Perturbazione su oscillatore armonico bidimensionale isotropo
Buonasera a tutti, ho un dubbio su una perturbazione per un oscillatore isotropo bidimensionale. In particolare, la perturbazione è la seguente:
$ delta^(2)(bar(r) ) $
Mi vengono chieste le approssimazioni perturbative al primo ordine dello stato fondamentale e del primo eccitato. Non mi è chiarissimo come risolverla a dire il vero, ma io ragionerei così:
1. : scriverei gli autostati della hamiltoniana in coordinate polari; per farlo, cosa su cui ho un dubbio, farei così:
Dato l'autostato in coordinate cartesiane che è più facile da calcolare grazie ai polinomi di Hermite, lo convertirei in polari usando le relazioni:
$ { ( x = rcos varphi ),( y = rsin varphi ):} $
E poi svolgerei i prodotti interni che ci sono nelle formule delle perturbazioni. Così sarebbe corretto?
$ delta^(2)(bar(r) ) $
Mi vengono chieste le approssimazioni perturbative al primo ordine dello stato fondamentale e del primo eccitato. Non mi è chiarissimo come risolverla a dire il vero, ma io ragionerei così:
1. : scriverei gli autostati della hamiltoniana in coordinate polari; per farlo, cosa su cui ho un dubbio, farei così:
Dato l'autostato in coordinate cartesiane che è più facile da calcolare grazie ai polinomi di Hermite, lo convertirei in polari usando le relazioni:
$ { ( x = rcos varphi ),( y = rsin varphi ):} $
E poi svolgerei i prodotti interni che ci sono nelle formule delle perturbazioni. Così sarebbe corretto?
Risposte
Ciao,
intendi la correzione al primo ordine perturbativo dell'energia o dello stato?
Perché non eseguire il calcolo direttamente in coordinate cartesiane?
intendi la correzione al primo ordine perturbativo dell'energia o dello stato?
Perché non eseguire il calcolo direttamente in coordinate cartesiane?
Ciao, sì perdonami avevo dimenticato di specificare che la correzione è solo sui livelli energetici. Sì anche in cartesiane avevo provato a farlo, interpretando la perturbazione della delta in questo modo:
$ delta ( (x-0), (y-0) ) $
e poi svolgendo gli integrali in cartesiane(integrali in dxdy naturalmente) tenendo conto della delta. Volevo però risolverlo in polari perchè mi era sembrato più rapido, solo che non sapevo se fosse corretto il procedimento che ho scritto prima perchè non ho la soluzione dell'esercizio proposto.
$ delta ( (x-0), (y-0) ) $
e poi svolgendo gli integrali in cartesiane(integrali in dxdy naturalmente) tenendo conto della delta. Volevo però risolverlo in polari perchè mi era sembrato più rapido, solo che non sapevo se fosse corretto il procedimento che ho scritto prima perchè non ho la soluzione dell'esercizio proposto.
In linea di massima direi di sì. Se vuoi un confronto, posta pure il risultato a cui sei giunto
Va bene, allora, faccio il caso della perturbazione sul primo eccitato. So che il livello è degenere due volte e che la base di autostati è data da $ [| 10> ,| 01> ] $ , scritto così per semplicità di notazione, mentre per esteso ho(evito di fare tutti i calcoli coi polinomi di Hermite e riporto solo il risultato finale):
$ | 10> = ((mw)/h)sqrt((2)/pi)xe^(-(mw)/(2h)(x^2+y^2) $
$ | 01> = ((mw)/h)sqrt((2)/pi)ye^(-(mw)/(2h)(x^2+y^2) $
In coordinate polari li posso scrivere come:
$ |10> = ((mw)/h)sqrt((2)/pi)rcosphie^(-(mw)/(2h)(x^2+y^2) $
$ |01> = ((mw)/h)sqrt((2)/pi)rsinphie^(-(mw)/(2h)(x^2+y^2) $
ove $ phi in [0,2pi] $
La matrice della perturbazione sarà:
$ ( ( <10|V|10> , <10|V|01> ),( <01|V|10> , <01|V|01> ) ) $
Con V = $ V = epsilondelta^(2)(vec(r)) $ .
