Perpendicolarità campi in un onda e.m. non polarizzata
Salve, come da titolo ho un problema riguardante la dimostrazione che E e B in un onda elettromagnetica siano perpendicolari. Il problema sorge in realtà quando considero un'onda elettromagnetica non polarizzata. Per quanto riguarda le onde polarizzate nessun problema. Spiego meglio la questione comunque: per dimostrare che E e B sono perpendicolari e che $B=E/c$, nel caso di un onda elettromagnetica piana progressiva monocromatica con $E = E_{0}e^{i(kx - \omega t)}$, considero la terza equazione di Maxwell, calcolo $\nabla \cdot \E$, calcolo $(dB)/(dt)$, e uguagliando dimostro che $K \wedge E = \omega B$, dove con K intendo il vettore d'onda. Se però voglio pormi nel caso generale di un onda elettromagnetica non polarizzata, non ne esco. Considero infatti il campo E come somma delle sue componenti lungo y $E_y$ e lungo z $E_z$. Nell'argomento di $E_z$ inserisco un angolo di sfasamento $\phi$. Questo angolo è la causa dello stato di polarizzazione, e se costante ne determina un ben preciso stato di polarizzazione. Ma se non è costante, significa che varia casualmente al variare di x e/o t. Se considero quindi questo angolo come una qualche funzione generica di x e t, cioè $\phi (x,t)$, quando vado a calcolare $\nabla \cdot \E$ e $(dB)/(dT)$, mi compare tra i calcoli la derivata anche di questo angolo di sfasamento $\phi '$, che è zero solo se costante. Ma se non costante, a meno che questa derivata non sia zero per un qualche motivo, non riesco piú ad ottenere la relazione per cui $k \wedge E = \omega B$.
Ora la questione è che so che il fatto che E e B siano tra di loro perpendicolari è sempre valido, almeno per onde nel vuoto senza condizioni al contorno strane, come magari nelle guide d'onda. Così come, se considero un fascio policromatico nel vuoto composto da onde monocromatiche piane progressive polarizzate linearmente e con stessa direzione di propagazione, ma aventi diversa frequenza, riesco comunque a dimostrare che E e B sono perpendicolari e $B = E/c$.
Non riesco ad uscirne e vi chiedo una mano a capire meglio la cosa.
Una possibile spiegazione che mi sono dato è che l'angolo di sfasamento $\phi$ in realtà piú che una funzione è una variabile casuale, in quanto origina dalla sovrapposizione casuale e caotica nello spazio e nel tempo di varie onde elettromagnetiche, e ciò causa questo stato di non polarizzazione.
Ma quindi la derivata di $\phi$, rispetto sia a x che a t, è sempre nulla? È quí che mi blocco. Perché tenderei a dire di sì perché E e B devono essere perpendicolari, anche in un pacchetto d'onde.
E se con un modo riesco a dimostrare che anche un fascio policromatico ha E perpendicolare a B, non riesco a capire perché non riesco a dimostrarlo a partire direttamente dalle equazioni di Maxwell, come dovrebbe essere possibile dal momento che l'intero elettromagnetismo discende da esse.
Mi scuso per la lunghezza della domanda, ma è una questione forse di poco conto da cui però non riesco ad uscirne. Ringrazio vivamente già da adesso chiunque mi darà una mano a capire la cosa
Ora la questione è che so che il fatto che E e B siano tra di loro perpendicolari è sempre valido, almeno per onde nel vuoto senza condizioni al contorno strane, come magari nelle guide d'onda. Così come, se considero un fascio policromatico nel vuoto composto da onde monocromatiche piane progressive polarizzate linearmente e con stessa direzione di propagazione, ma aventi diversa frequenza, riesco comunque a dimostrare che E e B sono perpendicolari e $B = E/c$.
Non riesco ad uscirne e vi chiedo una mano a capire meglio la cosa.
Una possibile spiegazione che mi sono dato è che l'angolo di sfasamento $\phi$ in realtà piú che una funzione è una variabile casuale, in quanto origina dalla sovrapposizione casuale e caotica nello spazio e nel tempo di varie onde elettromagnetiche, e ciò causa questo stato di non polarizzazione.
Ma quindi la derivata di $\phi$, rispetto sia a x che a t, è sempre nulla? È quí che mi blocco. Perché tenderei a dire di sì perché E e B devono essere perpendicolari, anche in un pacchetto d'onde.
E se con un modo riesco a dimostrare che anche un fascio policromatico ha E perpendicolare a B, non riesco a capire perché non riesco a dimostrarlo a partire direttamente dalle equazioni di Maxwell, come dovrebbe essere possibile dal momento che l'intero elettromagnetismo discende da esse.
Mi scuso per la lunghezza della domanda, ma è una questione forse di poco conto da cui però non riesco ad uscirne. Ringrazio vivamente già da adesso chiunque mi darà una mano a capire la cosa
Risposte
"Ema35":
considero la terza equazione di Maxwell, calcolo $\nabla \cdot \E$, calcolo $(dB)/(dt)$, e uguagliando dimostro che $K \wedge E = \omega B$, dove con K intendo il vettore d'onda.
Nella terza eq. di Maxwell non c'e' la divergenza ma il rotore. Sarebbe interessante vedere questa tua dimostrazione.
