Perimetro ellisse di Gauss-Kummer
La MathWorld (wolfram.com) seguita da GeoGebra dà la sua soluzione del perimetro dell’Ellisse mediante la serie di Gauss-Kummer, ecco come:
perimetro=\( \pi (a+b) \sum_{n=0}^\infty{1/2 \choose n}^2h^2n^n\\
\pi(a+b)\;\;(1+\frac{1}{4}h^2+\frac{1}{64}h^4+
\frac{1}{256}h^6 +..................)\quad h=\frac{(a-b)}{(a+b)} \)
La propongo a chiunque interessi per una valutazione sulla sua veridicità, dal momento che personalmente la trovo, diciamo, fantasiosa.
Ecco le mie ragioni:
a>b semiassi della prima ellisse e per la serie di G-K
\( \pi \) (a+b)d con d= soluzione della serie, che moltiplicata dà
\( \pi \) (ad+bd) ma ad>bd sono le semirette di una nuova Ellisse, quindi
\( \pi \)(ad+bd)d’ con d’ nuovo valore della serie per cui
\( \pi \)(add’+bdd’)ma add’>bdd’ nuove semirette di una ulteriore Ellisse
…………………………………eccetera……………
insomma il perimetro di una ellisse è dato da una ellisse che ha semi assi di valore superiori.
MaxVag
perimetro=\( \pi (a+b) \sum_{n=0}^\infty{1/2 \choose n}^2h^2n^n\\
\pi(a+b)\;\;(1+\frac{1}{4}h^2+\frac{1}{64}h^4+
\frac{1}{256}h^6 +..................)\quad h=\frac{(a-b)}{(a+b)} \)
La propongo a chiunque interessi per una valutazione sulla sua veridicità, dal momento che personalmente la trovo, diciamo, fantasiosa.
Ecco le mie ragioni:
a>b semiassi della prima ellisse e per la serie di G-K
\( \pi \) (a+b)d con d= soluzione della serie, che moltiplicata dà
\( \pi \) (ad+bd) ma ad>bd sono le semirette di una nuova Ellisse, quindi
\( \pi \)(ad+bd)d’ con d’ nuovo valore della serie per cui
\( \pi \)(add’+bdd’)ma add’>bdd’ nuove semirette di una ulteriore Ellisse
…………………………………eccetera……………
insomma il perimetro di una ellisse è dato da una ellisse che ha semi assi di valore superiori.
MaxVag
Risposte
Non si capisce bene il senso del tuo post, o almeno non lo capisco io.
Se moltiplichi i semiassi di una ellisse, ottieni la stessa ellisse "ingrandita", e anche il perimetro sara' moltiplicato per lo stesso fattore dei semiassi.
Non vedo nulla di troppo strano in questo. Ho capito bene ?
Se moltiplichi i semiassi di una ellisse, ottieni la stessa ellisse "ingrandita", e anche il perimetro sara' moltiplicato per lo stesso fattore dei semiassi.
Non vedo nulla di troppo strano in questo. Ho capito bene ?
Hai capito benissimo!
E' che il primo ingrandito, secondo G-K, dovrebbe valere il perimetro del primo, cioè l'ellisse (ad + bd) vale il perimetro di quello più piccolo (a+b). Prova a metterci due numeri.
E' che il primo ingrandito, secondo G-K, dovrebbe valere il perimetro del primo, cioè l'ellisse (ad + bd) vale il perimetro di quello più piccolo (a+b). Prova a metterci due numeri.
In tutta sincerità, non capisco il senso del post iniziale ...
Stai proponendo una deduzione alternativa del perimetro dell'ellisse? Se sì, dovresti specificare meglio quello che ometti in:
ed eventualmente proponendo la formula a cui giungi.
Aggiungerei anche: sei sicuro di avere copiato bene la formula da MathWorld? non mi sembra che quella che hai scritto sia una serie convergente.
ps. non è più adatto proporre questa osservazione nello spazio di Geometria del forum?
edit: ma quanto vale ad esempio $d'$
?
