Perché l'energia è sempre un quadrato?
Stavo riflettendo un po' sull'espressione matematica dell'energia in vari sistemi fisici. Prendiamo per esempio una particella di massa [tex]m[/tex]. La sua energia cinetica è
[tex]$T= \frac{m}{2}\left\lvert \frac{d \mathbf{r}}{dt} \right \rvert^2.[/tex]
Ora consideriamo un condensatore. Supponendo, per semplicità, che tra le sue armature vi sia il vuoto, la distribuzione dell'energia elettrostatica è data dalla formula
[tex]$u_E=\frac{\varepsilon_0}{2} \lvert \nabla V \rvert^2.[/tex]
Entrambe le formule hanno la stessa struttura:
[tex]$ \text{una costante} \cdot \frac{1}{2} \cdot \text{ il modulo quadro di una derivata prima }.[/tex]
E' una coincidenza?
[tex]$T= \frac{m}{2}\left\lvert \frac{d \mathbf{r}}{dt} \right \rvert^2.[/tex]
Ora consideriamo un condensatore. Supponendo, per semplicità, che tra le sue armature vi sia il vuoto, la distribuzione dell'energia elettrostatica è data dalla formula
[tex]$u_E=\frac{\varepsilon_0}{2} \lvert \nabla V \rvert^2.[/tex]
Entrambe le formule hanno la stessa struttura:
[tex]$ \text{una costante} \cdot \frac{1}{2} \cdot \text{ il modulo quadro di una derivata prima }.[/tex]
E' una coincidenza?
Risposte
Se consideri l'energia potenziale elastica c'è sempre la dipendenza quadratica dalla distanza....ma se prendi l'energia potenziale gravitazionale no....
beh, il $1/2$ e il quadrato hanno di sicuro una relazione. e cioè che quando derivi si semplificano.
Per quello che ricordo l'energia cinetica è definita così per far tornare la conservazione dell'energia
$dT=d(1/2mv^2)= mvdv=m avdt= Fds= dL$
Il tutto deve essere in accordo con le leggi di Newton. Uno potrebbe voler definire, che so, $F=mv$ anzichè $F=ma$, ma poi scopre che non torna più il principio d'inerzia.
Probabilmente vale una cosa simile per l'elettromagnetismo.
Ora, chiedo scusa per la confusione, probabilmente si chiedeva una spiegazione più profonda, ma penso che tutto si basi sulle leggi di conservazione, a seconda di come definisci le cose alcune cose si conservano e altre no.
Per quello che ricordo l'energia cinetica è definita così per far tornare la conservazione dell'energia
$dT=d(1/2mv^2)= mvdv=m avdt= Fds= dL$
Il tutto deve essere in accordo con le leggi di Newton. Uno potrebbe voler definire, che so, $F=mv$ anzichè $F=ma$, ma poi scopre che non torna più il principio d'inerzia.
Probabilmente vale una cosa simile per l'elettromagnetismo.
Ora, chiedo scusa per la confusione, probabilmente si chiedeva una spiegazione più profonda, ma penso che tutto si basi sulle leggi di conservazione, a seconda di come definisci le cose alcune cose si conservano e altre no.
Certamente hai ragione, la tua osservazione è calzante. Ma secondo me questa qua non è solo una coincidenza. Io credo che ci sia tutta una classe di sistemi per cui esiste qualche funzione di stato [tex]V[/tex] in termini dei quali si esprime l'energia mediante la formula:
[tex]$U= \frac{\text{costante}}{2}\lvert \nabla V \rvert^2.[/tex]
Penso anche che dietro tutto questo ci sia l'equazione di Poisson
[tex]$\begin{cases} - \Delta V= \rho & \text{nella regione interna} \\ V=0 & \text{sul bordo} \end{cases}[/tex]
oppure qualcosa di simile. "Qualcosa di simile" è anche l'equazione di Newton della dinamica, eh. Non è poi tanto diversa, in fondo... c'è sempre una roba come
[tex]$\text{una derivata seconda}=\text{qualcosa}.[/tex]
Purtroppo la domanda è molto vaga, probabilmente avrei dovuto rifletterci un altro po' prima di porla. Comunque, se qualcuno ha degli spunti essi sono bene accetti.
