Piano inclinato
Un oggetto puntiforme, inizialmente fermo, scende lungo un piano inclinato di 30 gradi e
lungo $2m $. Determinare la velocità al termine del piano inclinato, sapendo che la massa del
corpo è $1Kg$ e non vi è attrito.
a. Determinare cosa sarebbe successo se l’attrito dinamico fra il corpo e il piano fosse
stato pari a $0.3$
b. Siamo sicuri che il problema precedente fosse ben posto? In realtà cosa sarebbe stato
corretto aggiungere come dato del problema?
Prima di tutto calcolo la forza peso:
$F=mg sen(30°)$ da cui ricavo l'accelerazione che sarà: $a=gsen(30°)$
Poi il moto si può considerare rettilineo uniforme con $v=v0+a(t)$ e $x=x0+v0(t)+(1/2)a(t)^2$
Da cui impongo $x=2m$ ed ottengo il tempo che sostituendo nell'Eq della velocità mi da la velocità finale.
a)
Per questo quesito bisogna vedere se il corpo si muove imponendo che sia vera la condizione:
$ud*m*g*cos(30)
se è vera poi basta calcolare l'accelerazione e si nota che il corpo ci mette più tempo ed ha una velocità minore.
b)
Credo che il problema necessita di un attrito statico?!?!?
lungo $2m $. Determinare la velocità al termine del piano inclinato, sapendo che la massa del
corpo è $1Kg$ e non vi è attrito.
a. Determinare cosa sarebbe successo se l’attrito dinamico fra il corpo e il piano fosse
stato pari a $0.3$
b. Siamo sicuri che il problema precedente fosse ben posto? In realtà cosa sarebbe stato
corretto aggiungere come dato del problema?
Prima di tutto calcolo la forza peso:
$F=mg sen(30°)$ da cui ricavo l'accelerazione che sarà: $a=gsen(30°)$
Poi il moto si può considerare rettilineo uniforme con $v=v0+a(t)$ e $x=x0+v0(t)+(1/2)a(t)^2$
Da cui impongo $x=2m$ ed ottengo il tempo che sostituendo nell'Eq della velocità mi da la velocità finale.
a)
Per questo quesito bisogna vedere se il corpo si muove imponendo che sia vera la condizione:
$ud*m*g*cos(30)
se è vera poi basta calcolare l'accelerazione e si nota che il corpo ci mette più tempo ed ha una velocità minore.
b)
Credo che il problema necessita di un attrito statico?!?!?
Risposte
No prima di tutto osservi che le forze che agiscono sul punto materiale sono conservative e quindi applichi la conservazione dell'energia meccanica
\[mgh=\frac{1}{2}mv_{f}^{2}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}v^{2}_{f}=2gh\]
Dopodichè passi al caso \(a.\)
Se ci fosse stato attrito dinamico non avremmo potuto usare la conservazione dell'energia meccanica, ma avremmo potuto sicuramente dire che il lavoro compiuto dalla forza di attrito sia stato pari alla variazione di energia meccanica. Il problema è che manca la velocità iniziale del punto che non può essere nulla, altrimenti lo stesso sarebbe fermo e osserveremmo l'attrito statico e non quello dinamico.
Punto \(b.\)
Vedi il punto precedente.
\[mgh=\frac{1}{2}mv_{f}^{2}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}v^{2}_{f}=2gh\]
Dopodichè passi al caso \(a.\)
Se ci fosse stato attrito dinamico non avremmo potuto usare la conservazione dell'energia meccanica, ma avremmo potuto sicuramente dire che il lavoro compiuto dalla forza di attrito sia stato pari alla variazione di energia meccanica. Il problema è che manca la velocità iniziale del punto che non può essere nulla, altrimenti lo stesso sarebbe fermo e osserveremmo l'attrito statico e non quello dinamico.
Punto \(b.\)
Vedi il punto precedente.
Figo, dato che la forza è conservativa vista l'assenza dell'attrito (prima del punto a), si può calcolare v applicando la formula dell'energia cinetica evitando un bel po' di passaggi...
Però non è sbagliato il mio procedimento...
Alla fine si è giunti alla stessa conclusione in modo più semplice e veloce.
Però non è sbagliato il mio procedimento...
Alla fine si è giunti alla stessa conclusione in modo più semplice e veloce.
Si tu hai osservato che l'accelerazione è costante e quindi il moto è rettilineo uniforme, e va benissimo.
La formula generale applicando l'energia cinetica è:
$(1/2)mv^2-(1/2)m(v_0)^2=mgx$
poi si $v_0=0$
e poi imponendo $x=2m$ si trova la velocità finale se ho capito bene.
