Perchè le forze centrali sono conservative?
Ciao ragazzi, sto studiando alcuni concetti inerenti la gravitazione e sto ovviamente studiando le forze centrali. Ho capito perchè in un campo di forze centrali il momento angolare sia costante e ho anche capito il concetto di velocità areale. Quello che non ho capito è la dimostrazione per arrivare alla definizione che le forze centrali siano conservative. Mi potreste dare una dritta? grazie mille!
Risposte
Beh nel modo più semplice scrivi un generico campo di forza centrale e poi il lavoro compiuto dalla forza centrale lungo una curva generica. Dipende solo dal punto iniziale e finale o anche da come è fatta la curva?
"MrEngineer":
Quello che non ho capito è la dimostrazione per arrivare alla definizione che le forze centrali siano conservative.
Se per forza centrale intendi una forza in cui il vettore del capo è diretto verso il centro, semplicemente non è vero.
Se invece intendi che il modulo dipende solo dalla distanza dal centro, allora sì. Però sono definizioni diverse. La seconda inplica una simmetria sferica, che può mancare nella prima
Se per forza centrale intendi una forza in cui il vettore del capo è diretto verso il centro, semplicemente non è vero
In un campo di forze centrali, la forza ha retta di azione sempre passante per il centro, attrattiva o repulsiva che sia . Quindi il momento rispetto al centro è nullo, e si conserva il vettore momento angolare $vecL$ .
Questo è un capitolo sulle forze centrali , dal libro di David Morin :
http://leandros.physics.uoi.gr/cm1/book-cm/ch6.pdf
Questo è di D. Tong (Cambridge ) :
http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/re ... y/four.pdf
Che le forze centrali, nella definizione più debole, conservino il momento angolare, siamo d'accordo. Ma qui si parla del fatto che siano conservative.
"mgrau":
Che le forze centrali, nella definizione più debole, conservino il momento angolare, siamo d'accordo. Ma qui si parla del fatto che siano conservative.
E quindi ? Le forze centrali sono conservative , o no ?
"Shackle":
E quindi ? Le forze centrali sono conservative , o no ?
Se sono centrali e basta, non necessariamente. Ecco qui un esempio banale di un campo centrale NON conservativo
Sí beh matematicamente è vero, salta l'ipotesi di spazio semplicemente connesso, ma nella realtà non esiste un campo centrale con dei "buchi". I campi di forze sono tutti definiti in spazi densi.
"Nikikinki":
Sí beh matematicamente è vero, salta l'ipotesi di spazio semplicemente connesso, ma nella realtà non esiste un campo centrale con dei "buchi". I campi di forze sono tutti definiti in spazi densi.
@nikikinky, ma come scrivi difficile...
@mgrau
il campo che hai disegnato, che cosa sarebbe? Per me non è un campo "centrale".
Si definisce "centrale" un campo di forze avente simmetria per rotazione, come quello che caratterizza l'interazione coulombiana e gravitazionale. Il relativo potenziale dipende solo dalla distanza dal centro di forza : $phi = phi(r)$
Attenzione quindi a non confondere un campo solamente radiale , con un campo centrale !
Ecco un estratto dal testo "Dinamica classica dei sistemi fisici" di Turchetti :
PErciò , come detto chiaramente all'inizio del secondo foglio :
Un campo centrale è conservativo poiché $vecF*dvecr$ è un differenziale esatto .....etc etc . Lasciamo perdere i buchi , il campo gravitazionale non ha buchi...!
LA figura 3.1.1 a Sn mostra un campo radiale , in cui l'intensità dipende anche dalla direzione , mentre a Ds c'è un campo centrale . Chiaramente, il campo solo radiale non è in genere conservativo, poiché la forza non dipende solo dalla distanza e non c'è simmetria per rotazione: il lavoro tra due punti A e B qualsiasi può non essere indipendente dal cammino . In un campo radiale, $phi = phi (r, theta) $
Bisogna essere precisi nelle definizioni.
il campo che hai disegnato, che cosa sarebbe? Per me non è un campo "centrale".
Si definisce "centrale" un campo di forze avente simmetria per rotazione, come quello che caratterizza l'interazione coulombiana e gravitazionale. Il relativo potenziale dipende solo dalla distanza dal centro di forza : $phi = phi(r)$
Attenzione quindi a non confondere un campo solamente radiale , con un campo centrale !