P.S.: La mia risposta era riferita a salsa88. Non ho ancora letto l'intervento di zio_paperone.
[tex]$U= \frac{\text{costante}}{2}\lvert \nabla V \rvert^2.[/tex]
Penso anche che dietro tutto questo ci sia l'equazione di Poisson
[tex]$\begin{cases} - \Delta V= \rho & \text{nella regione interna} \\ V=0 & \text{sul bordo} \end{cases}[/tex]
oppure qualcosa di simile. "Qualcosa di simile" è anche l'equazione di Newton della dinamica, eh. Non è poi tanto diversa, in fondo... c'è sempre una roba come
[tex]$\text{una derivata seconda}=\text{qualcosa}.[/tex]
Purtroppo la domanda è molto vaga, probabilmente avrei dovuto rifletterci un altro po' prima di porla. Comunque, se qualcuno ha degli spunti essi sono bene accetti.
P.S.: La mia risposta era riferita a salsa88. Non ho ancora letto l'intervento di zio_paperone.
"zio_paperone":
$dT=d(1/2mv^2)= mvdv=m avdt= Fds= dL$
Quando scrivi $v=v(s(t))$ ti riferisci alla velocità che ha la particella materiale di massa $m$, se ho capito bene. Quindi $v$ non può essere ad esempio un campo di velocità, correggimi se sbaglio.
E' come dire che: da una cisterna (un cilindro verticale) piena di liquido praticando un foro sul fondo e attaccandoci un mulino posso estrarre un'energia pari a:
[tex]E= {1 \over 2} (\rho g S) H^2[/tex]
dove:
[tex](\rho g S)[/tex] = densità del liquido X accelerazione g X sezione
[tex]H[/tex] = altezza del liquido
la forma è la stessa.
[tex]E= {1 \over 2} (\rho g S) H^2[/tex]
dove:
[tex](\rho g S)[/tex] = densità del liquido X accelerazione g X sezione
[tex]H[/tex] = altezza del liquido
la forma è la stessa.
Grazie, Quinzio. Quindi mi stai proponendo un modello fluidodinamico equivalente ad un condensatore. Dovrà riflettere un po' sulla questione perché ancora non riesco a mettere a fuoco una conclusione. Mi sapresti dire se, nel modello della cisterna che hai suggerito, entra in qualche modo l'equazione di Poisson (o di Laplace)?
Forse una linea di pensiero è quella di considerare la derivata, direi rispetto al tempo,
delle formule per l'energia; come è stato detto.
Così lo $1/2$ ed il quadrato hanno una giustificazione algebrica.
Ma la cosa interessante è ora considerare dal punto di vista /fisico/ come è
che $"d"/("d"t)E=f\dotf$ 8$f$ sta per funzione , non "forza")
Anche:
Secondo un mio docente l'idea prima è quella di Energia (o Potenza), e "forza" sarebbe
un'idea 'derivata', per contrarre il vettore velocità nell'ottenere lo scalare Potenza.
@dissonance: pensavi alle equazioni di Poisson o Laplace perchè
il quadrato ed il coefficiente ti sarebbero giustificati dalla doppia integrazione?
Altre considerazioni:
A me ora vengono in mente le equazioni dinamiche di Hamilton,
in cui vi sono derivazioni rispetto al tempo della funzione Hamiltoniana: $H=T+P$ ($T$ è l'energia cinetica e $P$ la potenziale).
Esse determinano il moto dinamico così
come lo determinano le equazioni di Newton o di Lagrange .
C'entra allora una derivata seconda _
Quelle equazioni sono per l'energia meccanica, ma ritengo che il principio sia lo stesso_ per
esempio nel considerare l'energia elettrostatica nel consensatore, etc. .
Mi sa che questa è l'occasione per me per una bella ripetizione
di meccanica razionale, cosa che voglio fare da tempo.
delle formule per l'energia; come è stato detto.
Così lo $1/2$ ed il quadrato hanno una giustificazione algebrica.
Ma la cosa interessante è ora considerare dal punto di vista /fisico/ come è
che $"d"/("d"t)E=f\dotf$ 8$f$ sta per funzione , non "forza")
Anche:
Secondo un mio docente l'idea prima è quella di Energia (o Potenza), e "forza" sarebbe
un'idea 'derivata', per contrarre il vettore velocità nell'ottenere lo scalare Potenza.