$(1/2)mv^2-(1/2)m(v_0)^2=mgx$
poi si $v_0=0$
e poi imponendo $x=2m$ si trova la velocità finale se ho capito bene.
Siccome l'unica forza che compie lavoro è la forza peso, allora il suo lavoro è pari alla variazione di energia cinetica. In modo equivalente, siccome la forza che compie lavoro è conservativa si ha la conservazione dell'energia meccanica.
Ovvero nel vertice piu alto abbiamo solo energia potenziale gravitazionale, mentre a fine corsa si ha solo energia cinetica.
Nell'impostare l'equazione tu hai messo \(x\) cioè la lunghezza della parte inclinata del piano. Ma l'energia potenziale associata alla forza peso richiede la quota \(h\) (cioè \(h=x\sin{\theta}\)).
Ovvero nel vertice piu alto abbiamo solo energia potenziale gravitazionale, mentre a fine corsa si ha solo energia cinetica.
Nell'impostare l'equazione tu hai messo \(x\) cioè la lunghezza della parte inclinata del piano. Ma l'energia potenziale associata alla forza peso richiede la quota \(h\) (cioè \(h=x\sin{\theta}\)).
A ecco perché non mi trovavo, in poche parole quella che ho scritto vale solo se il moto avviene nel piano orizzontale...
Aspetta c'è un pò di confusione. Se il piano fosse orizzontale la forza peso non potrebbe fare muovere il corpo e anche nel caso in cui ci fosse un'altra forza a mettere in moto lo stesso, la forza peso sarebbe sempre ortogonale allo spostamento e quindi non compirebbe lavoro.
La questione è che ogni forza conservativa ha una forma di energia (chiamata energia potenziale) associata, quella della forza peso vale \(mgh\) dove \(h\) è la quota rispetto a una retta orizzontale (che scegli tu e che è associata al valore zero di tale energia), quella della forza elastica vale \(\frac{1}{2}k\Delta^{2}\) dove delta è l'allungamento della molla, e cosi via...
Ora quando ci sono solo forze conservative (oppure quando ci sono anche forze non conservative che sono però ortogonali al moto) vale il teorema dell'energia meccanica ovvero: in ogni punto dello spazio, la somma tra l'energia cinetica del corpo e le sue energie potenziali è pari a una costante.
Per esempio consideriamo due punti generici \(a, b\) lungo il piano inclinato, e osserviamo che quando il corpo si troverà nei punti scelti lo stesso corpo si troverà ad altezze \(h_{a}, h_{b}\) dal suolo (dove poniamo lo zero dell'energia potenziale). Scriviamo quindi la conservazione dell'energia meccanica in questi due punti
\[\frac{1}{2}mv^{2}_{a}+mgh_{a}=\frac{1}{2}mv^{2}_{b}+mgh_{b}\]
La questione è che ogni forza conservativa ha una forma di energia (chiamata energia potenziale) associata, quella della forza peso vale \(mgh\) dove \(h\) è la quota rispetto a una retta orizzontale (che scegli tu e che è associata al valore zero di tale energia), quella della forza elastica vale \(\frac{1}{2}k\Delta^{2}\) dove delta è l'allungamento della molla, e cosi via...
Ora quando ci sono solo forze conservative (oppure quando ci sono anche forze non conservative che sono però ortogonali al moto) vale il teorema dell'energia meccanica ovvero: in ogni punto dello spazio, la somma tra l'energia cinetica del corpo e le sue energie potenziali è pari a una costante.
Per esempio consideriamo due punti generici \(a, b\) lungo il piano inclinato, e osserviamo che quando il corpo si troverà nei punti scelti lo stesso corpo si troverà ad altezze \(h_{a}, h_{b}\) dal suolo (dove poniamo lo zero dell'energia potenziale). Scriviamo quindi la conservazione dell'energia meccanica in questi due punti
\[\frac{1}{2}mv^{2}_{a}+mgh_{a}=\frac{1}{2}mv^{2}_{b}+mgh_{b}\]
Si ho proprio scritto una cavolata xD
Comunque con il teorema dell'energia cinetica, e della conservazione dell'energia meccanica si può ricavare solo la velocità iniziale e finale o alternativamente se si hanno le velocità la massa del corpo (solo se le forze non ortogonali allo spostamento sono conservative)
Edit: a condizione che ci sia la distanza!
Comunque con il teorema dell'energia cinetica, e della conservazione dell'energia meccanica si può ricavare solo la velocità iniziale e finale o alternativamente se si hanno le velocità la massa del corpo (solo se le forze non ortogonali allo spostamento sono conservative)
Edit: a condizione che ci sia la distanza!
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