Perché il disco si solleva?
Nell'immagine i due dischi di massa $M$ e raggio $R$ hanno i centri imperniati da un'asta di massa $M$ e lunghezza $R$. SI chiede: Viene posto un motore che applica una coppia $C$ in $A$ tra asta e disco, supponendo che vi sia rotolamento puro, calcolare la massima accelerazione del centro di massa del sistema (prima che il disco B si sollevi).
Ho dei dubbi:
$1)$ Come agisce questa coppia tra asta e disco? Qual è il suo effetto? Dovrebbe far ruotare il disco, ma quali effetti ha sull'asta? E quindi, perché il disco B si solleva?
Ho dei dubbi:
$1)$ Come agisce questa coppia tra asta e disco? Qual è il suo effetto? Dovrebbe far ruotare il disco, ma quali effetti ha sull'asta? E quindi, perché il disco B si solleva?
Risposte
Praticamente come una moto che si impenna.
Il motore è solidale con l'asta e trasmette una coppia -C in senso orario alla ruota A.
Per reazione, la ruota A trasmette una coppia uguale in senso antiorario all'asta (C).
Questa coppia C viene equilibrata dal momento della forza peso dell'asta e della ruota B, oltre che dalla reazione d'appoggio di B a terra, rispetto al centro della ruota A.
Il momento della reazione d'appoggio più la coppia eguagliano il momento delle forze peso.
Quando la coppia cresce, l'equilibrio richiede che la reazione d'appoggio in B diminuisca. Quando la reazione d'appoggio si riduce a zero la coppia bilancia esattamente il momento delle forze peso.
Se la coppia cresce ancora, siccome la reazione d'appoggio non può diventare negativa, si sviluppa una coppia residua, differenza tra la coppia applicata e il momento delle forze peso, che fa ruotare in senso antiorario l'asta. E la ruota B si solleva.
Il motore è solidale con l'asta e trasmette una coppia -C in senso orario alla ruota A.
Per reazione, la ruota A trasmette una coppia uguale in senso antiorario all'asta (C).
Questa coppia C viene equilibrata dal momento della forza peso dell'asta e della ruota B, oltre che dalla reazione d'appoggio di B a terra, rispetto al centro della ruota A.
Il momento della reazione d'appoggio più la coppia eguagliano il momento delle forze peso.
Quando la coppia cresce, l'equilibrio richiede che la reazione d'appoggio in B diminuisca. Quando la reazione d'appoggio si riduce a zero la coppia bilancia esattamente il momento delle forze peso.
Se la coppia cresce ancora, siccome la reazione d'appoggio non può diventare negativa, si sviluppa una coppia residua, differenza tra la coppia applicata e il momento delle forze peso, che fa ruotare in senso antiorario l'asta. E la ruota B si solleva.
Grazie della risposta, E quindi se la coppia facesse ruotare in senso antiorario il disco, l'asta verrebbe "schiacciata" contro il suolo? Invece cosa significa per esempio: "Si calcoli la coppia C che l'asta applica sulla ruota"? Come fa un'asta a poter applicare una coppia nel centro di un'asta? Per esempio nella seguente immagine, va determinata la coppia che l'asta applica alla ruota per tenere il sistema in equilibrio. Prescindendo da come un'asta possa applicare una coppia sul centro di una ruota, seguendo quello che mi hai detto, io procederei così:
1) Le forze di Attrito agenti sulle ruote devono essere uguali e contrarie.
2) Il momento della forza di attrito sulla ruota B deve essere uguale al momento del punto P
3) Questa famigerata coppia che l'asta applica in A deve essere uguale e contraria al momento della forza d'attrito sul disco A in A
4) La somma delle reazioni vincolari deve essere uguale al peso totale del sistema
5) In base a quello che mi hai detto la ruota dovrebbe opporre una coppia opposta all'asta, la somma di questa coppia e dei momenti dei pesi di B e del'asta deve essere uguale al momento della reazione vincolare in B
Otterrei un sistema di 5 equazioni in 5 incognite, ma non mi convince perché non riesco a immaginarmi un'asta che sviluppa una coppia su una ruota,e probabilmente tutto quello che ho scritto è sbagliato.