@dissonance: pensavi alle equazioni di Poisson o Laplace perchè
il quadrato ed il coefficiente ti sarebbero giustificati dalla doppia integrazione?
Altre considerazioni:
A me ora vengono in mente le equazioni dinamiche di Hamilton,
in cui vi sono derivazioni rispetto al tempo della funzione Hamiltoniana: $H=T+P$ ($T$ è l'energia cinetica e $P$ la potenziale).
Esse determinano il moto dinamico così
come lo determinano le equazioni di Newton o di Lagrange .
C'entra allora una derivata seconda _
Quelle equazioni sono per l'energia meccanica, ma ritengo che il principio sia lo stesso_ per
esempio nel considerare l'energia elettrostatica nel consensatore, etc. .
Mi sa che questa è l'occasione per me per una bella ripetizione
di meccanica razionale, cosa che voglio fare da tempo.
@orazioster: comunque non la vedo in sostanza l'analogia tra velocità o posizione che compaiono nell'energia di un punto materiale (che potrebbero essere anche delle cariche elettriche) dotato di massa e su cui agiscono forze conservative, con il campo elettrico che compare nella definizione di energia elettromagnetica $vecE(x,t)$, che è un campo vettoriale in funzione del tempo, per cui la derivata rispetto al tempo dell'energia non sarebbe in quella forma.
A quanto ho capito da questa spiegazione il passaggio da una formulazione dell'energia all'altra prvede l'applicazione delle equazioni di Maxwell e credo anche delle ipotesi sull'andamento del campo elettrico nello spazio.
http://it.wikipedia.org/wiki/Energia_del_campo_elettromagnetico
PS: in questo caso 1/2 deriva dall'aver contato due volte gli indici delle cariche elettriche e da come viene definito il potenziale elettrico.
A quanto ho capito da questa spiegazione il passaggio da una formulazione dell'energia all'altra prvede l'applicazione delle equazioni di Maxwell e credo anche delle ipotesi sull'andamento del campo elettrico nello spazio.
http://it.wikipedia.org/wiki/Energia_del_campo_elettromagnetico
PS: in questo caso 1/2 deriva dall'aver contato due volte gli indici delle cariche elettriche e da come viene definito il potenziale elettrico.
I due casi proposti presentano forti analogie matematiche (ma ne vedo poche fisiche), nel senso che si esamina una funzione dal medesimo significato (in questo caso l'energia), legata alla variazione di grandezze fisiche (le coordinate rispetto al tempo nel caso dell'energia cinetica, il potenziale rispetto allo spazio nel caso del condensatore). Che dipenda dalle derivate dipende dalla ricerca di componenti di energia invarianti per costanti additive (in un certo senso, per traslazioni). Ci si aspetta inoltre che i termini così definiti siano isotropi, e quindi se si introduce una lagrangiana, questa sarà funzione del quadrato della derivata. Per vedere, come in questo argomento à la Landau, venga poi fuori il fattore [tex]\frac{1}{2}[/tex] si può consultare le prime pagine della meccanica di Landau, al paragrafo Lagrangiana di una particella libera.
Proponevo punti di vista;
in effetti consideravo dal punto di vista di Meccanica Razionale, cioè matematico.
Però, ed ancora scrivo quel che mi viene in mente, fisicamente energia è energia; Joules.
Non consideravo la derivazione spaziale, nel caso stessimo considerando invece una energia potenziale (che non ha la forma $1/2Cf^2);
in effetti consideravo dal punto di vista di Meccanica Razionale, cioè matematico.
Però, ed ancora scrivo quel che mi viene in mente, fisicamente energia è energia; Joules.
Non consideravo la derivazione spaziale, nel caso stessimo considerando invece una energia potenziale (che non ha la forma $1/2Cf^2);
Riflettendo sui passaggi che permettono di ricavare l'anergia del campo elettrico a partire dall'energia delle forze elettriche che si scambiano delle cariche in una certa distribuzione (il link a wikipedia che ho inserito nel post precedente), si nota intanto che il dominio di integrazione deve soddisfare condizioni diverse. Nel primo integrale che viene scritto, quello del prodotto tra potenziale e densità di carica nel volume, questo può essere benissimo limitato alla sola regione di spazio in cui è presente densità di carica diversa da zero e se la distribuzione di carica è discreta il caso continuo può rappresentare solo una approssimazione.