Stai proponendo una deduzione alternativa del perimetro dell'ellisse? Se sì, dovresti specificare meglio quello che ometti in:
…………………………………eccetera……………
ed eventualmente proponendo la formula a cui giungi.
Aggiungerei anche: sei sicuro di avere copiato bene la formula da MathWorld? non mi sembra che quella che hai scritto sia una serie convergente.
ps. non è più adatto proporre questa osservazione nello spazio di Geometria del forum?
edit: ma quanto vale ad esempio $d'$
?
La serie è giusta vedi tu stesso al RIGO64 di:
https://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html
Non voglio dimostrare nulla. Ripeto la motivazione:
La propongo a chiunque interessi per una valutazione sulla sua veridicità, dal momento che personalmente la trovo, diciamo, fantasiosa.
(a+b) indica una ellisse che mediante la serie di G-K di valore (d) diventa una ellisse più grande di semiassi (ad+bd) e poi se continuo con la logica di G-K una ellisse ancora più grande per (add’+bdd’) (questo è il senso dell’eccetera).
Che si possa trovare il perimetro di qualcosa aumentando la grandezza della figura cioè che il perimetro della ellisse (a+b) sia dato da una ellisse più grande di semi assi maggiori (ad+bd) per \( \pi \) mi sembra una presa in giro. Specie quando chi la propone è una fonte autorevole.
Se a e b fossero i lati di un rettangolo il semi perimetro (a+b)
si dovrebbe poter ottenere facendo (ad+bd).
M.V.
https://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html
Non voglio dimostrare nulla. Ripeto la motivazione:
La propongo a chiunque interessi per una valutazione sulla sua veridicità, dal momento che personalmente la trovo, diciamo, fantasiosa.
(a+b) indica una ellisse che mediante la serie di G-K di valore (d) diventa una ellisse più grande di semiassi (ad+bd) e poi se continuo con la logica di G-K una ellisse ancora più grande per (add’+bdd’) (questo è il senso dell’eccetera).
Che si possa trovare il perimetro di qualcosa aumentando la grandezza della figura cioè che il perimetro della ellisse (a+b) sia dato da una ellisse più grande di semi assi maggiori (ad+bd) per \( \pi \) mi sembra una presa in giro. Specie quando chi la propone è una fonte autorevole.
Se a e b fossero i lati di un rettangolo il semi perimetro (a+b)
si dovrebbe poter ottenere facendo (ad+bd).
M.V.
La serie è giusta vedi tu stesso al RIGO64 di:
https://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html
In verità al rigo 64 vedo una serie diversa da quella che hai riportato tu. E comunque, ribadisco: la serie che hai scritto tu non converge. E' chiaro il perché?
Continuo a non capire il senso del tuo ragionamento (sarà perché l'hai ripetuto uguale?). E ribadisco quanto ti è stato già fatto notare, e in particolare rigiro a te l'invito che hai fatto:
E' che il primo ingrandito, secondo G-K, dovrebbe valere il perimetro del primo, cioè l'ellisse (ad + bd) vale il perimetro di quello più piccolo (a+b). Prova a metterci due numeri.
prova a metterci due numeri e vediamo che viene fuori
Un ulteriore spunto di riflessione: consideriamo la circonferenza come caso degenere di una ellisse. Quindi in questo caso $a = b = r$. Quanto vale la serie? Dato che h = 0, la serie varrà 1. La formula dà $2\pi r$ che è appunto il perimetro della circonferenza. Sarà pure "fantasiosa" per te, ma questa formula (almeno nel caso semplice) dà il risultato corretto.
Permettimi infine una osservazione: senza offesa, prima di definire formula "fantasiosa" qualcosa che è ben accettato in letteratura sarebbe buona norma cercare di capire la letteratura stessa. Per esempio, prova a leggere qua: http://web.tecnico.ulisboa.pt/~mcasquil ... llipse.pdf
Il fatto che sia espresso in termini di serie o in termini di funzioni speciali (non ho idea quanto tu maneggi bene questi concetti) non significa che siano formule campate per aria: in particolare la "referenza" (tra virgolette perché è il primo risultato che mi è venuto fuori su google, sicuramente se cerchi trovi cose più complete) mi sembra ben strutturata e, mi consenta, anche molto più rigorosa del tuo ragionamento.
