Piano complesso Esteso $C uu {oo}$ ($QM$)
Ciao a tutti,
scrivo qui in Fisica più che altro per via delle notazioni utilizzate e l'ambito in cui viene utilizzato l'argomento.
<< Una corrispondenza tra l'insieme di tutti i numeri complessi e uno stato $a|0>+b|1>$ (con $a,b in CC$) è data da:
$a|0>+b|1> -> b/a=alpha$
e la sua inversa:
$alpha -> 1/sqrt(1+|alpha|^2)$$|0>$ $+ alpha/sqrt(1+|alpha|^2)$ $|1>$
La corrispondenza precedente non è definita se $a=0,b=1$.
Aggiungiamo quindi un punto al piano complesso, chiamato per convenzione $oo$ e poniamo $|1> -> oo$, $oo -> |1>$. >>
Ora o sono io ubriaco (probabile) ma quello che si cerca è di creare una corrispondenza biunivoca tra $CC$ e uno spazio vettoriale complesso bi-dimensionale ?
Ma a rigor di logica sarebbe come cercare una corrispondenza biunivoca tra $CC$ e $CC times CC$, impossibile in quanto non sono isomorfi!
Tant'è che non mi torna neanche l'applicazione inversa, infatti si dovrebbe avere in particolare:
$a=1/sqrt(1+|alpha|^2)=1/sqrt(1+|b|^2/|a|^2)=1/sqrt([|a|^2+|b|^2]/|a|^2)=|a|$ ???
$b=alpha/sqrt(1+|alpha|^2)=[b/a]/sqrt([|a|^2+|b|^2]/|a|^2)=b/a*|a|=b/[e^(itheta_(alpha))]$???
Non capisco neanche il perchè non sia definita per $a=0,b=1$, secondo me invece non è definita per tutti gli stati per cui $a=0,|b|=1$!
L'unica idea che mi è venuta in mente è quella che si sta supponendo $a,b in RR^+$, ma non me ne capacito dal momento che fino ad ora abbiamo considerato un stato $a|0>+b|1>$ come appartenente a uno spazio vettoriale complesso bi-dimensionale.
Che ne pensate?
Devo assolutamente uscirne dal momento che dopo si sfrutta il piano complesso esteso per la proiezione stereografica
Grazie in anticipo!
scrivo qui in Fisica più che altro per via delle notazioni utilizzate e l'ambito in cui viene utilizzato l'argomento.
<< Una corrispondenza tra l'insieme di tutti i numeri complessi e uno stato $a|0>+b|1>$ (con $a,b in CC$) è data da:
$a|0>+b|1> -> b/a=alpha$
e la sua inversa:
$alpha -> 1/sqrt(1+|alpha|^2)$$|0>$ $+ alpha/sqrt(1+|alpha|^2)$ $|1>$
La corrispondenza precedente non è definita se $a=0,b=1$.
Aggiungiamo quindi un punto al piano complesso, chiamato per convenzione $oo$ e poniamo $|1> -> oo$, $oo -> |1>$. >>
Ora o sono io ubriaco (probabile) ma quello che si cerca è di creare una corrispondenza biunivoca tra $CC$ e uno spazio vettoriale complesso bi-dimensionale ?
Ma a rigor di logica sarebbe come cercare una corrispondenza biunivoca tra $CC$ e $CC times CC$, impossibile in quanto non sono isomorfi!
Tant'è che non mi torna neanche l'applicazione inversa, infatti si dovrebbe avere in particolare:
$a=1/sqrt(1+|alpha|^2)=1/sqrt(1+|b|^2/|a|^2)=1/sqrt([|a|^2+|b|^2]/|a|^2)=|a|$ ???
$b=alpha/sqrt(1+|alpha|^2)=[b/a]/sqrt([|a|^2+|b|^2]/|a|^2)=b/a*|a|=b/[e^(itheta_(alpha))]$???
Non capisco neanche il perchè non sia definita per $a=0,b=1$, secondo me invece non è definita per tutti gli stati per cui $a=0,|b|=1$!