Se però voglio pormi nel caso generale di un onda elettromagnetica non polarizzata, non ne esco. Considero infatti il campo E come somma delle sue componenti lungo y $E_y$ e lungo z $E_z$. Nell'argomento di $E_z$ inserisco un angolo di sfasamento $\phi$. Questo angolo è la causa dello stato di polarizzazione, e se costante ne determina un ben preciso stato di polarizzazione.
L'angolo di fase non c'entra con la polarizzazione.
La polarizzazione e' la variazione della direzione del campo elettrico, e di conseguenza di quello magnetico.
Di solito la variazione significa che il vettore campo elettrico ha un andamento elicoidale.
La fase che compare nella formula e' un'altra cosa e di solito si considera costante. Nelle applicazioni pratiche non ha una particolare importanza.
Ciao Quinzio, innanzitutto grazie per la disponibilità e per avermi risposto cosí velocemente.
Per quanto riguarda la terza equazione di Maxwell sì, ho sbagliato a scrivere, intendevo il rotore come hai intuito.
La dimostrazione/conti che stavo facendo sono questi:
Ragiono in notazione complessa e considero il campo $E$ come somma delle sue componenti $E_{y}= E_{0y}e^{i(kx - \omega t)}$ e $E_{z}= E_{0z}e^{i(kx - \omega t + \phi)}$ dove $\phi$ è l'angolo di sfasamento relativo tra le due componenti del campo elettrico dell'onda. So che se è pari a 0 o $\pi$ abbiamo per esempio uno stato di polarizzazione rettilinea, nel caso piú generale la polarizzazione è ellittica. Tuttavia appunto $\phi$ deve essere costante perché ci sia polarizzazione. Altrimenti, se siamo in un'onda non polarizzata, questo $\phi$ varia in maniera incontrollata. Per angolo di fase quindi non intendo lo sfasamento del campo E dell'onda, ma intendo lo sfasamento relativo tra le componenti del campo E. Perchè anche se $E_{oy} $ e $E_{oz}$ rimangono costanti, il fatto che $\phi$ vari in maniera incontrollata causa di fatto una variazione completamente casuale della direzione del vettore E risultante, perchè una delle sue componenti, in questo caso $E_{oz}$, varia in maniera appunto casuale.
Allora io assumo appunto che questo $\phi$ sia una qualche funzione di x e t, funzione che quindi ammetto che ci sia ma che non conosco.
(Considero $E_{0y}$ e $E_{0z}$ come dei vettori uniformi orientati come gli assi y e z appunto).
Procedo quindi calcolando $\nabla \wedge E$ ossia $\nabla \wedge E_{y} + \nabla \wedge E_{z}$
Le lettere maiuscole le considero vettori.
Ora, sia per $E_{y}$ che $E_z$, ho di fatto il prodotto di uno scalare per un vettore, cioè lo scalare è la parte esponenziale, il vettore è rispettivamente $E_{0y}$ e $E_{0z}$.
Quindi posso applicare l'identità vettoriale per cui $\nabla \wedge (sV)$, dove con s intendo uno scalare e V un vettore, è $\nabla s \wedge V$ + $s \nabla \wedge V$.
Applicando questa identità vettoriale alle mie due componenti appunto, ottengo che $\nabla \wedge E$ = $\nabla(e^{i(kx - \omega t)}) \wedge E_{oy} + e^{i(kx - \omega t)}\nabla \wedge E_{oy}$ + $\nabla(e^{i(kx - \omega t + \phi(x,t))}) \wedge E_{oz} + e^{i(kx - \omega t + \phi(x,t))}\nabla \wedge E_{oz}$.
Ora, i rotori di $E_{oy}$ e $E_{oz}$ sono nulli, perchè $E_{oy}$ e $E_{oz}$ sono uniformi.
Mi rimangono quindi i due termini che contengono il gradiente dell'esponenziale. Svolgendo i conti, ottengo quindi che $\nabla \wedge E = ike^(i(kx - \omega t)}u_{x} \wedge E_{oy} + i(k + (d\phi)/(dx))e^(i(kx - \omega t + \phi)}u_{x} \wedge E_{oz}$.
Con $u_{x}$ intendo il versore dell'asse x. Ora, sfruttando la bilinearità del prodotto vettoriale e raccogliendo i termini, ottengo che $\nabla \wedge E = iku_{x} \wedge E_{oy}e^(i(kx - \omega t)} + i(k + (d\phi)/(dx))u_{x} \wedge E_{oz}e^(i(kx - \omega t + \phi)}$
E qui sono arrivato alla fine perchè in entrambi i prodotti vettoriali il termine di destra è $E_{y}$ e $E_{z}$, se i primi termini di sinistra dei due prodotti vettoriali fossero identici, potrei raccogliere ed otterrei, che è quello che voglio, che $\nabla \wedge E = iku_{x} \wedge (E_{y} + E_{z})$, cioè $\nabla \wedge E = iku_{x} \wedge E$
Ma questo è possibile solo se $(d\phi)/(dx) = 0$. Cioè se $\phi$ è costante al variare di x.
Di fatto deve esserlo anche al variare di t perchè altrimenti quando procedo, con un ragionamento abbastanza analogo a questo, a parte il fatto che non ho di mezzo l'operatore del, a calcolare $-(dB)/(dt)$, ritroverei anche qui la derivata di $\phi$, solo stavolta rispetto al tempo. Ma anche qui, se $\phi$ non varia al variare del tempo, allora ottengo, che è quello che voglio, che $(dB)/(dt) =-i \omega B$.