Al rigo (64) del link citato (che dici di aver letto) è scritto testualmente:
…..il perimetro può essere calcolato utilizzando la serie di G-K rapidamente convergente……
dunque per te non è corretta, perché non lo segnali a chi lo ha proposta? Io non ho chiesto questo.
Mi sono limitato a dire fantasiosa la risoluzione, ma non mi sono permesso addirittura di dargli dell’ignoranti come fai tu.
Comunque il motivo del contendere non è il valore della serie, ma la domanda alla comunità: se può considerarsi logico dare il perimetro di una figura (nel nostro caso ellisse) prendendo semplicemente il valore di una figura più grande.
Le tue reminiscenze sulla circonferenza degenere non giustifica il perimetro di una ellisse non è pertinente né ti è stato chiesto.
Sono andato al link, che mi hai segnalato, e visto che si trattava dell’integrale ellittico ho pensato che finalmente c’era qualcuno che in qualche modo aveva trovato la sua soluzione, ma di tuo veramente non c’era niente: hai voluto farci sapere che lo conoscevi? Speravo di più, visto il tuo gran sapere.
Ho fatto la terza elementare ma con profitto (te invece?) per cui sono abituato alla logica secondo il mio modello di maestro:
“Eratostene piantò un palo in Alessandria e dalla sua ombra calcolò la curvatura della terra.”
Se puoi spiegare il mio dubbio, ti ascolto, ma non volerti disturbare ti prego con altre meravigliose citazioni non consone alla domanda.
Ciao. MaxVag
…..il perimetro può essere calcolato utilizzando la serie di G-K rapidamente convergente……
dunque per te non è corretta, perché non lo segnali a chi lo ha proposta? Io non ho chiesto questo.
Mi sono limitato a dire fantasiosa la risoluzione, ma non mi sono permesso addirittura di dargli dell’ignoranti come fai tu.
Comunque il motivo del contendere non è il valore della serie, ma la domanda alla comunità: se può considerarsi logico dare il perimetro di una figura (nel nostro caso ellisse) prendendo semplicemente il valore di una figura più grande.
Le tue reminiscenze sulla circonferenza degenere non giustifica il perimetro di una ellisse non è pertinente né ti è stato chiesto.
Sono andato al link, che mi hai segnalato, e visto che si trattava dell’integrale ellittico ho pensato che finalmente c’era qualcuno che in qualche modo aveva trovato la sua soluzione, ma di tuo veramente non c’era niente: hai voluto farci sapere che lo conoscevi? Speravo di più, visto il tuo gran sapere.
Ho fatto la terza elementare ma con profitto (te invece?) per cui sono abituato alla logica secondo il mio modello di maestro:
“Eratostene piantò un palo in Alessandria e dalla sua ombra calcolò la curvatura della terra.”
Se puoi spiegare il mio dubbio, ti ascolto, ma non volerti disturbare ti prego con altre meravigliose citazioni non consone alla domanda.
Ciao. MaxVag
l rigo (64) del link citato (che dici di aver letto) è scritto testualmente:
…..il perimetro può essere calcolato utilizzando la serie di G-K rapidamente convergente……
dunque per te non è corretta, perché non lo segnali a chi lo ha proposta? Io non ho chiesto questo.
Ma l'ho appena fatto
ti ho fatto notare che la formula che hai copiato-incollato qui non è la stessa che è scritta sul sito che stai appena citando! E in più ti ho anche fatto notare che la serie che hai scritto qui non converge. Non avrai chiesto questo, ma permettimi di farti notare una cosa evidente. Ri-controlla tu stesso.
