e':
$v^2=2gh'*(sinalpha-mu_kcosalpha)$
Ora che ho la velocita' posso dire che lungo il piano orizzontale il corpo si muove di moto uniformemente decellerato, in cui la velocita' iniziale $v_0^2$ e' la velocita' finale del piano inclinato, uso quindi:
$v_f^2=v_0^2 - 2ad$ dove $v_f=0$
purtoppo pero' non si conosce $a$ ma la ricavo da:
$ma=mu_k*mg$ che e' lunica forza (attrito) che agisce sul piano inclinato.
$a=mu_k*g$
Spero sia giusto, comunque guardate bene se ho scritto l'equazione del principio di conservazione in modo corretto.
Vi ringrazio tutti.
P.S. un grazie particolare a cavallipurosangue.
(PREMESSA: i pedici i e f si riferiscono ai punti iniziali e finali del piano inclinato e l'equazione $DeltaE_(mec)=-DeltaE_(th)$ si riverisce solamente al piano inclinato, l'equazione mi restituisce il valore al quadrato assunto dalla velocita' alla fine del piano inclinato)
$DeltaE_(mec)=m/2v_f^2-m/2v_i^2+mgsinalphah'_i-mgsinalphah'_f$
L'energia cinetica e l'energia potenziale all'inizio del piano inclinato valgono zero, perche' il corpo parte da fermo e $h'_i=0$.
Quindi rimane:
$DeltaE_(mec)=m/2v_f^2-mgsinalphah'_f$
Sonstituendo in $DeltaE_(mec)=-DeltaE_(th)$ sia ha che:
$m/2v_f^2-mgsinalphah'_f=-mu_k*mgcosalpha*h'$
La velocita' al quadrato alla fine del piano e':
$v^2=2gh'*(sinalpha-mu_kcosalpha)$
Ora che ho la velocita' posso dire che lungo il piano orizzontale il corpo si muove di moto uniformemente decellerato, in cui la velocita' iniziale $v_0^2$ e' la velocita' finale del piano inclinato, uso quindi:
$v_f^2=v_0^2 - 2ad$ dove $v_f=0$
purtoppo pero' non si conosce $a$ ma la ricavo da:
$ma=mu_k*mg$ che e' lunica forza (attrito) che agisce sul piano inclinato.
$a=mu_k*g$
Spero sia giusto, comunque guardate bene se ho scritto l'equazione del principio di conservazione in modo corretto.
Vi ringrazio tutti.
P.S. un grazie particolare a cavallipurosangue.
Trovo il tuo ragionamento alquanto tortuoso... perchè trovare i parametri caratteristici del moto alla fine del piano inclinato... non ne vedo il bisogno... questo è il priviligio dell'energia, o dei metodi energetici in generale...
Con la dinamica diretta dovresti necessariamente dividere il problema in 2 sottoproblemi, mentre attraverso l'uso del principio di conservazione dell'energia non ne hai bisogno...
Con la dinamica diretta dovresti necessariamente dividere il problema in 2 sottoproblemi, mentre attraverso l'uso del principio di conservazione dell'energia non ne hai bisogno...
l'avevo pensata in questo modo perche' il contributo della gravita' agisce solamente lungo il piano inclinato...
ho un po' di confusione in testa.. scusate...
Tranquillo, è normale, ma vedendo il tuo impegno, forse deduco che questa confusione non è solo colpa tua, anzi... 
A parte gli scherzi... è vero che la forza peso sul piano orizzontale non influenza DIRETTAMENTE il moto (indirettamente si, essndo la forza di attrito proprorzionale a quest'ulttima), ma ciò non implica che tu non possa utilizzare una sola equazione.
Se l'energia si conserva, si conserva in qualsiasi istante, in particolare a te fa comodo scegliere come punti particolari l'inizio e la fine del moto, visto che hai meno termini incogniti. A quel punto è fatta... no?
A parte gli scherzi... è vero che la forza peso sul piano orizzontale non influenza DIRETTAMENTE il moto (indirettamente si, essndo la forza di attrito proprorzionale a quest'ulttima), ma ciò non implica che tu non possa utilizzare una sola equazione.
Se l'energia si conserva, si conserva in qualsiasi istante, in particolare a te fa comodo scegliere come punti particolari l'inizio e la fine del moto, visto che hai meno termini incogniti. A quel punto è fatta... no?
grazie.. ci penso su un po'. Magari ci arrivo!
Ah.. forse ci sono. Forse!
L'energia all'inizio del moto e' data soltanto dall'energia potenziale della gravita':
$E_i=mgh$ -->come aveva detto cavallipurosangue
L'energia cinetica posso anche non considerarla, dato che il corpo all'inizio e alla fine e' fermo!
L'energia che c'e' durante il moto e' quella influenzata dal lavoro della forza d'attrito lungo il piano inclinato e quello orizzontale:
$E=mu_k(cosalphah'+d)$ --> anche questo l'aveva gia' detto cavallipurosangue
In conclusione, per il principio di conservazione dell'energia con attrito:
$mgh + mu_k(cosalphah'+d) = 0$
E trovo la distanza.
Ci sono??????
L'energia all'inizio del moto e' data soltanto dall'energia potenziale della gravita':
$E_i=mgh$ -->come aveva detto cavallipurosangue
L'energia cinetica posso anche non considerarla, dato che il corpo all'inizio e alla fine e' fermo!
L'energia che c'e' durante il moto e' quella influenzata dal lavoro della forza d'attrito lungo il piano inclinato e quello orizzontale:
$E=mu_k(cosalphah'+d)$ --> anche questo l'aveva gia' detto cavallipurosangue
In conclusione, per il principio di conservazione dell'energia con attrito:
$mgh + mu_k(cosalphah'+d) = 0$
E trovo la distanza.
Ci sono??????
Beh si... quasi...
Infatti l'enegia termica dispersa a causa del lavoro della forza di attrito nel tratto inclinato è:
$E'_{th}=F_aL=mumgcosthetacdoth/sintheta=mumghcottheta$, quindi c'è la cotangente, non il coseno.
Poi c'è un errore di segno, infatti l'energia termica all'inizio è zero, mentre alla fine sarà tutta e positiva. Oppure se la metti al primo membro è negativa, visto che il lavoro della forza di attrito è negativo...
Infatti l'enegia termica dispersa a causa del lavoro della forza di attrito nel tratto inclinato è:
$E'_{th}=F_aL=mumgcosthetacdoth/sintheta=mumghcottheta$, quindi c'è la cotangente, non il coseno.
Poi c'è un errore di segno, infatti l'energia termica all'inizio è zero, mentre alla fine sarà tutta e positiva. Oppure se la metti al primo membro è negativa, visto che il lavoro della forza di attrito è negativo...
E' vero!
Grazie infinite!
Grazie infinite!
Non per essere ripetitivo, è vero con l'energia è meglio ma se uno non si ricorda usa la formula $F=ma$ e se la cava SEMPRE...
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