Pendolo semplice-Energia Meccanica

[anonymous_58f0ac]

Buonasera a tutti!
Ho un dubbio sul pendolo semplice e sull'energia meccanica.
Dato un filo di lunghezza $L$ ed un punto materiale di massa $m$, si può descrivere la posizione del punto materiale utilizzando l'angolo $vartheta$ che il filo inestensibile forma con la verticale.
Ponendo lo "zero" dell'energia potenziale nel punto in cui il punto materiale si troverebbe nella posizione di equilibrio stabile, io posso descrivere la mia energia potenziale come:

$U= mgL - mgLcos(vartheta)$

Tre domande:
a)come mai se l'energia meccanica $E$ risulta minore di $2mgL$ il punto materiale oscilla fra due valori estremi,
mentre se risulta maggiore di $2mgL$, il punto materiale ruota senza mai fermarsi???

b)Come mai proprio quel valore $2mgL$? da cosa viene fuori?

c) come posso descrivere la funzione potenziale $U$ in funzione di $x$ anziché in funzione di $vartheta$?
se descrivo la funzione potenziale in funzione di $x$ anziché di $vartheta$, come mai, in un intorno del punto di equilibrio stabile che chiamiamo $x_0$, posso approssimare la funzione
$U(x)$ con la funzione $U(x_0)+ 1/2 ((d^2U(x_0))/(dx^2))(x-x_0)^2$ ?

[Gabrio2]

Ciao e buone feste..



Allora si tratta del pendolo non linearizzato
Come vedi se l'energia e troppo grande, le orbite del ritratto di fase non sono chiuse.
L'energia è $E=1/2ml^2*((d(vartheta)) /dt) ^2+ mgl (1-cos(vartheta)) $
Ora isolando
$((d(vartheta)) /dt) ^2=(2E) /(ml^2)-(2g) /l*(1-1+2sin^2((vartheta) /2)) $

Quindi si ha $((d(vartheta)) /(dt)) =sqrt((2E) /(ml^2)*sqrt(1-k^2sin^2((vartheta) /2) $
Ora $k=sqrt((2mgl) /E)$

Puoi approssimare in quel modo appunto pervhe' e' in punto di equilibrio stabile.
Stai linearizzando il potenziale con Taylor in $x_0$

[anonymous_58f0ac]

"Gabrio":Ciao e buone feste..

L'energia è $E=1/2ml^2*((d(vartheta)) /dt) ^2+ mgl (1-cos(vartheta)) $
..

Ciao, purtroppo non capisco perché sono alle prime armi e non dispongo delle nozioni per capire.
Penso che qua hai utilizzato dei concetti di analisi e meccanica razionale che io non ho ancora studiato.
Perdona la mia ignoranza, ti ringrazio comunque per il tuo tempo.

[Gabrio2]

No caro, e' fisica generale. Energia cinetica + Energia Potenziale
$l*d(vartheta) =ds$
Tu pero' hai fatto domande su Sistemi Dinamici

[anonymous_58f0ac]

"Gabrio":
L'energia è $E=1/2ml^2*((d(vartheta)) /dt) ^2+ mgl (1-cos(vartheta)) $
Ora isolando
$((d(vartheta)) /dt) ^2=(2E) /(ml^2)-(2g) /l*(1-1+2sin^2((vartheta) /2)) $

Quindi si ha $((d(vartheta)) /(dt)) =sqrt((2E) /(ml^2)*sqrt(1-k^2sin^2((vartheta) /2) $
Ora $k=sqrt((2mgl) /E)$

Puoi approssimare in quel modo appunto pervhe' e' in punto di equilibrio stabile.
Stai linearizzando il potenziale con Taylor in $x_0$

Le equazioni che ho posto nel mio thread le ho trovate sul libro di Fisica 1, non so neanche cosa sia sistemi dinamici

Dal momento che quanto hai scritto riguarda la fisica generale e non altre materie:
potresti spiegarmi il termine $1/2ml^2*((d(vartheta)) /dt) ^2$?
chi è $k$ ?

Scusami ma non ho capito assolutamente niente, sono al primo semestre dell'università.

[Gabrio2]

Se leggessi....
$k=..... $ devo riscriverlo?
E $1/2 m* v^2$ si fa al liceo pure, io credo che a 6 anni l'avevo vista sul Prelman (Energia Cinetica)
$v^2=((ds) /(dt)) ^2$..... $ds=..... $ già scritto
Dai un arco in radianti saprai misurarlo?
Ti ho messo pure i grafici che vuoi di piu'?
Ma che facoltà fai?

[mathbells]

[xdom="mathbells"]@Gabrio
Ti avevo già avvisato. In questo forum aiutiamo gli utenti stimolandoli a ragionare e fornendo gli opportuni richiami di teoria, ma sempre rimanendo ad un passo dalle conoscenze mostrate dall'utente. Tu approfitti dei post per lanciarti in dissertazioni pompose, inutili, fuori luogo, fuorvianti, completamente decontestualizzate. E' ora di finirla.[/xdom]

[mathbells]

@anonymous_58f0ac

Ho un dubbio..

a me pare che i dubbi siano molteplici.

come mai se l'energia....

Addirittura "come mai"? E perché non dovrebbe essere così? Se affronti un esercizio del genere sicuramente ti avranno parlato della relazione tra energia meccanica, energia cinetica ed energia potenziale. Parti da tale relazione e prova ad impostare una disuguaglianza che limiti i valori possibili per la posizione del pendolo. Suppongo che qualche ragionamento simile dovresti averlo già visto studiando la teoria.

[Gabrio2]

Dove fuorviante lo sai solo tu
Leggi cosa ha chiesto l'op invece di straparlare
E questo sarebbe il tuo aiuto
Complimenti!