Quindi, uguagliando $\nabla \wedge E$ a $-(dB)/(dt)$, grazie alla terza equazione di Maxwell, ottengo che $ku_{x} \wedge E = \omega B$, che è il risultato che voglio ottenere, perchè mi dice che $E$ e $B$ sono perpendicolari e che $B = E/c$, ma che riesco ad ottenere solo se assumo appunto $\phi$ costante, cioè se l'onda elettromagnetica è polarizzata.
Però so che questo risultato deve valere anche per della luce policromatica ed in generale anche per onde non polarizzate, almeno nel vuoto che è dove sto ragionando. Quindi evidentemente sto sbagliando qualcosa a livello fisico-concettuale, oppure non sto considerando qualcosa che dovrei. Il fatto è che, come ti accennavo nella mia domanda, forse il tutto sta nel fatto che non posso rappresentare $\phi$ come una funzione, perchè in realtà è una variabile casuale. In un onda elettromagnetica non polarizzata, la direzione di $E$ è completamente casuale, ciòa causa della sovrapposizione caotica di molte onde prodotte da altrettanti sorgenti ecc.
Rimane il fatto che quelle due derivate di $\phi$, una rispetto ad x, nel calcolare il rootore di E, e l'altra rispetto a t nel calcolare la derivata temporale di B, sono uguali a zero solo se $\phi$ è costante. A meno che non possa giustificare il fatto che siano pari a zero col fatto che in realtà $\phi$ non è propriamente una funzione, perchè completamente casuale, perchè di fatto una variabile casuale, e quindi non posso calcolarne la derivata oppure posso dire che essendo una funzione completamente casuale, la derivata media di $\phi$ è nulla per considerazioni statistiche. Oppure sto commettendo un errore a monte. Però questo modo di trattare la polarizzazione, cioè inserire un angolo di sfasamento relativo nella componete ad esempio z del campo elettrico, angolo di sfasamento relativo quindi tra $E_y$ e $E_z$, è un qualcosa che ho trovato sia nei miei appunti universitari, sia nel libro di testo "Mazzoldi, Nigro, Voci" e anche nel "Bettini".
Entrambi questi libri però affrontano la dimostrazione per cui E e B sono perpendicolari in un'onda piana prima di quando affrontano la polarizzazione.
Non so se sono riuscito a spiegare il punto che non riesco a capire e che mi blocca. In ogni caso con $\phi$ qui non intendo il classico angolo di sfasamento del campo E, ma intendo l'angolo di sfasamento della componente z di questo campo rispetto alla componente y. E se questo angolo varia in maniera incontrollata, idem varrà per la direzione del campo E.
So che la mia forse è una para mentale, è che mi da terribilmente fastidio non riuscire ad uscirne fuori da questo loop logico. Ti chiedo scusa ancora per la lunghezza del testo ma spero di essere stato esaustivo nel chiarire qual'è il mio dubbio.
Per quanto riguarda la terza equazione di Maxwell sì, ho sbagliato a scrivere, intendevo il rotore come hai intuito.
La dimostrazione/conti che stavo facendo sono questi:
Ragiono in notazione complessa e considero il campo $E$ come somma delle sue componenti $E_{y}= E_{0y}e^{i(kx - \omega t)}$ e $E_{z}= E_{0z}e^{i(kx - \omega t + \phi)}$ dove $\phi$ è l'angolo di sfasamento relativo tra le due componenti del campo elettrico dell'onda. So che se è pari a 0 o $\pi$ abbiamo per esempio uno stato di polarizzazione rettilinea, nel caso piú generale la polarizzazione è ellittica. Tuttavia appunto $\phi$ deve essere costante perché ci sia polarizzazione. Altrimenti, se siamo in un'onda non polarizzata, questo $\phi$ varia in maniera incontrollata. Per angolo di fase quindi non intendo lo sfasamento del campo E dell'onda, ma intendo lo sfasamento relativo tra le componenti del campo E. Perchè anche se $E_{oy} $ e $E_{oz}$ rimangono costanti, il fatto che $\phi$ vari in maniera incontrollata causa di fatto una variazione completamente casuale della direzione del vettore E risultante, perchè una delle sue componenti, in questo caso $E_{oz}$, varia in maniera appunto casuale.
Allora io assumo appunto che questo $\phi$ sia una qualche funzione di x e t, funzione che quindi ammetto che ci sia ma che non conosco.
(Considero $E_{0y}$ e $E_{0z}$ come dei vettori uniformi orientati come gli assi y e z appunto).
Procedo quindi calcolando $\nabla \wedge E$ ossia $\nabla \wedge E_{y} + \nabla \wedge E_{z}$
Le lettere maiuscole le considero vettori.
Ora, sia per $E_{y}$ che $E_z$, ho di fatto il prodotto di uno scalare per un vettore, cioè lo scalare è la parte esponenziale, il vettore è rispettivamente $E_{0y}$ e $E_{0z}$.
Quindi posso applicare l'identità vettoriale per cui $\nabla \wedge (sV)$, dove con s intendo uno scalare e V un vettore, è $\nabla s \wedge V$ + $s \nabla \wedge V$.