1) Le forze di Attrito agenti sulle ruote devono essere uguali e contrarie.
2) Il momento della forza di attrito sulla ruota B deve essere uguale al momento del punto P
3) Questa famigerata coppia che l'asta applica in A deve essere uguale e contraria al momento della forza d'attrito sul disco A in A
4) La somma delle reazioni vincolari deve essere uguale al peso totale del sistema
5) In base a quello che mi hai detto la ruota dovrebbe opporre una coppia opposta all'asta, la somma di questa coppia e dei momenti dei pesi di B e del'asta deve essere uguale al momento della reazione vincolare in B
Otterrei un sistema di 5 equazioni in 5 incognite, ma non mi convince perché non riesco a immaginarmi un'asta che sviluppa una coppia su una ruota,e probabilmente tutto quello che ho scritto è sbagliato.
"Vulplasir":
cosa significa per esempio: "Si calcoli la coppia C che l'asta applica sulla ruota"? Come fa un'asta a poter applicare una coppia nel centro di un'asta?
L'asta è solo la schematizzazione di un telaio sul quale è montato un motore. Il motore fa girare una corona dentata che è collegata tramite catena a un pignone dentato solidale con la ruota. Il ramo superiore della cinghia opera una trazione che è compensata dalla reazione di vincolo del perno con forza uguale e contraria. Dunque la somma delle forze tra telaio e ruota è zero, mentre rimane la coppia che viene trasmessa alla ruota, e che è uguale alla forza di trazione della catena moltiplicata per il raggio del pignone.
"Vulplasir":
1) Le forze di Attrito agenti sulle ruote devono essere uguali e contrarie.
No, se fossero uguali e contrarie la moto resterebbe ferma. La massima differenza tra le forze avviene quando la moto accelera. La forza di attrito con cui il terreno spinge la ruota posteriore è diretta verso avanti ed è molto alta perché deve fornire la spinta per l'accelerazione della moto, mentre la forza che il terreno esercita sulla ruota anteriore è piccola ed è diretta verso dietro.
"Vulplasir":
2) Il momento della forza di attrito sulla ruota B deve essere uguale al momento del punto P
Questa non l'ho capita.
"Vulplasir":
3) Questa famigerata coppia che l'asta applica in A deve essere uguale e contraria al momento della forza d'attrito sul disco A in A
Non è esattamente vero, la coppia motrice è un po' superiore alla coppia che la forza d'attrito del terreno esercita rispetto al centro della ruota. La differenza serve a far ruotare la ruota, cioè è uguale al momento di inerzia della ruota moltiplicata per l'accelerazione angolare.
"Vulplasir":
4) La somma delle reazioni vincolari deve essere uguale al peso totale del sistema
Vero solo per le reazioni verticali, ovviamente.
"Vulplasir":
5) In base a quello che mi hai detto la ruota dovrebbe opporre una coppia opposta all'asta, la somma di questa coppia e dei momenti dei pesi di B e del'asta deve essere uguale al momento della reazione vincolare in B
La coppia motrice eguaglia i momenti delle forze peso dell'asta e della ruota B al momento del distacco da terra, altrimenti se la ruota B tocca terra la reazione del terreno in B fa un momento che compensa la differenza tra la coppia motrice e i momenti delle forze peso.
"Vulplasir":
Otterrei un sistema di 5 equazioni in 5 incognite, ma non mi convince perché non riesco a immaginarmi un'asta che sviluppa una coppia su una ruota,e probabilmente tutto quello che ho scritto è sbagliato.
Intanto devi dividere le forze orizzontali da quelle verticali e poi spacca il problema a pezzi. La coppia C divide il corpo in due parti, l'asta più ruota B soggetta a coppia C, la ruota A soggetta a coppia -C.