Successivamente il dominio di integrazione viene esteso a tutto lo spazio in cui il campo elettrico assume un valore significativo.
A quanto ho capito, quello di ricavare l'energia del campo elettrico (con le dovute ipotesi sul dominiio di integrazione e sull'andamento del campo elettrico nello spazio), per come vengono presentati i passaggi, è un modo diverso per scrivere la stessa energia delle forze elettriche tra le cariche.
Mi viene da fare una domanda. Considerando un campo elettrico costituito da un'onda piana che si propaga nel vuoto, l'energia elettrica che cosa rappresenta?
Successivamente il dominio di integrazione viene esteso a tutto lo spazio in cui il campo elettrico assume un valore significativo.
A quanto ho capito, quello di ricavare l'energia del campo elettrico (con le dovute ipotesi sul dominiio di integrazione e sull'andamento del campo elettrico nello spazio), per come vengono presentati i passaggi, è un modo diverso per scrivere la stessa energia delle forze elettriche tra le cariche.
Mi viene da fare una domanda. Considerando un campo elettrico costituito da un'onda piana che si propaga nel vuoto, l'energia elettrica che cosa rappresenta?
Mi è
venuto in mente di approfondire, per me stesso, il
legame tra Energia ed equazioni Dinamiche.
Dalle mie cognizioni di Meccanica Razionale:
le Equazioni Dinamiche (come $\vecF=m\veca$) sono quelle equazioni
che definiscono un sottospazio di un certo spazio jet-derivativo secondo.
Questo spazio è spazio di immagine delle derivate
seconde dei moti (delle sezioni dal tempospazio allo spaziotempo: scusate
la terminologia, ma si chiamano così! -questi sono spazi affini)
Più precisamente definiscono il Nucleo di una certa applicazione (per dire: che mandi $\vecF-m\veca$ a zero);
Questo mi sembra di rammentare. Non vorrei! aver fatto ora una ricostruzione concettuale "barbina" -ma c'è
un filo di pensiero che mi porta a dire come ho detto (prometto di riguardare il libro! che non ho ora con me)
(Tutta questa parte "teorica", seppure ampliamente trattata dal docente a lezione, era
più o meno lasciata da approfondirsi, in un corso di Ingegneria,
alla voglia e volontà dello studente)
Le Equazioni Dinamiche sono per esempio
quelle di Lagrange o di Hamilton, che sono ottenute
avendo definito una funzione come la Lagrangiana (o la Hamiltoniana, come si diceva),
che sono formulate in termini di energia.
Ed è considerato anche il campo elettromagnetico.
venuto in mente di approfondire, per me stesso, il
legame tra Energia ed equazioni Dinamiche.
Dalle mie cognizioni di Meccanica Razionale:
le Equazioni Dinamiche (come $\vecF=m\veca$) sono quelle equazioni
che definiscono un sottospazio di un certo spazio jet-derivativo secondo.
Questo spazio è spazio di immagine delle derivate
seconde dei moti (delle sezioni dal tempospazio allo spaziotempo: scusate
la terminologia, ma si chiamano così! -questi sono spazi affini)
Più precisamente definiscono il Nucleo di una certa applicazione (per dire: che mandi $\vecF-m\veca$ a zero);
Questo mi sembra di rammentare. Non vorrei! aver fatto ora una ricostruzione concettuale "barbina" -ma c'è
un filo di pensiero che mi porta a dire come ho detto (prometto di riguardare il libro! che non ho ora con me)
(Tutta questa parte "teorica", seppure ampliamente trattata dal docente a lezione, era
più o meno lasciata da approfondirsi, in un corso di Ingegneria,
alla voglia e volontà dello studente)
Le Equazioni Dinamiche sono per esempio
quelle di Lagrange o di Hamilton, che sono ottenute
avendo definito una funzione come la Lagrangiana (o la Hamiltoniana, come si diceva),
che sono formulate in termini di energia.
Ed è considerato anche il campo elettromagnetico.
Ma non è che la questione potrebbe essere legata al fatto che l'energia deve avere un minimo?
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