Applicando questa identità vettoriale alle mie due componenti appunto, ottengo che $\nabla \wedge E$ = $\nabla(e^{i(kx - \omega t)}) \wedge E_{oy} + e^{i(kx - \omega t)}\nabla \wedge E_{oy}$ + $\nabla(e^{i(kx - \omega t + \phi(x,t))}) \wedge E_{oz} + e^{i(kx - \omega t + \phi(x,t))}\nabla \wedge E_{oz}$.
Ora, i rotori di $E_{oy}$ e $E_{oz}$ sono nulli, perchè $E_{oy}$ e $E_{oz}$ sono uniformi.
Mi rimangono quindi i due termini che contengono il gradiente dell'esponenziale. Svolgendo i conti, ottengo quindi che $\nabla \wedge E = ike^(i(kx - \omega t)}u_{x} \wedge E_{oy} + i(k + (d\phi)/(dx))e^(i(kx - \omega t + \phi)}u_{x} \wedge E_{oz}$.
Con $u_{x}$ intendo il versore dell'asse x. Ora, sfruttando la bilinearità del prodotto vettoriale e raccogliendo i termini, ottengo che $\nabla \wedge E = iku_{x} \wedge E_{oy}e^(i(kx - \omega t)} + i(k + (d\phi)/(dx))u_{x} \wedge E_{oz}e^(i(kx - \omega t + \phi)}$
E qui sono arrivato alla fine perchè in entrambi i prodotti vettoriali il termine di destra è $E_{y}$ e $E_{z}$, se i primi termini di sinistra dei due prodotti vettoriali fossero identici, potrei raccogliere ed otterrei, che è quello che voglio, che $\nabla \wedge E = iku_{x} \wedge (E_{y} + E_{z})$, cioè $\nabla \wedge E = iku_{x} \wedge E$
Ma questo è possibile solo se $(d\phi)/(dx) = 0$. Cioè se $\phi$ è costante al variare di x.
Di fatto deve esserlo anche al variare di t perchè altrimenti quando procedo, con un ragionamento abbastanza analogo a questo, a parte il fatto che non ho di mezzo l'operatore del, a calcolare $-(dB)/(dt)$, ritroverei anche qui la derivata di $\phi$, solo stavolta rispetto al tempo. Ma anche qui, se $\phi$ non varia al variare del tempo, allora ottengo, che è quello che voglio, che $(dB)/(dt) =-i \omega B$.
Quindi, uguagliando $\nabla \wedge E$ a $-(dB)/(dt)$, grazie alla terza equazione di Maxwell, ottengo che $ku_{x} \wedge E = \omega B$, che è il risultato che voglio ottenere, perchè mi dice che $E$ e $B$ sono perpendicolari e che $B = E/c$, ma che riesco ad ottenere solo se assumo appunto $\phi$ costante, cioè se l'onda elettromagnetica è polarizzata.
Però so che questo risultato deve valere anche per della luce policromatica ed in generale anche per onde non polarizzate, almeno nel vuoto che è dove sto ragionando. Quindi evidentemente sto sbagliando qualcosa a livello fisico-concettuale, oppure non sto considerando qualcosa che dovrei. Il fatto è che, come ti accennavo nella mia domanda, forse il tutto sta nel fatto che non posso rappresentare $\phi$ come una funzione, perchè in realtà è una variabile casuale. In un onda elettromagnetica non polarizzata, la direzione di $E$ è completamente casuale, ciòa causa della sovrapposizione caotica di molte onde prodotte da altrettanti sorgenti ecc.
Rimane il fatto che quelle due derivate di $\phi$, una rispetto ad x, nel calcolare il rootore di E, e l'altra rispetto a t nel calcolare la derivata temporale di B, sono uguali a zero solo se $\phi$ è costante. A meno che non possa giustificare il fatto che siano pari a zero col fatto che in realtà $\phi$ non è propriamente una funzione, perchè completamente casuale, perchè di fatto una variabile casuale, e quindi non posso calcolarne la derivata oppure posso dire che essendo una funzione completamente casuale, la derivata media di $\phi$ è nulla per considerazioni statistiche. Oppure sto commettendo un errore a monte. Però questo modo di trattare la polarizzazione, cioè inserire un angolo di sfasamento relativo nella componete ad esempio z del campo elettrico, angolo di sfasamento relativo quindi tra $E_y$ e $E_z$, è un qualcosa che ho trovato sia nei miei appunti universitari, sia nel libro di testo "Mazzoldi, Nigro, Voci" e anche nel "Bettini".
Entrambi questi libri però affrontano la dimostrazione per cui E e B sono perpendicolari in un'onda piana prima di quando affrontano la polarizzazione.
Non so se sono riuscito a spiegare il punto che non riesco a capire e che mi blocca. In ogni caso con $\phi$ qui non intendo il classico angolo di sfasamento del campo E, ma intendo l'angolo di sfasamento della componente z di questo campo rispetto alla componente y. E se questo angolo varia in maniera incontrollata, idem varrà per la direzione del campo E.
So che la mia forse è una para mentale, è che mi da terribilmente fastidio non riuscire ad uscirne fuori da questo loop logico. Ti chiedo scusa ancora per la lunghezza del testo ma spero di essere stato esaustivo nel chiarire qual'è il mio dubbio.