L'unica idea che mi è venuta in mente è quella che si sta supponendo $a,b in RR^+$, ma non me ne capacito dal momento che fino ad ora abbiamo considerato un stato $a|0>+b|1>$ come appartenente a uno spazio vettoriale complesso bi-dimensionale.
Che ne pensate?
Devo assolutamente uscirne dal momento che dopo si sfrutta il piano complesso esteso per la proiezione stereografica
Grazie in anticipo!
Risposte
Up.
Ora o sono io ubriaco (probabile) ma quello che si cerca è di creare una corrispondenza biunivoca tra C e uno spazio vettoriale complesso bi-dimensionale ?
$\alpha$ è il rapporto di due numeri complessi per cui appartiene alla chiusura di $C$ ... Perché $C^2$ ?
Ciao, innanzi tutto grazie per la risposta.
Sì $alpha in CC$, ma quello che si vuole fare è creare una corrispondenza biunivoca di questo tipo ($a,b in CC$):
$(a,b)inCC^2\leftrightarrowalphainCC$
Sì $alpha in CC$, ma quello che si vuole fare è creare una corrispondenza biunivoca di questo tipo ($a,b in CC$):
$(a,b)inCC^2\leftrightarrowalphainCC$
Se tieni conto della condizione di normalizzazione $|a|^2+|b|^2=1$, a parte un ininfluente angolo di fase, funziona tutto a dovere.
Cacchio che pirla, non avevo pensato fosse una condizione così forte da poterla sfruttare in tal senso, faccio un po' di conti a riguardo (così da poterli rivedere anche in futuro):
Siano $a,b,a',b' in CC$,siano $|v> =a|0>+b|1>$ e $|v'> =a'|0>+b'|1>$ due stati, $|a|^2+|b|^2=1$ e $|a'|^2+|b'|^2=1$, $phiinRR$,siano $alpha=b/a=|b/a|*e^(iphi)$ e $alpha'=(b')/(a')=|(b')/(a')|*e^(iphi')$.
$alpha=alpha' <=> {(|b/a|=|(b')/(a')|),(phi=phi'):}<=>{(|b/a|^2=|(b')/(a')|^2),(phi=phi'):}<=>{(|b|^2/|a|^2=|b'|^2/|a'|^2),(phi=phi'):}$
Dalle condizioni imposte ho,sempre ipotizzando $a!=0,a'!=0$:
$|b|^2/|a|^2=(1-|a|^2)/|a|^2$ e $|b'|^2/|a'|^2=(1-|a'|^2)/|a'|^2$, sostituendo:
$alpha=alpha' <=> {((1-|a|^2)/|a|^2=(1-|a'|^2)/|a'|^2),(phi=phi'):}<=>{(|a|=|a'| <=> |b|=|b'|),(phi=phi'):}$
Siano $theta_a,theta_(a'),theta_b,theta_(b')inRR$ allora la condizione:
$phi=phi' <=> theta_b-theta_a=theta_(b')-theta_(a')<=> EE gamma in RR$ $ theta_b-theta_a=[theta_(b')+gamma]-[theta_(a')+gamma]$.
Ma non è detto che $gamma=0$ quindi se $alpha=alpha'$ ho tutti gli stati al variare di $gamma$:
$|v> =a|0>+b|1>$
$|v'> =a'*e^(igamma)|0>+b'*e^(igamma)|1> =e^(igamma)*|v> $
Ma $|v> ~ |v'> $ ergo tutto torna.
La formula inversa rimane comunque sbagliata.
Siano $a,b,a',b' in CC$,siano $|v> =a|0>+b|1>$ e $|v'> =a'|0>+b'|1>$ due stati, $|a|^2+|b|^2=1$ e $|a'|^2+|b'|^2=1$, $phiinRR$,siano $alpha=b/a=|b/a|*e^(iphi)$ e $alpha'=(b')/(a')=|(b')/(a')|*e^(iphi')$.
