Periodo radiale e densità
Salve a tutti.
Propongo un esercizio di cui non conosco la soluzione, ma che vorrei risolvere:
In una galassia sfericamente simmetrica le stelle in orbite circolari di raggio r qualsiasi, hanno periodo $ P(r) = T frac{(r/R)^{3/2}}{sqrt{ln(frac{r+R}{R})-frac{r}{r+R}}} $ dove T ed R sono costanti. Si chiede :
(i) di determinare la legge di distribuzione di densità di materia della galassia;
...
E' possibile risolvere il punto (i) senza coinvolgere la derivata del potenziale (ovvero la forza) che viene poi richiesta al punto (iii) ?
Anche solo qualche suggerimento è ben gradito...
Grazie!
Propongo un esercizio di cui non conosco la soluzione, ma che vorrei risolvere:
In una galassia sfericamente simmetrica le stelle in orbite circolari di raggio r qualsiasi, hanno periodo $ P(r) = T frac{(r/R)^{3/2}}{sqrt{ln(frac{r+R}{R})-frac{r}{r+R}}} $ dove T ed R sono costanti. Si chiede :
(i) di determinare la legge di distribuzione di densità di materia della galassia;
...
E' possibile risolvere il punto (i) senza coinvolgere la derivata del potenziale (ovvero la forza) che viene poi richiesta al punto (iii) ?
Anche solo qualche suggerimento è ben gradito...
Grazie!
Risposte
Il punto 1) si risolve imponendo che la forza centripeta per mantenere ogni stella in orbita circolare sia fornita dalla forza di attrazione verso il centro della galassia.
Se ho capito bene, si può impostare il problema come segue (ho sostituito T a P(r)):
$ omega=(2pi)/T $ quindi $ a_c=-r omega^2 = -r (4pi^2)/T^2 $
Uguagliando forza centripeta e gravitazionale ottengo: $ -(GMm)/r^2 = ma_c = -m(-r omega^2) $
che si può semplificare per ottenere: $ GM=r^3 omega^2 $
dove $M=M(r)$ ottenibile come: $ M(r)=(4pi^2)/T^2 r^3/G $
Infine si puo ottenere la distribuzione di densità come: $ rho(r)=(M(r))/((4pi)/3r^3)=(3pi)/(GT^2) $
che almeno dimensionalmente ritorna... è corretto?
$ omega=(2pi)/T $ quindi $ a_c=-r omega^2 = -r (4pi^2)/T^2 $
Uguagliando forza centripeta e gravitazionale ottengo: $ -(GMm)/r^2 = ma_c = -m(-r omega^2) $
che si può semplificare per ottenere: $ GM=r^3 omega^2 $
dove $M=M(r)$ ottenibile come: $ M(r)=(4pi^2)/T^2 r^3/G $
Infine si puo ottenere la distribuzione di densità come: $ rho(r)=(M(r))/((4pi)/3r^3)=(3pi)/(GT^2) $
che almeno dimensionalmente ritorna... è corretto?
Mi pare ok! Hai fatto (tacitamente ma correttamente, e , spero, consapevolmente) l'assunzione che la forza di attrazione gravitazionale di una stella verso il centro della galassia sarebbe equivalente a quella che si avrebbe assumendo tutta la massa della galassia entro il raggio dell'orbita della stella considerata, concentrata al centro della galassia. Ovviamente questo vale se la galassia è a simmetria sferica.
Infatti era uno dei miei dubbi, cioè che non dovessi considerare anche la massa esterna...
Per quanto riguarda la massa entro il raggio dell'orbita della stella considerata si puo considerarla concentrata nel centro della galassia per uno dei teoremi di Newton, è giusto?
Grazie mille, appena ho un attimo posto anche gli altri punti del problema (2 dovrei saperli risolvere, l'ultimo ci devo pensare un attimo)
Per quanto riguarda la massa entro il raggio dell'orbita della stella considerata si puo considerarla concentrata nel centro della galassia per uno dei teoremi di Newton, è giusto?
Grazie mille, appena ho un attimo posto anche gli altri punti del problema (2 dovrei saperli risolvere, l'ultimo ci devo pensare un attimo)
Riporto anche gli altri punti per avere qualche consiglio/conferma:
(ii) se la massa della galassia è finita o infinita;
(iii) di valutare la forza esercitata dalla galassia sulla stella di massa unitaria nei limiti r << R e r >> R.
(iv) qual è il valore della costante T per cui si ha che le stelle in orbita circolare di raggio r = R compiono 100 rivoluzioni attorno al centro galattico in un tempo di Hubble TH = 13.7 Gyr.