"Ema35":
Con $u_{x}$ intendo il versore dell'asse x. Ora, sfruttando la bilinearità del prodotto vettoriale e raccogliendo i termini, ottengo che $\nabla \wedge E = iku_{x} \wedge E_{oy}e^(i(kx - \omega t)} + i(k + (d\phi)/(dx))u_{x} \wedge E_{oz}e^(i(kx - \omega t + \phi)}$
Ora, sfruttando la bilinearità del prodotto vettoriale e raccogliendo i termini, ottengo che $\nabla \wedge E = iku_{x} \wedge E_{oy}e^(i(kx - \omega t)} + i(k + (d\phi)/(dx))u_{x} \wedge E_{oz}e^(i(kx - \omega t + \phi)}$
Ma questo è possibile solo se $(d\phi)/(dx) = 0$. Cioè se $\phi$ è costante al variare di x.
Non puoi farlo (aggiungere $\phi$ variabile solo su una delle due onde) perche' se $\phi$ e' diverso da una costante, di fatto cambia la velocita' dell'onda, mentre l'altra onda rimane a velocita' $c$ (o $v$ generica se in un mezzo materiale).
Questa espressione $kx-\omega t$ la possiamo riscrivere in questo modo (che a me piace di piu'):
$(x-vt)/\lambda$
mi piace di piu' perche' si evidenzia la lunghezza d'onda e soprattutto la velocita' $v$ dell'onda.
La proporzionalita' tra $vec E$ e $vec B$ dipende anche dalla velocita' dell'onda.
Facciamo un esempio pratico introducendo $\phi$.
$\phi = k_1 x$
abbiamo
$(k+k_1)x-\omega t$
$v = \omega / (k+k_1)$
Quindi abbiamo alterato la velocita' dell'onda e la proporzionalita' tra $\vec E$ e $\vec B$.
Se prendo da sola l'onda che e' polarizzata lungo $y$, $\vec E $ e $\vec B$ sono ancora perpendicolari, come anche se prendo da sola l'onda polarizzata lungo $z$, ma se faccio la somma vettoriale, allora non ho piu' la perpendicolarita'.
Questo e' un esempio di somma vettoriale tra due onde che viaggiano a velocita' diverse.
Una ha il campo elettrico su $y$ (e il campo magnetico su $z$). L'altra ha $E$ su $z$ e $B$ su $y$
$=(0, E_1, E_2) \cdot (0, B_2, B_1) = (0, E_1, E_2) \cdot (0, -E_2 / v_2, E_1 / v_1) = E_1 E_2 (1/ v_1 - 1/v_2 ) \ne 0$
Il prodotto scalare non e' zero, $\vec B$ e $\vec E$ non sono perpendicolari.
Il fatto e' che le due onde sono sovrapposte e viaggiano nello stesso materiale, ma siccome la velocita' dell'onda e' dettata dall'indice di rifrazione del materiale, non e' possibile che due onde nello stesso materiale viaggino a velocita' diverse.
Quindi i due campi sono ancora perpendicolari.
Nell'esempio di prima, $v_1 = v_2$ e il prodotto scalare torna ad essere zero.
Detto cio' la tua analisi e' incompleta... questa e' la 3a legge di Maxwell:
$\bb \nabla \times \bb E = (\delB)/(\del t)$
Tu hai calcolato solo il rotore $\bb \nabla \times \bb E$, ma se vuoi ottenere $\bb B$ devi integrare nel tempo, ovvero
$\bb B = int (\bb \nabla \times \bb E) dt$
Siccome l'onda e' piana, viaggia lungo $x$, ed e' polarizzata secondo $y$. il rotore diventa semplicemente:
$\bb \nabla \times \bb E = (dE)/(dx)$
quindi
$B = int (dE)/(dx) dt$.
Quel $(dt)/(dx)$ che compare nell'integrale puo' essere visto come il reciproco della velocita' dell'onda $v = (dx)/(dt)$.
$ B = int (dE)/(dx) dt = 1/ v int dE = E/v$.
Questo ti fa vedere come tra i campi $B$ ed $E$ ci sia un fattore di proporzionalità pari proprio alla velocita' dell'onda.
Non so, spero che si capisca, forse ho messo piu' argomenti insieme alla rinfusa.
Ciao Quinzio, grazie mille veramente per il tempo che mi stai dedicando. Credo di stare iniziando finalmente a capire dove sta il problema.
Per quanto riguarda la seconda parte della tua risposta, avevo in realta calcolato anche $(dB)/(dt)$ (avevo omesso i conti, mea culpa, perchè non volevo tediarti troppo) ed inserendo il risultato nell'equazione di Maxwell avevo ottenuto che $k \wedge E = \omega B$, e quindi da questo risultato posso sia desumere che $B = E/c$, sia che B ed E sono perpendicolari. Tuttavia, come ti spiegavo, riuscivo ad ottenere questo risultato solo se $\phi$ è quantomeno costante, cioè se l'onda (o il pacchetto d'onde) è in uno stato di polarizzazione ben preciso.
A leggere la tua risposta credo di aver capito che il problema sta appunto nel fatto che se $\phi$ varia, varia la velocità di una delle due componenti di E mentre l'altra rimane costante, e questo è un problema perchè come mi hai mostrato il prodotto scalare tra E risultante e B risultante non fa più zero, facendo così saltare la perpendicolarità tra E e B, mentre però si preserva per le singole componenti.