Tieni conto che le forze orizzontali non si bilanciano perché devono fornire l'accelerazione della moto, mentre le forze vericali si bilanciano almeno finché la moto non si impenna.
Scusa, Mi devo essere espresso male, quelle considerazioni che ho fatto nel mio precedente messaggio sono relative ad un caso di staticità, più precisamente riguardano il sistema dell'immagine che ho postato nel secondo messaggio: download/file.php?id=1032 (In cui appunto si chiede di calcolare il momento che l'asta applica in $A$ alla ruota per mantenere il sistema in quiete, essendoci un punto $P$ di massa $M$ inclinato di $pi/4$ che tenderebbe a far ruotare la ruota $B$, ecco, detto ciò, le mie considerazioni sono esatte?, in questo caso non c'è alcun motore in A)
Il caso dinamico che mi hai spiegato credo di averlo capito, e ritornando al problema del primo messaggio e in base a quello che hai scritto nel tuo ultimo messaggio (relativo alla prima immagine e non alla seconda) ecco le equazioni che ho impostato: Sia $F_A$ e la forza d'attrito agente sul disco $A$, $C$ la coppia del motore che fa ruotare il disco $A$ in senso orario, $M$ la massa di ciascun componente del sistema, $F_B$ la forza d'attrito sul disco $B$ e $N_B$ la reazione vincolare del terreno in $B$. (la lunghezza dell'asta è $4R$)
$F_A-F_B=3Mddot(x)$
$C-F_A*R=1/2MR^2ddot(theta)$
$F_BR=1/2MR^2ddot(theta)$
$C+N_B*4R<=4MgR+2MgR$ (minore o uguale perché in caso fosse maggiore la ruota B si staccherebbe dal suolo)
Imponendo puro rotolamento $ddot(x)=Rddot(theta)$ dovrei arrivare a $ddot(x)_max<=3/2g$
Il caso dinamico che mi hai spiegato credo di averlo capito, e ritornando al problema del primo messaggio e in base a quello che hai scritto nel tuo ultimo messaggio (relativo alla prima immagine e non alla seconda) ecco le equazioni che ho impostato: Sia $F_A$ e la forza d'attrito agente sul disco $A$, $C$ la coppia del motore che fa ruotare il disco $A$ in senso orario, $M$ la massa di ciascun componente del sistema, $F_B$ la forza d'attrito sul disco $B$ e $N_B$ la reazione vincolare del terreno in $B$. (la lunghezza dell'asta è $4R$)
$F_A-F_B=3Mddot(x)$
$C-F_A*R=1/2MR^2ddot(theta)$
$F_BR=1/2MR^2ddot(theta)$
$C+N_B*4R<=4MgR+2MgR$ (minore o uguale perché in caso fosse maggiore la ruota B si staccherebbe dal suolo)
Imponendo puro rotolamento $ddot(x)=Rddot(theta)$ dovrei arrivare a $ddot(x)_max<=3/2g$
Ero io che ho capito male.
Adesso questo nuovo caso non ha il motore, però ha un freno a disco che applica coppia frenante. Adesso la coppia che fa ruotare l'asta telaio è una coppia oraria che schiaccia in giù l'asta e quindi la ruota anteriore.
Alla tua precedente lista rispondo:
1)-Sì
2)-Sì, nel senso che la reazione del terreno fa momento uguale e contrario di P rispetto al centro della ruota
3)-Sì
4).Sì, intendendo le reazioni verticali
5)-Per scindere il problema in modo da risolverlo facilmente, è opportuno considerare separatamente i 3 elementi: ruota A, asta e ruota B, sostituendo i perni di contatto con momenti e forze che l'elemento in esame riceve dall'elemento contiguo.
