Pezzo di legno galleggiante
Salve,
non trovo la strada per risolvere il seguente quesito:
rispetto ad un pezzo di legno semicilindrico di densità, lunghezza e raggio noti che galleggia sull'acqua, calcolare l'angolo $2theta$ sotteso dall'arco AB in figura, dopo che una massa m = 1kg è stata fissata sul bordo del semicilndro a metà della sua lunghezza (punto C della figura)
non trovo la strada per risolvere il seguente quesito:
rispetto ad un pezzo di legno semicilindrico di densità, lunghezza e raggio noti che galleggia sull'acqua, calcolare l'angolo $2theta$ sotteso dall'arco AB in figura, dopo che una massa m = 1kg è stata fissata sul bordo del semicilndro a metà della sua lunghezza (punto C della figura)
Risposte
Il modo più immediato di procedere è imporre che la somma dei momenti delle tre forze sia nulla. Se come polo si prende O, non è nemmeno necessario calcolare la spinta.
Questo è un semplice e simpatico esercizio di statica dei galleggianti.
PEr chi vuole qualche nozione in più , metto questo link .
PEr chi vuole qualche nozione in più , metto questo link .
Imponendo che il momento sia nullo rispetto da O si ha
$Mg\bar(OG)sinalpha=mgRsin(pi/2-alpha)$
$M(4/3pi)Rsinalpha=mRcosalpha$
$tanalpha=(m/M)(3/4)pi$
Dunque noto $alpha$ come procedere per il calcolo di $2theta$?
$Mg\bar(OG)sinalpha=mgRsin(pi/2-alpha)$
$M(4/3pi)Rsinalpha=mRcosalpha$
$tanalpha=(m/M)(3/4)pi$
Dunque noto $alpha$ come procedere per il calcolo di $2theta$?
Non farti ingannare dal problema!
Dimmi un po'….dovunque metti la piccola massa $m$ , cambia la massa totale $M+m$ del corpo ? E quindi, cambia il peso totale ? E quindi, cambia la spinta idrostatica $ S = \rho_wgV_i = (M+m)g $ ? (dove $\rho_w = $ densità dell'acqua) .
Evidentemente NO.
Percio', non cambia neppure il volume immerso $V_i = (M+m)/\rho_w$ .
E nel caso in esame non cambia neppure la forma del volume immerso , spostando $m$ nello stesso piano della figura. (Se invece spostassi $m$ in avanti o indietro rispetto al piano di figura, resta invariato il valore di $V_i$ ma non la forma).
Ragiona quindi sulla figura , che è la sezione di un semicilindro. Anche se metti, per esempio , la massa $m$ in $O$ , non cambia l'area del segmento di cerchio delimitato dall'arco ADB e dalla corda AB .
E allora , devi determinare la corda AB , a partire dal volume immerso $V_i$ prima detto . Nota la corda AB , è facile trovare l'angolo al centro corrispondente. Puoi anche determinare la lunghezza dell'arco ADB.
Come vedi, l'angolo di inclinazione $\alpha$ prima calcolato non c'entra proprio niente con l'angolo al centro.
Dimmi un po'….dovunque metti la piccola massa $m$ , cambia la massa totale $M+m$ del corpo ? E quindi, cambia il peso totale ? E quindi, cambia la spinta idrostatica $ S = \rho_wgV_i = (M+m)g $ ? (dove $\rho_w = $ densità dell'acqua) .
Evidentemente NO.
Percio', non cambia neppure il volume immerso $V_i = (M+m)/\rho_w$ .
E nel caso in esame non cambia neppure la forma del volume immerso , spostando $m$ nello stesso piano della figura. (Se invece spostassi $m$ in avanti o indietro rispetto al piano di figura, resta invariato il valore di $V_i$ ma non la forma).
Ragiona quindi sulla figura , che è la sezione di un semicilindro. Anche se metti, per esempio , la massa $m$ in $O$ , non cambia l'area del segmento di cerchio delimitato dall'arco ADB e dalla corda AB .
E allora , devi determinare la corda AB , a partire dal volume immerso $V_i$ prima detto . Nota la corda AB , è facile trovare l'angolo al centro corrispondente. Puoi anche determinare la lunghezza dell'arco ADB.
Come vedi, l'angolo di inclinazione $\alpha$ prima calcolato non c'entra proprio niente con l'angolo al centro.
Quindi sfruttiamo la relazione $V_i=(M+m)/rho$
$V_i=S_iL$ dove L è la lunghezza del semicilindro
dalla geometria sappiamo che $S_i=(1/2)R^2(theta-sintheta)$
allora
$(1/2)(theta-sintheta)=(M+m)/(rhoR^2L)$
giusto?
N.B. nel nostro caso $theta$ è posto uguale a $2theta$
$V_i=S_iL$ dove L è la lunghezza del semicilindro
dalla geometria sappiamo che $S_i=(1/2)R^2(theta-sintheta)$
allora
$(1/2)(theta-sintheta)=(M+m)/(rhoR^2L)$
giusto?
N.B. nel nostro caso $theta$ è posto uguale a $2theta$
Giusto. Naturalmente ti tocca calcolare esplicitamente l'angolo. Forse si può fare con Wolfram.
Volendo se il valore di teta è molto piccolo puoi usare lo sviluppo di taylor:
$ sin Theta = Theta - Theta ^3/6 + o(Theta ^5) $
Da cui $Theta^3/12=(M+m)/(R^2Lrho)$
$Theta=(12 (M+m)/(R^2Lrho))^(1/3)$
$ sin Theta = Theta - Theta ^3/6 + o(Theta ^5) $
Da cui $Theta^3/12=(M+m)/(R^2Lrho)$
$Theta=(12 (M+m)/(R^2Lrho))^(1/3)$
Siccome l'angolo NON è piccolo l'unico modo è quello della soluzione grafica, da cui si ottiene $2theta≈140°$
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