[anonymous_58f0ac]

"mathbells":@anonymous_58f0ac

Ho un dubbio..

a me pare che i dubbi siano molteplici.

come mai se l'energia....

Addirittura "come mai"? E perché non dovrebbe essere così? Se affronti un esercizio del genere sicuramente ti avranno parlato della relazione tra energia meccanica, energia cinetica ed energia potenziale. Parti da tale relazione e prova ad impostare una disuguaglianza che limiti i valori possibili per la posizione del pendolo. Suppongo che qualche ragionamento simile dovresti averlo già visto studiando la teoria.

Come ha mostrato Gabrio (che inizialmente non avevo compreso a causa di mie lacune), ho scritto
$((d(vartheta))/(dt))^2 = 2E/(ml^2) + mgl(1-cos(vartheta))$
Da qui in poi non saprei però quali disuguaglianze impostare.
Se avessi la posizione anzichè la velocità imposterei $vartheta$ compreso tra un angolo minimo ed uno massimo.
Con la velocità angolare non saprei però come venirne fuori.

[Gabrio2]

La disuguaglianza viene fuori dalla radice quadrata che ti ho mostrata.
La tua energia meccanica va benissimo al primo post, ma come vedi è solo una delle componenti dell'energia
E l'energia totale è fondamentale per spiegati le altre domande, come hai visto.
Buone feste
Il potenziale è una funzione di x

[anonymous_58f0ac]

"Gabrio":La disuguaglianza viene fuori dalla radice quadrata che ti ho mostrata.
La tua energia meccanica va benissimo al primo post, ma come vedi è solo una delle componenti dell'energia
E l'energia totale è fondamentale per spiegati le altre domande, come hai visto.
Buone feste
Il potenziale è una funzione di x

e come mai se l'energia meccanica $E$ risulta minore di $2mgL$ il punto materiale oscilla fra due valori estremi,
mentre se risulta maggiore di $2mgL$, il punto materiale ruota senza mai fermarsi???

[Gabrio2]

Guarda il grafico, se fissi E troppo grande, le orbite che ottieni non sono chiuse,.
E anche intuitivamente e' cosi'
Analiticamente viene fuori dalla radice quadrata dell' equazione che ti ho mostrato (che deriva dalla conservazione dell'energia)

[anonymous_58f0ac]

"Gabrio":...
$((d(vartheta)) /dt) ^2=(2E) /(ml^2)-(2g) /l*(1-1+2sin^2((vartheta) /2)) $

Quindi si ha $((d(vartheta)) /(dt)) =sqrt((2E) /(ml^2)*sqrt(1-k^2sin^2((vartheta) /2) $
Ora $k=sqrt((2mgl) /E)$

Puoi approssimare in quel modo appunto pervhe' e' in punto di equilibrio stabile.
Stai linearizzando il potenziale con Taylor in $x_0$

Intendi questa equazione qui:

$ddot(vartheta) = sqrt((2E) /(ml^2)-(2g) /l*(1-1+2sin^2((vartheta) /2)))$

?

Da cosa vedi che delle orbite sono "chiuse" oppure non lo sono? Cosa contraddistingue ciò?

[Gabrio2]

No quella, quella di k=
E ti ho detto guarda il grafico, e fissa un energia, guarda il grafico sotto a quali orbite (curve di fase) corrisponde
L' energia delle curve di fase chiuse (periodiche) e' compresa tra $-mgR Che e' il minimo di energia potenziale e il massimo (spero che tu sappia cosa sia)
$U(vartheta) =-mgR cos(vartheta) $

[anonymous_58f0ac]

"Gabrio":No quella, quella di k=
E ti ho detto guarda il grafico, e fissa un energia, guarda il grafico sotto a quali orbite (curve di fase) corrisponde
L' energia delle curve di fase chiuse (periodiche) e' compresa tra $-mgR Che e' il minimo di energia potenziale e il massimo (spero che tu sappia cosa sia)
$U(vartheta) =-mgR cos(vartheta) $

se io ho $-mgR al massimo avrei scritto $|E| senza quel $2$

[Gabrio2]

Scusa, la distanza tra -1 e 1 quanto è?
Lo vedi che $vartheta$ va da $, -pi$ e + $pi$?
Ma poi quel 2 e' riferito a 2R

[professorkappa]

@Tauto,
Da dove lo hai preso E>2mgL?

Se il pendolo e' costituito da un filo e tu ti riferisci al Punto Morto Inferiore per contare l'Energia Potenziale, quella relazione e' sbagliata.
Va bene se il pendolo e' rigido.

In quel caso, al Punto Morto Superiore l'energia meccanica e'

$E=1/2mv_s^2+2mgL$

quindi

$v_s^2=2E/m-4gL>0$

Ma il corpo per girare indefinitamente deve avere $v_s^2>0$ quindi

$2E/m-4gL>0$

Che implica

$E>2mgL$


Per cominciare.

[anonymous_58f0ac]

"professorkappa":...
$v_s^2=2E/m-4gL>0$

Ma il corpo per girare indefinitamente deve avere $v_s^2>0$ quindi

$2E/m-4gL>0$

Che implica

$E>2mgL$


Per cominciare.

Ecco perché!!! Grazie professorkappa

[Gabrio2]

In realtà' non volendo cercare di capire quei grafici non hai capito che se gira e' perche' ha un minimo di energia cinetica, e questa si conserva.
E' questo il senso di quell'equazione
Probabilmente non hai notato che i punti $-mgL$ e $+mgL$ sono i punti di massimo e minimo dell'energia potenziale, che corrispondono a uno zero di energia cinetica.
Per questo oscilla