$alpha=alpha' <=> {(|b/a|=|(b')/(a')|),(phi=phi'):}<=>{(|b/a|^2=|(b')/(a')|^2),(phi=phi'):}<=>{(|b|^2/|a|^2=|b'|^2/|a'|^2),(phi=phi'):}$
Dalle condizioni imposte ho,sempre ipotizzando $a!=0,a'!=0$:
$|b|^2/|a|^2=(1-|a|^2)/|a|^2$ e $|b'|^2/|a'|^2=(1-|a'|^2)/|a'|^2$, sostituendo:
$alpha=alpha' <=> {((1-|a|^2)/|a|^2=(1-|a'|^2)/|a'|^2),(phi=phi'):}<=>{(|a|=|a'| <=> |b|=|b'|),(phi=phi'):}$
Siano $theta_a,theta_(a'),theta_b,theta_(b')inRR$ allora la condizione:
$phi=phi' <=> theta_b-theta_a=theta_(b')-theta_(a')<=> EE gamma in RR$ $ theta_b-theta_a=[theta_(b')+gamma]-[theta_(a')+gamma]$.
Ma non è detto che $gamma=0$ quindi se $alpha=alpha'$ ho tutti gli stati al variare di $gamma$:
$|v> =a|0>+b|1>$
$|v'> =a'*e^(igamma)|0>+b'*e^(igamma)|1> =e^(igamma)*|v> $
Ma $|v> ~ |v'> $ ergo tutto torna.
La formula inversa rimane comunque sbagliata.
Perché sbagliata ? A me viene:
$a = 1 / sqrt(1+|\alpha|^2) e^{i \theta_1}$
$b = |\alpha| / sqrt(1+|\alpha|^2) e^{i \theta_2}$
con $\theta_2 - \theta_1 = arg \alpha$.
Se $\theta_1 = 0$, allora ritorna la formula inversa del primo post ...
$a = 1 / sqrt(1+|\alpha|^2) e^{i \theta_1}$
$b = |\alpha| / sqrt(1+|\alpha|^2) e^{i \theta_2}$
con $\theta_2 - \theta_1 = arg \alpha$.
Se $\theta_1 = 0$, allora ritorna la formula inversa del primo post ...
Quindi se ho capito bene,
partendo da:
$|v> =a|0>+b|1>$ arrivo ad $alpha = b/a$
e se voglio tornare indietro partendo da $alpha=b/a$
arrivo a $|v'> =|a|*|0>+b*e^(-itheta_a)*|1> =e^(-itheta_a)[|a|*e^(itheta_a)|0>+b|1>]=e^(-itheta_a)*|v>$
Perciò non ricostruisco $|v>$ ma $|v'>$ tale che $|v> ~ |v'>$.
Quindi, in ultima analisi, non creo una corrispondenza biunivoca tra tutti gli stati e $CC$ ma bensì una corrispondenza biunivoca tra le classi di stati equivalenti e $CC$.
Quindi è possibile vederla come una corrispondenza biunivoca tra lo spazio proiettivo complesso di dimensione $1$ ($CP^1$) e $CC$.
Concordi?
partendo da:
$|v> =a|0>+b|1>$ arrivo ad $alpha = b/a$
e se voglio tornare indietro partendo da $alpha=b/a$
arrivo a $|v'> =|a|*|0>+b*e^(-itheta_a)*|1> =e^(-itheta_a)[|a|*e^(itheta_a)|0>+b|1>]=e^(-itheta_a)*|v>$
Perciò non ricostruisco $|v>$ ma $|v'>$ tale che $|v> ~ |v'>$.
Quindi, in ultima analisi, non creo una corrispondenza biunivoca tra tutti gli stati e $CC$ ma bensì una corrispondenza biunivoca tra le classi di stati equivalenti e $CC$.
Quindi è possibile vederla come una corrispondenza biunivoca tra lo spazio proiettivo complesso di dimensione $1$ ($CP^1$) e $CC$.
Concordi?
La formula inversa esatta è (secondo i miei conti):
$a = 1/ sqrt(1+|\alpha|^2) e^{i \theta}$
$b = \alpha/ sqrt(1+|\alpha|^2) e^{i \theta}$
per un $\theta$ qualunque.
Fisicamente i fattori di fase $e^{i \theta}$ non contano, per cui la biunivocità è garantita (in senso fisico).
Scusami, ma purtroppo non riesco a seguire bene i tuoi calcoli per problemi di vista. mi spiace.
