Piano inclinato
Salve, sto vedendo un pò di esercizi in vista dell'esame , e non mi trovo con la soluzione proposta da un ragazzo in quanto mi trovo una costante g in più. La traccia dice:
Due corpi di massa m1 ed m2 sono collegati , come in figura , da un filo ideale. Il piano è inclinato di un angolo theta, e la superficie è scabra.
Si determini:
a) il massimo valore di m2 affinchè il sistema resti in equilibrio
b) nell'ipotesi in cui m2= m*2, stabilire se il sistema si mette in moto e ,in caso affermativo, determinare in quanto tempo il corpo 2, partendo da fermo, percorre una distanza D.
I dati :
theta= 30°
m1= 5kg
m*2=7 kg
D=30 cm
$ mu s=0,80 $ e quindi quello dinamico è 0,40 ( statico/2).
Io ho svolto così:
a) Consideriamo un sistema di ascissa curvilinea avente verso positivo concorde con quello del moto. Poichè all'istante iniziale il sistema è fermo, la condizione di equilibrio per il sistema si traduce nell'imporre che la somma di tutte le forze agenti sul corpo 1 e sul corpo 2 sia pari a zero.
$ { ( Fs+m1g+T1+N=0 ),( Ts+m2g=0):} $
$ { ( -m1gsenTheta+T-Fs=0 ),( N-m1gcosTheta=0 ),( -T+m2g=0 ):} $
$ { ( Fs=(m2-m1senTheta )g ),( N=m1gcosTheta ),( T=m2g ):} $
dove con Fs è stata indicata la forza di attrito statico tra il corpo s e il piano , e dove si è posta la condizione di filo ideale , ossia $ | T1 | $ = $ | T2 | $ = $ | T | $
La forza di attrito statico non può superare il valore massimo dato da : Fs<= $ mu sN $ -> (m2-m1sentheta)g>=musm1gcostheta. Ora la soluzione proposta dal ragazzo dice m2<= (sen theta + mus costheta)m1 ma io mi trovo m1g e quindi anziche 5,96 kg mi trovo oltre 58 kg. Il sistema quindi mi risulta in equilibrio fin quando m2 <= 58 kg ma non mi risulta possibile essendo la massa del primo di 5 kg :/ in cosa sbaglio?
la b) poi dovrebbe essere che per m*2 >58 kg ( o 5,96 come nel caso della soluzione proposta) il sistema inizia a muoversi.
Poi mi trovo a = 2,3 secondi sostituendo Fd a - mudN e T = $ root(2)((2D) / (a)) $ = 0,51 secondi. Grazie a chi risponderà
ps: come mai la distanza si fa per 2 ?
Due corpi di massa m1 ed m2 sono collegati , come in figura , da un filo ideale. Il piano è inclinato di un angolo theta, e la superficie è scabra.
Si determini:
a) il massimo valore di m2 affinchè il sistema resti in equilibrio
b) nell'ipotesi in cui m2= m*2, stabilire se il sistema si mette in moto e ,in caso affermativo, determinare in quanto tempo il corpo 2, partendo da fermo, percorre una distanza D.
I dati :
theta= 30°
m1= 5kg
m*2=7 kg
D=30 cm
$ mu s=0,80 $ e quindi quello dinamico è 0,40 ( statico/2).
Io ho svolto così:
a) Consideriamo un sistema di ascissa curvilinea avente verso positivo concorde con quello del moto. Poichè all'istante iniziale il sistema è fermo, la condizione di equilibrio per il sistema si traduce nell'imporre che la somma di tutte le forze agenti sul corpo 1 e sul corpo 2 sia pari a zero.
$ { ( Fs+m1g+T1+N=0 ),( Ts+m2g=0):} $
$ { ( -m1gsenTheta+T-Fs=0 ),( N-m1gcosTheta=0 ),( -T+m2g=0 ):} $
$ { ( Fs=(m2-m1senTheta )g ),( N=m1gcosTheta ),( T=m2g ):} $
dove con Fs è stata indicata la forza di attrito statico tra il corpo s e il piano , e dove si è posta la condizione di filo ideale , ossia $ | T1 | $ = $ | T2 | $ = $ | T | $
La forza di attrito statico non può superare il valore massimo dato da : Fs<= $ mu sN $ -> (m2-m1sentheta)g>=musm1gcostheta. Ora la soluzione proposta dal ragazzo dice m2<= (sen theta + mus costheta)m1 ma io mi trovo m1g e quindi anziche 5,96 kg mi trovo oltre 58 kg. Il sistema quindi mi risulta in equilibrio fin quando m2 <= 58 kg ma non mi risulta possibile essendo la massa del primo di 5 kg :/ in cosa sbaglio?
la b) poi dovrebbe essere che per m*2 >58 kg ( o 5,96 come nel caso della soluzione proposta) il sistema inizia a muoversi.