Ad esempio prendiamo l'asta, e consideriamo il centro della ruta A, su cui essa è imperniata, come polo per il calcolo dei momenti. All'estremo opposto sostituiamo il perno di B con le due reazioni (forze) che riceve dalla ruota, e le chiamiamo Rv (reazione verticale) e Ro (orizzontale. Se calcoliamo l'equilibrio dei momenti, abbiamo che la coppia C più il momento della forza peso dell'asta è uguale al momento di Rv.
Poi consideriamo la ruota B, al cui centro è applicata la reazione che l'asta le comunica e che è opposta a quella appena detta, ovvero -Rv e -Ro. La reazione del terreno verticale sulla ruota deve bilanciare il peso P, il peso della ruota e la -Rv.
Insomma scindendo i pezzi e considerando le reazioni di contatto si cammina passo-passo e si determina tutto.
Adesso questo nuovo caso non ha il motore, però ha un freno a disco che applica coppia frenante. Adesso la coppia che fa ruotare l'asta telaio è una coppia oraria che schiaccia in giù l'asta e quindi la ruota anteriore.
Alla tua precedente lista rispondo:
1)-Sì
2)-Sì, nel senso che la reazione del terreno fa momento uguale e contrario di P rispetto al centro della ruota
3)-Sì
4).Sì, intendendo le reazioni verticali
5)-Per scindere il problema in modo da risolverlo facilmente, è opportuno considerare separatamente i 3 elementi: ruota A, asta e ruota B, sostituendo i perni di contatto con momenti e forze che l'elemento in esame riceve dall'elemento contiguo.
Ad esempio prendiamo l'asta, e consideriamo il centro della ruta A, su cui essa è imperniata, come polo per il calcolo dei momenti. All'estremo opposto sostituiamo il perno di B con le due reazioni (forze) che riceve dalla ruota, e le chiamiamo Rv (reazione verticale) e Ro (orizzontale. Se calcoliamo l'equilibrio dei momenti, abbiamo che la coppia C più il momento della forza peso dell'asta è uguale al momento di Rv.
Poi consideriamo la ruota B, al cui centro è applicata la reazione che l'asta le comunica e che è opposta a quella appena detta, ovvero -Rv e -Ro. La reazione del terreno verticale sulla ruota deve bilanciare il peso P, il peso della ruota e la -Rv.
Insomma scindendo i pezzi e considerando le reazioni di contatto si cammina passo-passo e si determina tutto.
Ok, credo forse di essere arrivato a qualche conclusione.
In base a quello che hai detto riguardo al punto $5)$, dovrebbe essere:
$R_v*4R=C+2MgR$ da cui: $R_v=C/(4R)+1/2Mg$
Considerando quindi la reazione normale del terreno $N_B$ sulla ruota $B$ si ha: $N_B=R_v+2Mg$, da cui: $N_B=5/2Mg+C/(4R)$. Da come avevo scritto all'inizio al punto $5$ sbagliavo quindi dato che consideravo che sul punto $B$ dell'asta agissero solo la forza peso del disco $B$ e la reazione normale del terreno sul disco $N_B$, dimenticandomi del punto $P$, mentre aggiungendo anche il peso del punto $P$ il risultato coincide con quello trovato prima.
Grazie infinite per l'aiuto!
In base a quello che hai detto riguardo al punto $5)$, dovrebbe essere:
$R_v*4R=C+2MgR$ da cui: $R_v=C/(4R)+1/2Mg$
Considerando quindi la reazione normale del terreno $N_B$ sulla ruota $B$ si ha: $N_B=R_v+2Mg$, da cui: $N_B=5/2Mg+C/(4R)$. Da come avevo scritto all'inizio al punto $5$ sbagliavo quindi dato che consideravo che sul punto $B$ dell'asta agissero solo la forza peso del disco $B$ e la reazione normale del terreno sul disco $N_B$, dimenticandomi del punto $P$, mentre aggiungendo anche il peso del punto $P$ il risultato coincide con quello trovato prima.
Grazie infinite per l'aiuto!
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