Periodo di oscillazione dalla forza di richiamo

[elios2]

Vorrei chiedere se è possibile determinare il periodo dell'oscillazione di un corpo che è soggetto ad una forza di richiamo, la cui legge di definizione è nota. Cioè, avendo $F= f(x)$, quindi l'equazione della forza di richiamo in funzione della distanza dal centro di oscillazione, come posso ricavare il periodo di tale oscillazione? C'è una legge generale che permetta di collegare queste due grandezze anche per leggi di definizione più complesse della solita forza elastica?

Ho posto la domanda più generale possibile perché mi sono capitati diversi esercizi con tale richiesta, dove la forza di richiamo fosse diversa di volta in volta, e quindi mi chiedevo se c'è un procedimento generale che posso attuare. Poi magari posto qualche esempio..!

Grazie mille dell'aiuto!

[dissonance]

*** EDIT ***
Ok, me ne sono accorto solo adesso.

C'è una legge generale che permetta di collegare queste due grandezze anche per leggi di definizione più complesse della solita forza elastica?

Il resto del mio post, quindi, non ti serve a nulla!
[/edit]

Cioè, tu dici: ho un punto materiale soggetto ad una forza

$vec{F}=-k^2vec{OP}$;

qual è il periodo delle oscillazioni del punto? Se è così la risposta è semplice: detto $omega=\sqrt{\frac{k^2}{m}}$, il periodo è $T=(2pi)/omega$. Questo perché proiettando su una terna cartesiana l'equazione della dinamica

$mvec{a}=vec{F}$

si ottengono le tre equazioni

${(m \frac{"d"^2x}{"d"t^2}+k^2x=0), (m \frac{"d"^2y}{"d"t^2}+k^2y=0), (m \frac{"d"^2z}{"d"t^2}+k^2z=0):}$;

ognuna di queste è l'equazione di un oscillatore armonico di pulsazione $omega=\sqrt{\frac{k^2}{m}}$ e quindi periodo $T=(2pi)/omega$. Da cui anche il periodo del moto globale è $T$.

Spero di avere compreso bene la domanda, però.

______________________

[RIEDIT] Venendo alla tua domanda, io credo che la risposta sia no, stai ponendo il problema in termini troppo generici. Limitiamoci a moti unidimensionali: la formulazione matematica del quesito è

[*:3p9zl2zc]Sia data una equazione

$m\frac{"d"^2 x}{"d"t^2}+f(x)=0$;

con $f$ funzione regolare; è possibile prevedere se la soluzione è periodica e quale sia il proprio periodo? [/*:m:3p9zl2zc][/list:u:3p9zl2zc]

Quando si parla di oscillatori armonici, riusciamo a rispondere perché $f$ è uguale a $k^2 x$: allora si risale all'integrale generale e da lì al periodo delle oscillazioni. Ma se $f$ non è così semplice, quell'equazione può essere praticamente qualsiasi cosa.

[elios2]

Cosa intendi con $f$ costante? $f$ comunque deve dipendere dalla distanza dal centro di oscillazione no?

[dissonance]

Certo, ho corretto.

[elios2]

Ho capito.
Però se ho una funzione di richiamo che dipende linearmente da $x$, distanza dal centro di oscillazione, per una costante $z$ generica ($F=-z*x$), posso trovare il periodo dell'oscillazione semplicemente applicando $T=2pi*sqrt(m/z)$, corretto?

[Steven11]

"elios":
Però se ho una funzione di richiamo che dipende linearmente da $x$, distanza dal centro di oscillazione, per una costante $z$ generica

Generica ma almeno positiva. Altrimenti invece di un oscillatore hai un repulsore, ovvero una situazione in cui la forza allontana la massa dall'origine proporzionalmente alla distanza da quest'ultima.

"elios":($F=-z*x$), posso trovare il periodo dell'oscillazione semplicemente applicando $T=2pi*sqrt(m/z)$, corretto?

Sì (tra l'altro anche vedendo la formula che hai scritto si deduce la necessità della positività del coefficiente)

Penso infine che dissonance qua

"dissonance":
Quando si parla di oscillatori armonici, riusciamo a rispondere perché $f$ è uguale a $k^2 x$:

volesse intendere $-k^2 x$ oppure le grandezze le intendeva in forma vettoriale.

Ciao.

[dissonance]

Ho scritto $f(x)=k^2x$ riferendomi all'equazione

$m\frac{"d"^2 x}{"d"t^2}+f(x)=0$;

in cui la forza è già "portata dall'altra parte dell'uguale", ecco perché non c'è il meno. Ma mi riferisco alla stessa forza elastica di cui parlate voi. Spero di non avere confuso le idee ad elios.

[Steven11]

Ah ok, effettivamente si poteva dedurre leggendo bene il topic.
Scusa per il fraintendimento

[elios2]

Grazie mille della delucidazione!