$a = 1/ sqrt(1+|\alpha|^2) e^{i \theta}$
$b = \alpha/ sqrt(1+|\alpha|^2) e^{i \theta}$
per un $\theta$ qualunque.
Fisicamente i fattori di fase $e^{i \theta}$ non contano, per cui la biunivocità è garantita (in senso fisico).
Scusami, ma purtroppo non riesco a seguire bene i tuoi calcoli per problemi di vista. mi spiace.
"lordb":CIa0,
Ciao a tutti,...
Ma a rigor di logica sarebbe come cercare una corrispondenza biunivoca tra $CC$ e $CC times CC$, impossibile in quanto non sono isomorfi!...
Grazie in anticipo!
ma che scrivi? \(\mathbb{C}\) e \(\mathbb{C}^2\) non sono isomorfi come spazi vettoriali complessi (e pure reali), ma come insiemi sono equipotenti.
Prego, di nulla!
@anonymous_af8479: perfetto, grazie mille!
@j18eos: sì, pensavo alle trasformazioni lineari e ho scritto una bella boiata. Cioè, posso trovare una applicazione biettiva tra entrambi ma non è lineare. Un po' il problema che si pone tra $RR$ e $CC$, giusto? (p.s. dai una occhiata alla roba in spoiler please
)
Quello che segue non c'entra col topic:
@j18eos: sì, pensavo alle trasformazioni lineari e ho scritto una bella boiata. Cioè, posso trovare una applicazione biettiva tra entrambi ma non è lineare. Un po' il problema che si pone tra $RR$ e $CC$, giusto? (p.s. dai una occhiata alla roba in spoiler please
)Quello che segue non c'entra col topic:
Perfetto, e complimenti per la funzione scelta da \(]0;1[\times]0;1[\) a \(]0;1[\)!
Tornando al problema: quello che poni \(\mathbb{C}\cup\{\infty\}\) (indicato anche come \(\widehat{\mathbb{C}}\)) è la sfera di Riemann... questo potrebbe aiutarti?
Tornando al problema: quello che poni \(\mathbb{C}\cup\{\infty\}\) (indicato anche come \(\widehat{\mathbb{C}}\)) è la sfera di Riemann... questo potrebbe aiutarti?
Grazie mille
Sìsì me ne sono accorto quando ho ricavato la proiezione stereografica, ovvero ho messo in corrispondenza i punti di una calotta sferica di raggio unitario con quelli del piano complesso equatoriale (con l'aggiunta di $oo$).
P.s. in realtà avevo già visto in passato da qualche parte l'utilizzo di una funzione di quel tipo. Ho poi lavorato su $(0,1)$ anzichè su $RR$ perchè altrimenti ero sicuro di fare del gran casotto. In ogni caso, per non rischiare, se avessi lavorato $RR$ avrei utilizzato la rappresentazione in frazioni continue.
Grazie ancora
Sìsì me ne sono accorto quando ho ricavato la proiezione stereografica, ovvero ho messo in corrispondenza i punti di una calotta sferica di raggio unitario con quelli del piano complesso equatoriale (con l'aggiunta di $oo$).
P.s. in realtà avevo già visto in passato da qualche parte l'utilizzo di una funzione di quel tipo. Ho poi lavorato su $(0,1)$ anzichè su $RR$ perchè altrimenti ero sicuro di fare del gran casotto. In ogni caso, per non rischiare, se avessi lavorato $RR$ avrei utilizzato la rappresentazione in frazioni continue.
Grazie ancora
@j18eos
Benché sia possibile trovare una applicazione (non lineare) biettiva tra $RR$ e $RR^2$ sicuramente essa non è un omeomorfismo, giusto? (ovvero non è possibile che lei e la sua inversa siano continue).
E' invece possibile trovare un omeomorfismo tra $RR$ e un sottoinsieme di $RR^2$ (una curva ad esempio).
Benché sia possibile trovare una applicazione (non lineare) biettiva tra $RR$ e $RR^2$ sicuramente essa non è un omeomorfismo, giusto? (ovvero non è possibile che lei e la sua inversa siano continue).
E' invece possibile trovare un omeomorfismo tra $RR$ e un sottoinsieme di $RR^2$ (una curva ad esempio).
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