Ecco un estratto dal testo "Dinamica classica dei sistemi fisici" di Turchetti :
PErciò , come detto chiaramente all'inizio del secondo foglio :
Un campo centrale è conservativo poiché $vecF*dvecr$ è un differenziale esatto .....etc etc . Lasciamo perdere i buchi , il campo gravitazionale non ha buchi...!
LA figura 3.1.1 a Sn mostra un campo radiale , in cui l'intensità dipende anche dalla direzione , mentre a Ds c'è un campo centrale . Chiaramente, il campo solo radiale non è in genere conservativo, poiché la forza non dipende solo dalla distanza e non c'è simmetria per rotazione: il lavoro tra due punti A e B qualsiasi può non essere indipendente dal cammino . In un campo radiale, $phi = phi (r, theta) $
Bisogna essere precisi nelle definizioni.
"mgrau":
[quote="Nikikinki"]Sí beh matematicamente è vero, salta l'ipotesi di spazio semplicemente connesso, ma nella realtà non esiste un campo centrale con dei "buchi". I campi di forze sono tutti definiti in spazi densi.
@nikikinky, ma come scrivi difficile...[/quote]
Era solo per dirti che a rigore hai ragione perché le richieste matematiche sulla conservatività del campo sono irrotazionalità e spazio semplicemente connesso (se prendo un qualsiasi cammino chiuso nello spazio posso restringerlo ad un punto senza mai uscire dallo spazio; per questo ho detto spazio "senza buchi" o denso) quindi se ci tolgo il pezzo in metà spazio chiaramente pur se a rotore nullo manca l'ipotesi sul dominio. Se invece prendo come insieme solo il semispazio dove il campo è non nullo quel tuo campo diventa conservativo. Però, come dice anche Shackle, poi nella realtà questo problema non si pone mai che è il motivo per cui l'avevo sottinteso nella mia primissima risposta. Poi lessi anche testi che parlavano, come quello qui riportato, di campi centrali solo per quelli conservativi parlando per gli altri di radiali, mentre altri come dicevi tu, parlavano di campo centrale (conservazione del mom angolare, dipendenza del modulo solo dalla dist dal centro ecc) e poi di campo centrale a simmetria sferica (che implica le due ipotesi su rotore e dominio) conservativo. Ma al di là dei nomi che gli vogliamo dare il succo non cambia.
Un campo centrale e' conservativo poiche' e' radiale. Se il campo e' puramente radiale, e' per forza conservativo poiche' ammette potenziale.
"Antonio Mantovani":
Un campo centrale e' conservativo poiche' e' radiale, quindi l'accelerazione e' ortogonale a questo, e quindi il lavoro e' sempre nullo (F×ds)
Non l'ho capita questa affermazione perdonami, forse fraintendo io. Ma stai dicendo che in un campo centrale, o pur radiale, l'accelerazione è ortogonale alla forza? Mi sembra che qui sulla terra, ad esempio, l'accelerazione sia diretta lungo la retta della forza attrattiva, non ortogonale ad essa.
Scusa ho editato il post.
Intendevo il momento rispetto al polo non il lavoro.
Intendevo il momento rispetto al polo non il lavoro.
Ancora confusione. In questo contesto, “centrale “ vuol dire dotato di simmetria rotazionale. “ Radiale “ no.
Quindi un campo centrale è radiale, ed è conservativo. Un campo radiale, in questo contesto, può non essere centrale, cioè dotato di simmetria rotazionale, e quindi può non essere conservativo.
Quindi un campo centrale è radiale, ed è conservativo. Un campo radiale, in questo contesto, può non essere centrale, cioè dotato di simmetria rotazionale, e quindi può non essere conservativo.
"Shackle":
In questo contesto, “centrale “ vuol dire dotato di simmetria rotazionale. “ Radiale “ no.
Quindi un campo centrale è radiale, ed è conservativo.