Nel vuoto quindi il problema non si pone, sappiamo che tutte le onde e.m. che viaggiano nel vuoto lo fanno alla velocità della luce e quindi la perpendicolarità è preservata. In un mezzo materiale, quello che tu dici non è valido invece solo per onde aventi stessa frequenza? Perchè so che onde a diversa frequenza hanno diversi indici di rifrazione nel mezzo (e quindi avviene il fenomeno della dispersione). Ma quindi, correggimi se sbaglio, se ho un pacchetto d'onde o comunque un fascio di radiazione policromatica composto da onde a diversa frequenza che viaggiano nella stessa direzione, se questo pacchetto si sta propagando in un mezzo, in effetti salta la perpendicolarità tra E e B risultante, dal momento che ad ogni frequenza corrisponde un indice di rifrazione diverso, anche se si preserva per le sue componenti? Poi ovviamente il pacchetto inizerà a disperdersi perchè avendo diverse velocità le componenti inizieranno a separarsi.
Ma quindi nel vuoto in generale, quando considero un'onda elettromagnetica non polarizzata frutto della sovrapposizione di onde a diversa frequenza e quindi diversa lunghezza d'onda, ma stessa velocità essendo nel vuoto, l'angolo di polarizzazione sarà comunque tale da non compromettere la perpendicolarità dei campi? Mi spiego meglio con un conto che stavo facendo.
Sono nel vuoto, ragiono con due onde elettromagnetiche piane monocromatiche a diversa frequenza $E_1 = cos(k_1 x - \omega_1 t)$ e $E_2 = cos(k_2 x - \omega_2 t)$. Per ciascuna di esse dovrà valere la relazione per cui $k \wedge E = \omega B$, che manipolata diventa $B = (k \wedge E)/\omega$, quindi $B = (u_{x} \wedge E)/c$, dove k è un vettore, e quindi il modulo di k fratto $\omega$ fa appunto $1/c$.
Inoltre, essendo nel vuoto, entrambe le onde avranno come velocità proprio c.
Quindi, dati $E_1$ e $E_2$, in base alla relazione scritta, dovrà essere che $B_1 = (u_{x} \wedge E_1)/c$ e $B_2 = (u_{x} \wedge E_2)/c$.
Se calcolo quindi la somma vettoriale tra $B_{1}$ e $B_{2}$, che è $B_{ris}$, ottengo che, raccogliendo, $B_{ris} = 1/c (u_{x} \wedge (E_1 + E_2))$. Ma $E_1 + E_2 = E_{ris}$, quindi abbiamo dimostrato l'assunto.
Tornando quindi alle due componenti $E_1$ e $E_2$ , se considero $k_2 = k_1 + \Delta k$ e $\omega_2 = \omega_1 + \Delta \omega$, posso scrivere i due campi elettrici come $E_1 = cos(k_1 x - \omega_1 t)$ e $E_2 = cos(k_1 x - \omega_1 t + \Delta kx -\Delta \omega t)$. Ma posso quindi considerare $\phi (x,t) = \Delta kx -\Delta \omega t)$. Questo $\phi (x,t)$, anche se non costante, essendo nel vuoto ed essendo originatosi dalla sovrapposizione di due onde aventi stessa velocità c, non dovrà pregiudicare il nostro risultato, cioè che $E_{ris} \bot B_{ris}$, come visto nei calcoli fatti qua sopra.
Ma come mi hai mostrato, se le velocità di $E_1$ e $E_2$ sono diverse, questa perpendicolarità salta, ma si conserva per le singole onde.
Ultima domanda: se le onde hanno stessa velocità ma diversa direzione di propagazione? Ad esempio, immagino di posizionarmi in un punto preciso dello spazio vuoto ed immagino di essere investito in quel punto da diverse onde aventi stessa velocità in modulo, ma direzione di propagazione diversa. In questo caso, le due velocità vettorialmente considerate sono comunque diverse perché diversa ne é la direzione. Salta anche in questo caso la perpendicolarità dei campi risultanti $E_{ris}$ e $B_{ris}$ , ottenuti con la somma vettoriale?
Ho cercato di ricapitolare un po' il tutto in modo da poter avere una conferma da parte tua di aver capito bene. Ti ringrazio un sacco in ogni caso perchè sto finalmente comprendendo meglio il fenomeno.
Per quanto riguarda la seconda parte della tua risposta, avevo in realta calcolato anche $(dB)/(dt)$ (avevo omesso i conti, mea culpa, perchè non volevo tediarti troppo) ed inserendo il risultato nell'equazione di Maxwell avevo ottenuto che $k \wedge E = \omega B$, e quindi da questo risultato posso sia desumere che $B = E/c$, sia che B ed E sono perpendicolari. Tuttavia, come ti spiegavo, riuscivo ad ottenere questo risultato solo se $\phi$ è quantomeno costante, cioè se l'onda (o il pacchetto d'onde) è in uno stato di polarizzazione ben preciso.
A leggere la tua risposta credo di aver capito che il problema sta appunto nel fatto che se $\phi$ varia, varia la velocità di una delle due componenti di E mentre l'altra rimane costante, e questo è un problema perchè come mi hai mostrato il prodotto scalare tra E risultante e B risultante non fa più zero, facendo così saltare la perpendicolarità tra E e B, mentre però si preserva per le singole componenti.