Per brevità, riporto solamente uno dei prodotti interni, mi interessa capire se sto procedendo bene.
Calcolo l'elemento di matrice $ a_11 $ :
$ <10| V| 10> = int int_(-oo)^(+oo) (2/pi)((mw)/h)^2x^2 e^(-(mw)/h(x^2+y^2)epsilondelta^2(vec(r))dx dy $
Ma per le proprietà della delta, devo sostituire 0 a x e y, dunque l'integrale è zero.
Lo faccio in polari, perchè come ti spiegavo vorrei confrontare i due metodi:
$ <10| V| 10> = int int_(0)^(+oo) (2/pi)((mw)/h)^2 r^2 (cosphi)^2 e^(-(mw)/hr^2epsilondelta^2(vec(r)) drdphi $ , con l'integrale di $ dphi $ che va da $ 0 $ a $ 2pi $ . Anche questo restituisce zero. Va bene così?
$ | 10> = ((mw)/h)sqrt((2)/pi)xe^(-(mw)/(2h)(x^2+y^2) $
$ | 01> = ((mw)/h)sqrt((2)/pi)ye^(-(mw)/(2h)(x^2+y^2) $
In coordinate polari li posso scrivere come:
$ |10> = ((mw)/h)sqrt((2)/pi)rcosphie^(-(mw)/(2h)(x^2+y^2) $
$ |01> = ((mw)/h)sqrt((2)/pi)rsinphie^(-(mw)/(2h)(x^2+y^2) $
ove $ phi in [0,2pi] $
La matrice della perturbazione sarà:
$ ( ( <10|V|10> , <10|V|01> ),( <01|V|10> , <01|V|01> ) ) $
Con V = $ V = epsilondelta^(2)(vec(r)) $ .
Per brevità, riporto solamente uno dei prodotti interni, mi interessa capire se sto procedendo bene.
Calcolo l'elemento di matrice $ a_11 $ :
$ <10| V| 10> = int int_(-oo)^(+oo) (2/pi)((mw)/h)^2x^2 e^(-(mw)/h(x^2+y^2)epsilondelta^2(vec(r))dx dy $
Ma per le proprietà della delta, devo sostituire 0 a x e y, dunque l'integrale è zero.
Lo faccio in polari, perchè come ti spiegavo vorrei confrontare i due metodi:
$ <10| V| 10> = int int_(0)^(+oo) (2/pi)((mw)/h)^2 r^2 (cosphi)^2 e^(-(mw)/hr^2epsilondelta^2(vec(r)) drdphi $ , con l'integrale di $ dphi $ che va da $ 0 $ a $ 2pi $ . Anche questo restituisce zero. Va bene così?
Direi di sì. I conti sono piuttosto banali perché l'hamiltoniana in coordinate cartesiane è separabile nelle due dimensioni. Gli autostati dell'energia sono prodotti diretti degli autostati di oscillatore armonico 1D. Se aggiungi a questo il fatto che il potenziale stesso in coordinate cartesiane è nella forma prodotto \(f(x)g(y) \) (in questo caso f e g sono delta di dirac) hai che qualunque elemento di matrice tra autostati dell'energia di H è scrivibile come
\[
\langle n,m| f(\hat{x})g(\hat{y})|l,o\rangle = \langle n| f(\hat{x})|l\rangle \langle m|g(\hat{y})|o\rangle
\]
(con lo stato \(|n,m\rangle\) intendo l'autostato di energia dell'oscillatore 2D prodotto diretto di due autostati di oscillatore armonico 1D in cui il primo oscillatore (lungo x) si trova nello stato n, il secondo (y) nello stato m.