Poi, per calmare gli animi: io non ti ho mai dato dell'ignorante, e se l'ho lasciato intendere (magari con l'osservazione che forse non maneggi bene certi concetti) me ne scuso. Cerca anche tu di stare tranquillo e di non dare del "sapientino" a quelli che vorrebbero aiutarti.
Però aggiungo: i tuoi interlocutori non sono degli sprovveduti e hanno senso critico: accogli le loro osservazioni e richieste di chiarimento senza intestardirti su un ragionamento che ti è già stato fatto notare essere fallato.
Sono andato al link, che mi hai segnalato, e visto che si trattava dell’integrale ellittico ho pensato che finalmente c’era qualcuno che in qualche modo aveva trovato la sua soluzione, ma di tuo veramente non c’era niente: hai voluto farci sapere che lo conoscevi? Speravo di più, visto il tuo gran sapere.
E io c'ho il buon tempo di scrivere un pdf da zero per dimostrare la formula del 2p di una ellisse? Non ti sembra di pretendere un po' troppo? Non avresti potuto cercare tu il pdf per documentarti prima?
Già buona che ti ho detto che hai copiato male la formula, ti ho fatto notare che quella serie non converge ... sto ancora aspettando i due numeri per esemplificare il tuo ragionamento
comunque io ci riprovo:
Comunque il motivo del contendere non è il valore della serie, ma la domanda alla comunità: se può considerarsi logico dare il perimetro di una figura (nel nostro caso ellisse) prendendo semplicemente il valore di una figura più grande.
mi ri-spieghi in maniera diversa perché quella formula implica che una ellisse abbia lo stesso perimetro di una dilatata? Se dilati una ellisse, e quindi ingrandisci di un fattore per es. pari a due ambo i semiassi, il perimetro calcolato con quella formula lì raddoppia. O stai in realtà riferendoti ad altro?
Ho fatto la terza elementare ma con profitto (te invece?)
per favore evita
"MaxVag":
Hai capito benissimo!
E' che il primo ingrandito, secondo G-K, dovrebbe valere il perimetro del primo, cioè l'ellisse (ad + bd) vale il perimetro di quello più piccolo (a+b). Prova a metterci due numeri.
Onestamente, sono curioso di capire di cosa si sta parlando in questo post.
Ok, ci metto due numeri.
Ellisse di semiassi 2 e 1.
$h = 1/3$
Il perimetro dell'elisse e' $\pi(a+b)GK$,
$GK \approx 1.027976$.
Poi prendo un ellisse di semiassi $a\ GK$ e $b\ GK$.
Il suo perimetro sara' $\pi(a+b)GK^2$.
Quindi ? Non vedo nulla di strano.
Ma come prendo aGK e bGK?
Prendo una ellisse di semiassi a e b questa è l'ellisse di cui cerco il perimetro.
Se scrivo a'=aGK e b'=bGk scrivo una ellisse di semi assi a' e b' che moltiplicata per pi greco mi dovrebbe
dare il perimetro della ellisse di semi assi (a,b), cioè scrivo: \( \pi (aGK+bGK) \) perimetro della ellisse (a,b).
Quindi sto moltiplicando una ellisse più grande per \(\pi\). E potrei continuare aggiungendo GK successivi per avere perimetri successivi.
E' normale? non credo che sia solo una opinione.
Ciao. M.V.
Prendo una ellisse di semiassi a e b questa è l'ellisse di cui cerco il perimetro.
Se scrivo a'=aGK e b'=bGk scrivo una ellisse di semi assi a' e b' che moltiplicata per pi greco mi dovrebbe
dare il perimetro della ellisse di semi assi (a,b), cioè scrivo: \( \pi (aGK+bGK) \) perimetro della ellisse (a,b).
Quindi sto moltiplicando una ellisse più grande per \(\pi\). E potrei continuare aggiungendo GK successivi per avere perimetri successivi.
E' normale? non credo che sia solo una opinione.
Ciao. M.V.
Provo a indicare geometricamente con un APPLET
[ggb]https://www.geogebra.org/m/cjzcwjym[/ggb]
[ggb]https://www.geogebra.org/m/cjzcwjym[/ggb]
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