Nel vuoto quindi il problema non si pone, sappiamo che tutte le onde e.m. che viaggiano nel vuoto lo fanno alla velocità della luce e quindi la perpendicolarità è preservata. In un mezzo materiale, quello che tu dici non è valido invece solo per onde aventi stessa frequenza? Perchè so che onde a diversa frequenza hanno diversi indici di rifrazione nel mezzo (e quindi avviene il fenomeno della dispersione). Ma quindi, correggimi se sbaglio, se ho un pacchetto d'onde o comunque un fascio di radiazione policromatica composto da onde a diversa frequenza che viaggiano nella stessa direzione, se questo pacchetto si sta propagando in un mezzo, in effetti salta la perpendicolarità tra E e B risultante, dal momento che ad ogni frequenza corrisponde un indice di rifrazione diverso, anche se si preserva per le sue componenti? Poi ovviamente il pacchetto inizerà a disperdersi perchè avendo diverse velocità le componenti inizieranno a separarsi.
Ma quindi nel vuoto in generale, quando considero un'onda elettromagnetica non polarizzata frutto della sovrapposizione di onde a diversa frequenza e quindi diversa lunghezza d'onda, ma stessa velocità essendo nel vuoto, l'angolo di polarizzazione sarà comunque tale da non compromettere la perpendicolarità dei campi? Mi spiego meglio con un conto che stavo facendo.
Sono nel vuoto, ragiono con due onde elettromagnetiche piane monocromatiche a diversa frequenza $E_1 = cos(k_1 x - \omega_1 t)$ e $E_2 = cos(k_2 x - \omega_2 t)$. Per ciascuna di esse dovrà valere la relazione per cui $k \wedge E = \omega B$, che manipolata diventa $B = (k \wedge E)/\omega$, quindi $B = (u_{x} \wedge E)/c$, dove k è un vettore, e quindi il modulo di k fratto $\omega$ fa appunto $1/c$.
Inoltre, essendo nel vuoto, entrambe le onde avranno come velocità proprio c.
Quindi, dati $E_1$ e $E_2$, in base alla relazione scritta, dovrà essere che $B_1 = (u_{x} \wedge E_1)/c$ e $B_2 = (u_{x} \wedge E_2)/c$.
Se calcolo quindi la somma vettoriale tra $B_{1}$ e $B_{2}$, che è $B_{ris}$, ottengo che, raccogliendo, $B_{ris} = 1/c (u_{x} \wedge (E_1 + E_2))$. Ma $E_1 + E_2 = E_{ris}$, quindi abbiamo dimostrato l'assunto.
Tornando quindi alle due componenti $E_1$ e $E_2$ , se considero $k_2 = k_1 + \Delta k$ e $\omega_2 = \omega_1 + \Delta \omega$, posso scrivere i due campi elettrici come $E_1 = cos(k_1 x - \omega_1 t)$ e $E_2 = cos(k_1 x - \omega_1 t + \Delta kx -\Delta \omega t)$. Ma posso quindi considerare $\phi (x,t) = \Delta kx -\Delta \omega t)$. Questo $\phi (x,t)$, anche se non costante, essendo nel vuoto ed essendo originatosi dalla sovrapposizione di due onde aventi stessa velocità c, non dovrà pregiudicare il nostro risultato, cioè che $E_{ris} \bot B_{ris}$, come visto nei calcoli fatti qua sopra.
Ma come mi hai mostrato, se le velocità di $E_1$ e $E_2$ sono diverse, questa perpendicolarità salta, ma si conserva per le singole onde.
Ultima domanda: se le onde hanno stessa velocità ma diversa direzione di propagazione? Ad esempio, immagino di posizionarmi in un punto preciso dello spazio vuoto ed immagino di essere investito in quel punto da diverse onde aventi stessa velocità in modulo, ma direzione di propagazione diversa. In questo caso, le due velocità vettorialmente considerate sono comunque diverse perché diversa ne é la direzione. Salta anche in questo caso la perpendicolarità dei campi risultanti $E_{ris}$ e $B_{ris}$ , ottenuti con la somma vettoriale?
Ho cercato di ricapitolare un po' il tutto in modo da poter avere una conferma da parte tua di aver capito bene. Ti ringrazio un sacco in ogni caso perchè sto finalmente comprendendo meglio il fenomeno.
Up
"Ema35":
Ciao Quinzio, grazie mille veramente per il tempo che mi stai dedicando. Credo di stare iniziando finalmente a capire dove sta il problema.
Per quanto riguarda la seconda parte della tua risposta, avevo in realta calcolato anche $(dB)/(dt)$ (avevo omesso i conti, mea culpa, perchè non volevo tediarti troppo) ed inserendo il risultato nell'equazione di Maxwell avevo ottenuto che $k \wedge E = \omega B$, e quindi da questo risultato posso sia desumere che $B = E/c$, sia che B ed E sono perpendicolari. Tuttavia, come ti spiegavo, riuscivo ad ottenere questo risultato solo se $\phi$ è quantomeno costante, cioè se l'onda (o il pacchetto d'onde) è in uno stato di polarizzazione ben preciso.
