Pendolo semplice (o matematico)
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/it/5/58/Pendolo_semplice.jpg
Vale la seguente:
$\vec T + m\vec g = m \vec a$
Su $\tau$ vale $-mg\ \sin\theta = ma_{\tau} = m (dv)/dt = m\ l\ \ddot \theta$ incredibilmente sono riuscito a capire il motivo...quindi $\ddot \theta = - g/l\ \sin \theta$
Questa può riscriversi $\frac{d\dot \theta}{ dt} = g/l 1 / \dot \theta (d(\cos \theta)) / dt$ il primo membro è chiaro, al secondo non capisco quel $1 / \dot \theta$....grazie ragazzi
Risposte
Incredibilmente capiremo anche questo punto, che è molto più facile di quello di prima!! 
E' proprio una cavolata:
\[\frac{d (\cos\theta)}{dt}=-\sin(\theta)\dot{\theta}\]
quindi siccome quel \(\dot{\theta}\) non lo vogliamo dobbiamo dividerlo via.
Yuu - huu!!!
E' proprio una cavolata:
\[\frac{d (\cos\theta)}{dt}=-\sin(\theta)\dot{\theta}\]
quindi siccome quel \(\dot{\theta}\) non lo vogliamo dobbiamo dividerlo via.
Yuu - huu!!!
ahhhh è vero! 
Grazie dissonance!
Grazie dissonance!
...poi incredibilmente sono forse riuscito a continuare...tutto ciò è uguale a
$\[d \dot \theta = g/l 1 / \dot \theta d(\cos \theta)] = \[\dot \theta d(\dot \theta) = g/l d(\cos \theta)]$
Al primo membro ho avuto un'intuizione facendo una prova con $\sin$ e $\cos$ cioè $\sinx\ \cosx = d[[\sin^2x]] /2$
Quindi $\[d(\dot\theta^2) = 2 g/l d(\cos \theta)] = \[\dot \theta^2 = 2 g/l \cos \theta + C]$ e fin qui ci sono...perchè dovrebbe diventare:
$\[\dot \theta^2 = 2 g/l (\cos \theta - \cos \theta_0)]$?
PS perchè $\theta <= \theta_0$? non dovrebbe essere il contrario?
Grazie mille
$\[d \dot \theta = g/l 1 / \dot \theta d(\cos \theta)] = \[\dot \theta d(\dot \theta) = g/l d(\cos \theta)]$
Al primo membro ho avuto un'intuizione
facendo una prova con $\sin$ e $\cos$ cioè $\sinx\ \cosx = d[[\sin^2x]] /2$Quindi $\[d(\dot\theta^2) = 2 g/l d(\cos \theta)] = \[\dot \theta^2 = 2 g/l \cos \theta + C]$ e fin qui ci sono...perchè dovrebbe diventare:
$\[\dot \theta^2 = 2 g/l (\cos \theta - \cos \theta_0)]$?
PS perchè $\theta <= \theta_0$? non dovrebbe essere il contrario?
Grazie mille
Per trovare quell'ultima formula basta imporre la condizione iniziale
[tex]\dot{\theta}(0)=0[/tex], ovvero velocità nulla all'istante iniziale (con [tex]\theta_{0}[/tex] si intende quindi l'angolo all'istante iniziale, ovvero [tex]\theta(0)[/tex]). L'altra condizione serve a far sì che [tex]\dot{\theta}^2[/tex] non sia negativo, e puoi facilmente renderti conto che è sufficiente, in quanto gli angoli "esplorabili" dal pendolo durante il moto appartengono all'intervallo [tex][-\theta_{0},\theta_{0}][/tex]
[tex]\dot{\theta}(0)=0[/tex], ovvero velocità nulla all'istante iniziale (con [tex]\theta_{0}[/tex] si intende quindi l'angolo all'istante iniziale, ovvero [tex]\theta(0)[/tex]). L'altra condizione serve a far sì che [tex]\dot{\theta}^2[/tex] non sia negativo, e puoi facilmente renderti conto che è sufficiente, in quanto gli angoli "esplorabili" dal pendolo durante il moto appartengono all'intervallo [tex][-\theta_{0},\theta_{0}][/tex]
"alephy":
[tex][-\theta_{0},\theta_{0}][/tex]
Ma $\theta_0$ non è uguale a zero? cosa intendi per $\theta_0$? l'angolo che si forma quando la velocità è ancora nulla?
...io non ho capito perchè viene fuori quel $- \cos \theta_0$ perchè è costate e viene sostituito con la $C$?
....continuando poi si può trovare la tensione lungo il filo, però provando invece a trovare la legge oraria del moto:
$m\ l \ddot \theta + m\ g\ \sin \theta = 0$ $\sim$
$m\ l \ddot \theta + m\g\ \theta = 0 $ utilizzando lo sviluppo di taylor fino al primo ordine...dividendo e semplificando:
$\ddot \theta + g/l \theta = 0$
$\lambda_{1,2} = +- i \sqrt{g/l}$ dove $omega = +- \sqrt{g/l}$
quindi $\theta (t) = A \sin (omega (t)) + B \cos (omega (t))$ e come faccio a farla diventare:
$\theta (t) = \theta_{M} \sin (\omega (t) + \phi)$
Grazie mille
$m\ l \ddot \theta + m\ g\ \sin \theta = 0$ $\sim$
$m\ l \ddot \theta + m\g\ \theta = 0 $ utilizzando lo sviluppo di taylor fino al primo ordine...dividendo e semplificando:
$\ddot \theta + g/l \theta = 0$
$\lambda_{1,2} = +- i \sqrt{g/l}$ dove $omega = +- \sqrt{g/l}$
quindi $\theta (t) = A \sin (omega (t)) + B \cos (omega (t))$ e come faccio a farla diventare:
$\theta (t) = \theta_{M} \sin (\omega (t) + \phi)$
Grazie mille
up 
Con [tex]\theta_{0}[/tex] intendevo l'angolo all'istante iniziale
"alephy":
Con [tex]\theta_{0}[/tex] intendevo l'angolo all'istante iniziale
Grazie mille, ora che ritorno su questo post, se hai tempo un attimo, puoi spiegarmi come faccio a dire che da:
$\theta (t) = A \sin (omega (t)) + B \cos (omega (t))$ ho:
$\theta (t) = \theta_{M} \sin (\omega (t) + \phi)$
Grazie mille
Non ti do la soluzione, ma ti dico che devi utilizzare le formule di addizione del seno nella seconda formula per ricondurti alla prima!
"alephy":
Non ti do la soluzione, ma ti dico che devi utilizzare le formule di addizione del seno nella seconda formula per ricondurti alla prima!
Credo che ti riferisca ad una cosa del genere (Seconda risposta di cyd)
Però partendo invece dalla prima per arrivare alla seconda come si fa? Perchè che quel \theta_M che moltiplica tutto? di certo non è la soluzione particolare dell'equazione differenziale, no?
Grazie
Però da $\theta (t) = A \sin (omega (t)) + B \cos (omega (t))$ devo dimostrare quella che ho scritto sopra...
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