Punto (ii): uso l'integrale della densità $ M(r)=4piint_(0)^(r) rho(r) r^2 dr = (4pi)(3pi)/G int_(0)^(r) r^2/(P(r)^2) dr $ dove l'integrando risulta essere $ 1/r 1/(sqrt(ln ((r+R)/r)-r/(r+R))) $ che per $ r -> oo $ fa convergere l'integrale.
E' corretto?
Il punto (iii) è banale, ma mi mette in difficoltà: qualche suggerimento?
Il punto (iv) lo risolvo cosi: sapendo che $ omega=(2pi)/(P(r))=100/(T_H) $ , esplicito P(r) e ottengo $ T=0.378 Gyr $
Che ve ne pare?
(ii) se la massa della galassia è finita o infinita;
(iii) di valutare la forza esercitata dalla galassia sulla stella di massa unitaria nei limiti r << R e r >> R.
(iv) qual è il valore della costante T per cui si ha che le stelle in orbita circolare di raggio r = R compiono 100 rivoluzioni attorno al centro galattico in un tempo di Hubble TH = 13.7 Gyr.
Punto (ii): uso l'integrale della densità $ M(r)=4piint_(0)^(r) rho(r) r^2 dr = (4pi)(3pi)/G int_(0)^(r) r^2/(P(r)^2) dr $ dove l'integrando risulta essere $ 1/r 1/(sqrt(ln ((r+R)/r)-r/(r+R))) $ che per $ r -> oo $ fa convergere l'integrale.
E' corretto?
Il punto (iii) è banale, ma mi mette in difficoltà: qualche suggerimento?
Il punto (iv) lo risolvo cosi: sapendo che $ omega=(2pi)/(P(r))=100/(T_H) $ , esplicito P(r) e ottengo $ T=0.378 Gyr $
Che ve ne pare?
Così però mi sembra che tu abbia calcolato la densità media, in funzione della distanza dal centro, e non la densità locale, infatti per calcolarla hai diviso la massa contenuta all'interno di una sfera di raggio R per il volume della sfera. Per calcolare la densità $ \rho (r) $:
$ M(r)=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}=\int_0^r 4 \pi r' ^2 \rho (r)dr' $
Derivando quest'espressione rispetto ad r, ottieni l'integrando a secondo membro, da cui puoi ricavare $\rho(r)$
$ M(r)=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}=\int_0^r 4 \pi r' ^2 \rho (r)dr' $
Derivando quest'espressione rispetto ad r, ottieni l'integrando a secondo membro, da cui puoi ricavare $\rho(r)$
Giusta osservazione alephy, quella è la densità media in funzione del raggio e visto che il periodo è funzione del raggio non è costante, per cui la densità ad un dato raggio sarà diversa.
Per gli altri punti.
Il punto ii) potresti svolgerlo direttamente facendo il limite per il raggio che va ad infinito dell'espressione della massa in funzione del raggio che hai ottenuto (eviti l'integrale che non sarebbe corretto come lo hai scritto, visto che la densità ricavata si riferisce alla densità media ad un certo raggio, vedi messaggio di alephy).
Il punto iii) è banale cosa è che non ti torna?
Il punto iv) non capisco perché lo svolgi in quel modo, hai il periodo in funzione del raggio, ti basta eguagliare il tempo per fare 100 periodi al tempo dato.
Il punto ii) potresti svolgerlo direttamente facendo il limite per il raggio che va ad infinito dell'espressione della massa in funzione del raggio che hai ottenuto (eviti l'integrale che non sarebbe corretto come lo hai scritto, visto che la densità ricavata si riferisce alla densità media ad un certo raggio, vedi messaggio di alephy).
Il punto iii) è banale cosa è che non ti torna?
Il punto iv) non capisco perché lo svolgi in quel modo, hai il periodo in funzione del raggio, ti basta eguagliare il tempo per fare 100 periodi al tempo dato.
Quindi, per il punto (ii) mando a infinito il raggio nell'espressione: $ M(r)=(4pi^2r^3)/(G P(r)^2) $
Per il punto (iv) dovrei invece imporre che in un periodo di 100 volte passa il tempo $T_H$: $ 100 P(r=R)= T_H $ ed ottenere un valore per T pari a: $ T=0.06 Gyr $ giusto?
(Derivare P(r) per il punto (ii) è una mostruosità!)
Per il punto (iv) dovrei invece imporre che in un periodo di 100 volte passa il tempo $T_H$: $ 100 P(r=R)= T_H $ ed ottenere un valore per T pari a: $ T=0.06 Gyr $ giusto?
(Derivare P(r) per il punto (ii) è una mostruosità!)
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