Quando dici "simmetria rotazionale", intendi sferica? Perchè la simmetria rispetto a un asse non basta. (come si vede nel mio esempio)
A questo proposito, chiedo a @Shackle come indiscusso esperto di relatività: il campo elettrico prodotto da una carica in movimento, che, a quel che ho capito, è radiale ma non a simmetria sferica: l'intensità del campo dipende dalla direzione considerata rispetto a quella del moto, massima in direzione perpendicolare e minima su quella parallela: quindi, questo campo è conservativo? Perchè, a prima vista, sembrerebbe di no.
"mgrau":
[quote="Shackle"] In questo contesto, “centrale “ vuol dire dotato di simmetria rotazionale. “ Radiale “ no.
Quindi un campo centrale è radiale, ed è conservativo.
Quando dici "simmetria rotazionale", intendi sferica? Perchè la simmetria rispetto a un asse non basta. (come si vede nel mio esempio)[/quote]
Penso che simmetria rotazionale sia anche quella piana rispetto a un punto del piano; oppure rispetto a un asse, come in un cilindro, ma con campo costante in direzione dell'asse $z$ del cilindro, per essere chiaro.
A questo proposito, chiedo a @Shackle come indiscusso esperto di relatività: il campo elettrico prodotto da una carica in movimento, che, a quel che ho capito, è radiale ma non a simmetria sferica: l'intensità del campo dipende dalla direzione considerata rispetto a quella del moto, massima in direzione perpendicolare e minima su quella parallela: quindi, questo campo è conservativo? Perchè, a prima vista, sembrerebbe di no.
Magari fossi esperto di relatività ! Ci penso su, ma penso che tu abbia ragione.
Scusa, f(x) =f(r) er
U(r) = - int (f(r) dr)
Questo e' un teorema che si dimostra facile
Quindi f(x) conservativo
Questo comporta che il sistema ammetta un integrale primo della funzione di Hamilton.
In sostanza si conserva l'energia meccanica totale
U(r) = - int (f(r) dr)
Questo e' un teorema che si dimostra facile
Quindi f(x) conservativo
Questo comporta che il sistema ammetta un integrale primo della funzione di Hamilton.
In sostanza si conserva l'energia meccanica totale
"Antonio Mantovani":
Scusa, f(x) =f(r) er
U(r) = - int (f(r) dr)
Questo e' un teorema che si dimostra facile
Quindi f(x) conservativo
Questo comporta che il sistema ammetta un integrale primo della funzione di Hamilton.
In sostanza si conserva l'energia meccanica totale
Questo è vero se $U(r)$ è funzione soltanto della distanza radiale . Ma se la forza cambia anche in base alla direzione , cioè l'angolo che essa forma con un asse prefissato, pur rimanendo radiale, non è più vero.
Leggi il cap. 3 del libro di Turchetti , e in particolare l'inizio di pag. 90 :
http://www.physycom.unibo.it/LibroTurchetti/capit3.pdf
qui è detto chiaramente, manca il secondo integrale primo :
Un campo radiale in genere non è conservativo. Le sua orbite sono piane ed il momento della quantita` di moto si conserva ma manca il secondo integrale primo H; le equazioni del moto sono date ancora da (3.1.9) dove f = f (r, φ).
No, f=f(r, ¥) non e' un campo puramente radiale, come dici tu, dipende anche dall'angolo.
Anzi, ti dico che un campo radiale, è un campo centrale, la cui retta d'azione passa sempre, al variare del punto P, su cui la forza agisce, per uno steso punto O (centro)
Poi vi sono campi centrali, a simmetria sferica, che sono comunque campi radiali
Anzi, ti dico che un campo radiale, è un campo centrale, la cui retta d'azione passa sempre, al variare del punto P, su cui la forza agisce, per uno steso punto O (centro)
Poi vi sono campi centrali, a simmetria sferica, che sono comunque campi radiali
"Antonio Mantovani":
No, f=f(r, ¥) non e' un campo puramente radiale, come dici tu, dipende anche dall'angolo.
Anzi, ti dico che un campo radiale, è un campo centrale, la cui retta d'azione passa sempre, al variare del punto P, su cui la forza agisce, per uno steso punto O (centro)
Poi vi sono campi centrali, a simmetria sferica, che sono comunque campi radiali
Vedo che stai confondendo "centrale" con "radiale", le cui definizioni sono quelle date da Turchetti, alle quali io mi attengo. Evidentemente hai punti di vista diversi, e non ti va di leggere le dispense.
Chiudo.
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