Poi mi trovo a = 2,3 secondi sostituendo Fd a - mudN e T = $ root(2)((2D) / (a)) $ = 0,51 secondi. Grazie a chi risponderà
ps: come mai la distanza si fa per 2 ?
Risposte
Nessuno risponde ? :/
Ciao Shadow. Il sistema da impostare è dato dalle equazioni
$T-m_2g=0$
$N-m_1gcostheta=0$
$m_1gsintheta+mu_sm_1gcostheta=m_2g$
dove nella terza equazione sostituisco direttamente il valore massimo della forza d'attrito. È facile arrivare alla soluzione $m_2=m_1(sintheta+mu_scostheta)$. Riguarda i tuoi conti perché g si semplifica e il risultato se non vado errato è 6kg.
$T-m_2g=0$
$N-m_1gcostheta=0$
$m_1gsintheta+mu_sm_1gcostheta=m_2g$
dove nella terza equazione sostituisco direttamente il valore massimo della forza d'attrito. È facile arrivare alla soluzione $m_2=m_1(sintheta+mu_scostheta)$. Riguarda i tuoi conti perché g si semplifica e il risultato se non vado errato è 6kg.
Eulerio l'equazione che hai usato tu tiene conto della forza di attrito statico massima e non quella che agisce istantaneamente. Se $F_{t_1}$ è in modulo la forza totale agente sul corpo $m_1$ allora questo si muoverà solo se $F_{t_1}>A_s$, ma se è il contrario la forza di attrito statico è uguale ed opposta a $F_{t_1}$ tale da annullare il moto.
"CaMpIoN":
Eulerio l'equazione che hai usato tu tiene conto della forza di attrito statico massima e non quella che agisce istantaneamente. Se Ft1 è in modulo la forza totale agente sul corpo m1 allora questo si muoverà solo se Ft1>As, ma se è il contrario la forza di attrito statico è uguale ed opposta a Ft1 tale da annullare il moto.
Ciao Campion, tutto quello che scrivi è assolutamente interessante e corretto ma non capisco la ragione di questo ripasso.
La richiesta del problema è trovare il massimo valore di $m_2$ affinché il sistema sia in equilibrio, e questo avviene nel momento in cui la forza d'attrito statica è massima (basta rifletterci sopra un attimo per rendersi conto di questo).
Io ho sostituito direttamente il valore massimo per risparmiarmi dei passaggi formali che credo siano ben chiari all'OP e che mi risultava scomodo scrivere essendo su un dispositivo mobile.
Se proprio ci tieni posso esplicitare il tutto adesso: si ha $m_1gsinθ+f=m_2g rarr f=g(m_2-m_1sintheta)$.
Imponendo la condizione $f<=mu_sN$ e sostituendo, si arriva a $m_2-m_1sintheta<=mu_sm_1costheta rarr m_2<=m_1(sentheta + mu_scostheta)$.
Il valore massimo è dato dunque da $m_2=m_1(sentheta + mu_scostheta)=5.96kg$.
Soddisfatto?
P.S. Eulercio, non Eulerio
Ho fatto quel ripasso perché non vedevo quei passaggi appunto. Ma nel tuo caso $f$ è la forza di attrito presente?
P.S. Scusa di aver sbagliato il nome, Eulercio
Edit:
Ho capito in pratica che la forza che agisce sul corpo 1 non è la totale, poiché la totale considera anche l'attrito che per l'equilibrio deve annullare quella che agisce sul corpo 1 contro l'attrito. In pratica io non considerando questa cosa mi chiedevo come mai la forza sul corpo 2 l'avevi considerata pari a 0 e quella sul corpo 1 no. Giusto questo che ho detto?
P.S. Scusa di aver sbagliato il nome, Eulercio
Edit:
Ho capito in pratica che la forza che agisce sul corpo 1 non è la totale, poiché la totale considera anche l'attrito che per l'equilibrio deve annullare quella che agisce sul corpo 1 contro l'attrito. In pratica io non considerando questa cosa mi chiedevo come mai la forza sul corpo 2 l'avevi considerata pari a 0 e quella sul corpo 1 no. Giusto questo che ho detto?