Ok
A leggere la tua risposta credo di aver capito che il problema sta appunto nel fatto che se $\phi$ varia, varia la velocità di una delle due componenti di E mentre l'altra rimane costante, e questo è un problema perchè come mi hai mostrato il prodotto scalare tra E risultante e B risultante non fa più zero, facendo così saltare la perpendicolarità tra E e B, mentre però si preserva per le singole componenti.
Esatto
Nel vuoto quindi il problema non si pone, sappiamo che tutte le onde e.m. che viaggiano nel vuoto lo fanno alla velocità della luce e quindi la perpendicolarità è preservata. In un mezzo materiale, quello che tu dici non è valido invece solo per onde aventi stessa frequenza? Perchè so che onde a diversa frequenza hanno diversi indici di rifrazione nel mezzo (e quindi avviene il fenomeno della dispersione). Ma quindi, correggimi se sbaglio, se ho un pacchetto d'onde o comunque un fascio di radiazione policromatica composto da onde a diversa frequenza che viaggiano nella stessa direzione, se questo pacchetto si sta propagando in un mezzo, in effetti salta la perpendicolarità tra E e B risultante, dal momento che ad ogni frequenza corrisponde un indice di rifrazione diverso, anche se si preserva per le sue componenti? Poi ovviamente il pacchetto inizerà a disperdersi perchè avendo diverse velocità le componenti inizieranno a separarsi.
Ottima osservazione. Se il mezzo e' dispersivo, abbiamo onde a diversa frequenza che viaggiano a velocita' diverse e quindi non c'e' piu' la perpendicolarita'.
Ma quindi nel vuoto in generale, quando considero un'onda elettromagnetica non polarizzata frutto della sovrapposizione di onde a diversa frequenza e quindi diversa lunghezza d'onda, ma stessa velocità essendo nel vuoto, l'angolo di polarizzazione sarà comunque tale da non compromettere la perpendicolarità dei campi? Mi spiego meglio con un conto che stavo facendo.
Sono nel vuoto, ragiono con due onde elettromagnetiche piane monocromatiche a diversa frequenza $E_1 = cos(k_1 x - \omega_1 t)$ e $E_2 = cos(k_2 x - \omega_2 t)$. Per ciascuna di esse dovrà valere la relazione per cui $k \wedge E = \omega B$, che manipolata diventa $B = (k \wedge E)/\omega$, quindi $B = (u_{x} \wedge E)/c$, dove k è un vettore, e quindi il modulo di k fratto $\omega$ fa appunto $1/c$.
Certo, siamo nel vuoto, quindi c'e' l'isotropia, tutte le onde viaggiano a velocita' uguale.
Inoltre, essendo nel vuoto, entrambe le onde avranno come velocità proprio c.
Quindi, dati $E_1$ e $E_2$, in base alla relazione scritta, dovrà essere che $B_1 = (u_{x} \wedge E_1)/c$ e $B_2 = (u_{x} \wedge E_2)/c$.
Se calcolo quindi la somma vettoriale tra $B_{1}$ e $B_{2}$, che è $B_{ris}$, ottengo che, raccogliendo, $B_{ris} = 1/c (u_{x} \wedge (E_1 + E_2))$. Ma $E_1 + E_2 = E_{ris}$, quindi abbiamo dimostrato l'assunto.
Ok
Tornando quindi alle due componenti $E_1$ e $E_2$ , se considero $k_2 = k_1 + \Delta k$ e $\omega_2 = \omega_1 + \Delta \omega$, posso scrivere i due campi elettrici come $E_1 = cos(k_1 x - \omega_1 t)$ e $E_2 = cos(k_1 x - \omega_1 t + \Delta kx -\Delta \omega t)$. Ma posso quindi considerare $\phi (x,t) = \Delta kx -\Delta \omega t)$. Questo $\phi (x,t)$, anche se non costante, essendo nel vuoto ed essendo originatosi dalla sovrapposizione di due onde aventi stessa velocità c, non dovrà pregiudicare il nostro risultato, cioè che $E_{ris} \bot B_{ris}$, come visto nei calcoli fatti qua sopra.
Tieni conto che quando descrivi un'onda come cos(kx - \omega t)$, il rapporto $\omega/k$ e' proprio la velocita' dell'onda.
Ma come mi hai mostrato, se le velocità di $E_1$ e $E_2$ sono diverse, questa perpendicolarità salta, ma si conserva per le singole onde.
Ok
Ultima domanda: se le onde hanno stessa velocità ma diversa direzione di propagazione? Ad esempio, immagino di posizionarmi in un punto preciso dello spazio vuoto ed immagino di essere investito in quel punto da diverse onde aventi stessa velocità in modulo, ma direzione di propagazione diversa. In questo caso, le due velocità vettorialmente considerate sono comunque diverse perché diversa ne é la direzione. Salta anche in questo caso la perpendicolarità dei campi risultanti $E_{ris}$ e $B_{ris}$ , ottenuti con la somma vettoriale?
Qui il discorso e' piu' complicato. Due onde piane, anche se viaggiano nel vuoto ma su piani diversi, non si sommano per dare un'altra onda piana. La somma di due onde piane non e' un onda piana. Si formano delle onde stazionarie, e quindi la situazione e' piu' complessa.
Ho cercato di ricapitolare un po' il tutto in modo da poter avere una conferma da parte tua di aver capito bene. Ti ringrazio un sacco in ogni caso perchè sto finalmente comprendendo meglio il fenomeno.
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