Se a questo aggiungi il fatto che l'interazione è (proporzionale a) una delta di Dirac 2D hai che:
\[
\langle n,m| V_{int}|l,o\rangle = g \langle n| \delta(\hat{x})|l\rangle \langle m|\delta(\hat{y})|o\rangle = \psi_n(0)^* \psi_l(0) \psi_m(0)^* \psi_o(0)
\]
dove indico con \(\psi_k\) l'autofunzione di H dell'oscillatore armonico 1D nel livello energetico k (k >= 0).
Sfruttando che (causa simmetria sotto parità) che \(\psi_k(0) = 0 \) per k dispari, si ottiene quanto a cui sei giunto.
ps hai provato il calcolo del 1° ordine perturbativo sullo stato fondamentale?
\[
\langle n,m| f(\hat{x})g(\hat{y})|l,o\rangle = \langle n| f(\hat{x})|l\rangle \langle m|g(\hat{y})|o\rangle
\]
(con lo stato \(|n,m\rangle\) intendo l'autostato di energia dell'oscillatore 2D prodotto diretto di due autostati di oscillatore armonico 1D in cui il primo oscillatore (lungo x) si trova nello stato n, il secondo (y) nello stato m.
Se a questo aggiungi il fatto che l'interazione è (proporzionale a) una delta di Dirac 2D hai che:
\[
\langle n,m| V_{int}|l,o\rangle = g \langle n| \delta(\hat{x})|l\rangle \langle m|\delta(\hat{y})|o\rangle = \psi_n(0)^* \psi_l(0) \psi_m(0)^* \psi_o(0)
\]
dove indico con \(\psi_k\) l'autofunzione di H dell'oscillatore armonico 1D nel livello energetico k (k >= 0).
Sfruttando che (causa simmetria sotto parità) che \(\psi_k(0) = 0 \) per k dispari, si ottiene quanto a cui sei giunto.
ps hai provato il calcolo del 1° ordine perturbativo sullo stato fondamentale?
Ciao, ti ringrazio per la risposta; lo stato fondamentale ha perturbazione diversa da zero, questo perché ho:
$ <00| delta^2(vecr)| 00> = <0| delta(x)| 0> <0| delta(y)| 0> =
((mw)/(pih))^(1/2)int_(-oo)^(+oo)e^(-(mw)x^2/h)delta(x) dx int_(-oo)^(+oo) e^(-(mw)y^2/h) delta(y) dy $
il cui risultato è, se non ho dimenticato qualche costante, proprio $ ((mw)/(pih))^(1/2) $ .
Solo una cosa non mi è chiarissima: formalmente come si giustifica la scrittura $ delta^2(vecr) = delta(x)delta(y) $?
$ <00| delta^2(vecr)| 00> = <0| delta(x)| 0> <0| delta(y)| 0> =
((mw)/(pih))^(1/2)int_(-oo)^(+oo)e^(-(mw)x^2/h)delta(x) dx int_(-oo)^(+oo) e^(-(mw)y^2/h) delta(y) dy $
il cui risultato è, se non ho dimenticato qualche costante, proprio $ ((mw)/(pih))^(1/2) $ .
Solo una cosa non mi è chiarissima: formalmente come si giustifica la scrittura $ delta^2(vecr) = delta(x)delta(y) $?
formalmente come si giustifica la scrittura $ delta^2(vecr) = delta(x)delta(y) $
è la definizione di delta di dirac espressa in termini di coordinate cartesiane.
per il risultato, probabile che tu abbia dimenticato la normalizzazione di una qualche funzione in quanto
\[
\psi_0(x) =\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^\frac{1}{4} \exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2\right)
\]
\[
\psi_0(0) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^\frac{1}{4}
\]
da cui (g qui è il coefficiente che moltiplica la delta di dirac nel potenziale di interazione, deve esserci anche per ragioni dimensionali):
\[
\langle 0,0|V|0,0\rangle = g |\psi_0(0)|^4 = g \frac{m\omega}{\pi\hbar}
\]
Ciao, sì infatti ho dimenticato la costante di normalizzazione del ket; grazie mille ancora.
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