"CaMpIoN":
Ma nel tuo caso f è la forza di attrito presente?
Sì, con $f$ di solito indico la forza d'attrito quando non ci sono dubbi sulla sua natura (in caso contrario specificherei scrivendo $f_s$ o $f_d$).
"CaMpIoN":
Ho capito in pratica che la forza che agisce sul corpo 1 non è la totale, poiché la totale considera anche l'attrito che per l'equilibrio deve annullare quella che agisce sul corpo 1 contro l'attrito. In pratica io non considerando questa cosa mi chiedevo come mai la forza sul corpo 2 l'avevi considerata pari a 0 e quella sul corpo 1 no. Giusto questo che ho detto?
Non so se ho capito bene quello che intendi, ma credo tu stia fraintendendo ancora le mie equazioni, e me ne assumo la colpa, perché sono stato sbrigativo e poco chiaro. Anche nella terza equazione, riferita al corpo $m_1$, ho posto la risultante delle forze uguale a zero, ma ho direttamente sostituito la tensione (ricavabile immediatamente dalla prima equazione) portandola poi all'altro membro.
I passaggi sarebbero $f+m_1gsintheta-T=0 rarr f+m_1gsintheta=m_2g$.
"CaMpIoN":
P.S. Scusa di aver sbagliato il nome, Eulercio
Figurati! Anzi, perdonami tu per la mia pigraggine
Ho capito questi tuoi passaggi, solo che non riesco a comprendere una cosa. Quando tu imposti quell'equazione perché prendi la forza di attrito dello stesso verso della componente parallela della forza di gravità? Nel caso non sia quello il verso avresti un valore negativo di $f$ e sarebbe sempre vero che $f\leq f_s$, in quanto $f_s$ è positivo, no?
"CaMpIoN":
Nel caso non sia quello il verso avresti un valore negativo di f e sarebbe sempre vero che f≤fs, in quanto fs è positivo, no?
Ma il caso non si pone! Il verso è sicuramente quello che ho scelto io.
La forza d'attrito è sempre opposta al verso del moto, e nel nostro caso è intuitivamente chiaro che il corpo $m_1$ tenderebbe, in assenza di attrito, a risalire il piano inclinato, e non a scendere.
Se proprio vogliamo pensarci in modo quantitativo basta confrontare le altre due forze che agiscono su esso, ovvero la tensione, che in modulo vale $m_2g$, e la componente parallela al piano della forza peso, $m_1gsintheta$: dato che, limitandoci a valori $theta in (0, pi/2)$, $0
In altri termini la richiesta del problema corrisponde a: quanto peso posso aggiungere all'altro capo del filo prima che la forza d'attrito non riesca più a bilanciarlo e il sistema cominci a muoversi?
Messa giù così la scelta del verso è praticamente scontata
si risolto avevo saltato una semplificazione xd
avevo saltato una semplificazione xd
Non ce moto, il corpo è fermo, si deve considerare la forza applicata. La vedrei giusta più pensando che essendo tutti i valori incogniti e $f+P_p-T=0$ allora $f$ deve essere opposta a $P_p-T$, che è la forza applicata al corpo 1. In questo caso è chiaro che $f$ è opposta al verso della forza applicata, deve esserlo in quanto deve annullare quella applicata prima. Poiché l'attrito statico è opposto alla forza applicata a 1 e l'attrito statico è quello che la annulla, fino ad un certo punto, allora $f$ è la forza di attrito statico. Questo "fino a un certo punto" è la condizione $f\leq f_s$. In totale si avrebbe il sistema
\(\displaystyle \begin{equation}
\begin{cases}
T-m_2g=0\\f+m_1g\sin\theta-T=0 \\ f\leq f_s
\end{cases}
\end{equation} \)
Inoltre non è detto che $m_1$ non possa tirar su $m_2$, i dati sono espressi solo nella domanda b, nella a si presuppone un caso generale.
\(\displaystyle \begin{equation}
\begin{cases}
T-m_2g=0\\f+m_1g\sin\theta-T=0 \\ f\leq f_s
\end{cases}
\end{equation} \)
Inoltre non è detto che $m_1$ non possa tirar su $m_2$, i dati sono espressi solo nella domanda b, nella a si presuppone un caso generale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo