Pendolo semplice con costante elastica
ciao a tutti, non riesco ad impostare questo esercizio, in quanto non capisco come variano l energie in gioco.
in poche parole l esercizio è questo: Abbiamo un pendolo tenuto a $a= 90°$ (orizzontale). Esso è costituito da una massa legata ad un estremo di un filo estendibile (costante elastica= $c$), l altro estremo fissato al muro.
Se la massa m vine abbandonata da questa posizione con velocità iniziale nulla, determina:
A) L allungamento $d$;
B) velocità in corrispondenza del massimo allungamento.
Se si trattava di un pendolo semplice con corda anaelastica potevo utilizzare la conservazione dell energia impostando la prima equazione in questo modo: $U=K$ ovvero tutta l energia potenziale ($U$) si trasforma in energia cinetica ($K$) a 0° ((dalla verticale).
In questo caso non posso farlo perche parte dell energia potenziale si trasforma in elastica ($Z$). Quindi Sarà $U=K+Z$
Ma in questa equazione ho 2 incognite: l allungamento e la velocita!
Secondo voi è corretto risolvero utilizzando la conservazione dell energia? o ci sono altri metodi?
I dati disponibili sono:
- massa;
- lunghezza filo;
- costante elastica.
in poche parole l esercizio è questo: Abbiamo un pendolo tenuto a $a= 90°$ (orizzontale). Esso è costituito da una massa legata ad un estremo di un filo estendibile (costante elastica= $c$), l altro estremo fissato al muro.
Se la massa m vine abbandonata da questa posizione con velocità iniziale nulla, determina:
A) L allungamento $d$;
B) velocità in corrispondenza del massimo allungamento.
Se si trattava di un pendolo semplice con corda anaelastica potevo utilizzare la conservazione dell energia impostando la prima equazione in questo modo: $U=K$ ovvero tutta l energia potenziale ($U$) si trasforma in energia cinetica ($K$) a 0° ((dalla verticale).
In questo caso non posso farlo perche parte dell energia potenziale si trasforma in elastica ($Z$). Quindi Sarà $U=K+Z$
Ma in questa equazione ho 2 incognite: l allungamento e la velocita!
Secondo voi è corretto risolvero utilizzando la conservazione dell energia? o ci sono altri metodi?
I dati disponibili sono:
- massa;
- lunghezza filo;
- costante elastica.
Risposte
Secondo me devi tener presente che l'elastico deve esercitare una forza ,sulla massa, uguale e opposta alla componente della forza di gravità lungo l'elastico. Quindi da ciò dovresti dedurre l'allungamento del filo,quindi l'energia elastica,e con la conservazione dell'energia quella cinetica.
"Carla1992":
Secondo me devi tener presente che l'elastico deve esercitare una forza ,sulla massa, uguale e opposta alla componente della forza di gravità lungo l'elastico.
Non va considerata la forza di gravità piu quella centrifuga?
Centripeta forse volevi dire. Comunque sì, ho scritto male prima scusami. La somma delle forze che agiscono sulla massa in direzione dell'elastico deve essere uguale alla forza centripeta.
PS : provo a svolgerlo e ti dico come e se mi trovo
PS : provo a svolgerlo e ti dico come e se mi trovo
si scusami intendevo centripeta. Anch essa dipende della velocità essendo $F_c= (mv^2)/l$
La velocità del pendolo però, non riesco a calcolarla perchè non è un pendolo semplice, devo tenere conto dell allungamento (che varia rispetto all angolo d inclinazione ).
Hai idee su come procedere?
grazie mille per l interessamento
La velocità del pendolo però, non riesco a calcolarla perchè non è un pendolo semplice, devo tenere conto dell allungamento (che varia rispetto all angolo d inclinazione ).
Hai idee su come procedere?
grazie mille per l interessamento
Figurati,prego 
Sì io sto tentando, tra un po' ti scrivo per bene come ho impostato e vedi se ti sembra giusto
Sì io sto tentando, tra un po' ti scrivo per bene come ho impostato e vedi se ti sembra giusto
ok grazie ancora.. attendo
$ T -=$ Modulo della tensione lungo l'elastico.
$d -=$ Allungamento dell'elastico.
$\theta$ $-=$ Angolo tra il pendolo e la verticale.
$l$$-=$ Lunghezza a riposo dell'elastico.
$k -=$ Costante elastica.
L'allungamento sarà massimo in corrispondenza della massima tensione lungo l'elastico. La tensione è :
$T= mg$ $cos$ $\theta$ $+ mv^2/(l+d)$.
$T$ sarà massima in corrispondenza di $\theta$ $=0 $ perché l'energia potenziale è minima (quindi sarà massima la somma dell'energia cinetica ed elastica ) ed é massima la componente lungo il filo della forza di gravità. Quindi
$T_max$ $= mg +mv^2/(l+d)$.
Ma è anche $T=k*d $ , quindi si può scrivere $k*d = mg + mv^2/(l+d)$.
Per la conservazione dell'energia meccanica abbiamo un'altra equazione :
$mg(l+d) = kd^2/2 + mv^2/2$
(Se l'elastico non si fosse allungato, la massa si sarebbe abbassata di un' altezza pari a $l$ quindi la variazione di energia potenziale sarebbe stata $mgl$, ma dato che l'elastico si è allungato di $d$ la variazione è $mg(l+d)$ )
Ora hai due equazioni in due variabili, $d$ e $v$, che puoi risolvere facendo attenzione a scegliere le soluzioni giuste (essendo equazioni di secondo grado ti troverai più di una soluzione probabilmente, di cui una sarà da scartare).
Non sono certa che sia giusto,per ora questo mi viene in mente.
$d -=$ Allungamento dell'elastico.
$\theta$ $-=$ Angolo tra il pendolo e la verticale.
$l$$-=$ Lunghezza a riposo dell'elastico.
$k -=$ Costante elastica.
L'allungamento sarà massimo in corrispondenza della massima tensione lungo l'elastico. La tensione è :
$T= mg$ $cos$ $\theta$ $+ mv^2/(l+d)$.
$T$ sarà massima in corrispondenza di $\theta$ $=0 $ perché l'energia potenziale è minima (quindi sarà massima la somma dell'energia cinetica ed elastica ) ed é massima la componente lungo il filo della forza di gravità. Quindi
$T_max$ $= mg +mv^2/(l+d)$.
Ma è anche $T=k*d $ , quindi si può scrivere $k*d = mg + mv^2/(l+d)$.
Per la conservazione dell'energia meccanica abbiamo un'altra equazione :
$mg(l+d) = kd^2/2 + mv^2/2$
(Se l'elastico non si fosse allungato, la massa si sarebbe abbassata di un' altezza pari a $l$ quindi la variazione di energia potenziale sarebbe stata $mgl$, ma dato che l'elastico si è allungato di $d$ la variazione è $mg(l+d)$ )
Ora hai due equazioni in due variabili, $d$ e $v$, che puoi risolvere facendo attenzione a scegliere le soluzioni giuste (essendo equazioni di secondo grado ti troverai più di una soluzione probabilmente, di cui una sarà da scartare).
Non sono certa che sia giusto,per ora questo mi viene in mente.
Direi che non e' proprio corretto.
Il punto di massima estensione e quindi di massima tensione, non e' necessariamente raggiunto sulla verticale al perno ($\theta=0$), cosa che succede con filo inestensibile.
E' un bel problemino questo...
Il punto di massima estensione e quindi di massima tensione, non e' necessariamente raggiunto sulla verticale al perno ($\theta=0$), cosa che succede con filo inestensibile.
E' un bel problemino questo...
Infatti non mi convinceva,l'ho un po' buttata lì... Ci penseremo ancora
Con queste nuove informazioni potremo impostare le due equazioni in questo modo..
$k d= mg$ $cos$ $\theta$ $+ mv^2/(l+d)$
Per la conservazione dell'energia meccanica, come dice carla, abbiamo questa equazione :
$mg(l+d) = kd^2/2 + mv^2/2+m g h(t)$
Ho provato a sviluppare il sitema ma ho problemi nella risoluzione dell equazione di secondo grado rispetto a d (allugamento), piu precisamente il delta diventa troppo complicato..
la soluzione è: $d=3mg/k$ e $v=(2gl-3mg^2/k)^(1/2)$
$k d= mg$ $cos$ $\theta$ $+ mv^2/(l+d)$
Per la conservazione dell'energia meccanica, come dice carla, abbiamo questa equazione :
$mg(l+d) = kd^2/2 + mv^2/2+m g h(t)$
Ho provato a sviluppare il sitema ma ho problemi nella risoluzione dell equazione di secondo grado rispetto a d (allugamento), piu precisamente il delta diventa troppo complicato..
la soluzione è: $d=3mg/k$ e $v=(2gl-3mg^2/k)^(1/2)$
$mg cos \theta (l+d) = kd^2/2 + mv^2/2 $
Relazione vera per ogni $\theta$ , per la conservazione dell'energia.
Poi sappiamo che :
$kd = mgcos \theta + mv^2/(l+d)$ $\Rightarrow$ $ (l+d)kd = mgcos\theta (l+d) + mv^2$ $\Rightarrow$
$\Rightarrow$ $mgcos\theta(l+d) = (l+d)kd - mv^2$
Da cui :
$(l+d)kd - mv^2 = kd^2/2 + mv^2/2$ $\Rightarrow$ $ 2kd^2 + 2kld -2mv^2 = kd^2 + mv^2 $ $\Rightarrow$ $kd^2 +2kld - 3mv^2 = 0 $
$d = (-kl + sqrt{ k^2l^2 + 3kmv^2})/k $ Oppure $d = (-kl - sqrt{ k^2l^2 + 3kmv^2})/k $
La seconda credo sia negativa per ogni $v$ quindi da scartare. Dalla prima potremmo ricavare un punto di massimo per $d$ in funzione di $v$ magari ?
Relazione vera per ogni $\theta$ , per la conservazione dell'energia.
Poi sappiamo che :
$kd = mgcos \theta + mv^2/(l+d)$ $\Rightarrow$ $ (l+d)kd = mgcos\theta (l+d) + mv^2$ $\Rightarrow$
$\Rightarrow$ $mgcos\theta(l+d) = (l+d)kd - mv^2$
Da cui :
$(l+d)kd - mv^2 = kd^2/2 + mv^2/2$ $\Rightarrow$ $ 2kd^2 + 2kld -2mv^2 = kd^2 + mv^2 $ $\Rightarrow$ $kd^2 +2kld - 3mv^2 = 0 $
$d = (-kl + sqrt{ k^2l^2 + 3kmv^2})/k $ Oppure $d = (-kl - sqrt{ k^2l^2 + 3kmv^2})/k $
La seconda credo sia negativa per ogni $v$ quindi da scartare. Dalla prima potremmo ricavare un punto di massimo per $d$ in funzione di $v$ magari ?
la soluzione che mi da il libro è $d=3mg/k$ e $v=(2gl-3mg^2/k)^(1/2)$
"eos.s":
la soluzione che mi da il libro è $ d=3mg/k $ e $ v=(2gl-3mg^2/k)^(1/2) $
Ah ok
allora più tardi o domani ci ripenso e se riesco a trovarmi posto.
Guardando qua ho visto l'esercizio in questione (è il n°3), con un disegno che induce chiaramente a pensare che l'allungamento massimo si abbia quando il pendolo è in posizione verticale (e con il riferimento al libro da cui è tratto l'esercizio). E in effetti sposando questa ipotesi si trova per l'allungamento in questione il risultato $d=(3mg)/k$.
La cosa mi lascia comunque profondamente dubbioso.
La cosa mi lascia comunque profondamente dubbioso.
Già,nonostante io inizialmente avessi ipotizzato che l'allungamento massimo si ha in posizione verticale, riflettendo meglio questa idea non convince nemmeno me . Ci voglio ripensare comunque
Sì, il problema è difficile, ma intrigante... e c'è anche la possibilità che, sulla verticale, il filo sia più corto (se $k$ è grande abbastanza).
Comunque, l'allungamento/accorciamento massimo, secondo me, si ha sicuramente sulla verticale, perché l'energia è simmetrica rispetto alla verticale. Inoltre, poiché l'allung./accorc. massimo corrisponde a $\dot \rho = 0$ e $\ddot \alpha = 0$, ciò soddisfa una delle equazioni del moto (che non sono per nulla integrabili analiticamente).
Ho anche trovato (ma potrei benissimo avere fatto errori di calcolo) un allungamento ed un accorciamento sulla verticale di valore molto più complicato del risultato postato sopra.
Se interessa, posto i conti
Comunque, l'allungamento/accorciamento massimo, secondo me, si ha sicuramente sulla verticale, perché l'energia è simmetrica rispetto alla verticale. Inoltre, poiché l'allung./accorc. massimo corrisponde a $\dot \rho = 0$ e $\ddot \alpha = 0$, ciò soddisfa una delle equazioni del moto (che non sono per nulla integrabili analiticamente).
Ho anche trovato (ma potrei benissimo avere fatto errori di calcolo) un allungamento ed un accorciamento sulla verticale di valore molto più complicato del risultato postato sopra.
Se interessa, posto i conti
si mi farebbe molto piacere
comunque si, la tensione massima aumenta fino a raggiunge il max nella verticale $a=0°$, ma aumentando la tensione si allunga il raggio di rotazione e di conseguenza diminuisce la velocità... ma la costante elastica è abbastanza grande, quindi non credo sia il nostro caso..
comunque si, la tensione massima aumenta fino a raggiunge il max nella verticale $a=0°$, ma aumentando la tensione si allunga il raggio di rotazione e di conseguenza diminuisce la velocità... ma la costante elastica è abbastanza grande, quindi non credo sia il nostro caso..
Si, le 2 equazione del moto non sono indipendenti (mi sembra che Carla abbia dimenticato di considerare Coriolis).
Ho i risultati anche io, ma da cellulare viene male postarli con l'editor.
Devo vedere se imponendo la conservazione dell energia meccanica si arriva da qualche parte, perche l'integrazione per trovare l(t) e theta(t) mi sembra impossibile per via analitica.
Non riesco a vedere l'allungamento massimo sulla verticale se non per particolari valori della costante. Riesco a concepire un allungamento massimo a due angoli simmetrici rispetto alla verticale e un accorciamento massimo sulla verticale, ma e' solo sensazione senza supporto di calcolo per adesso.
Ho i risultati anche io, ma da cellulare viene male postarli con l'editor.
Devo vedere se imponendo la conservazione dell energia meccanica si arriva da qualche parte, perche l'integrazione per trovare l(t) e theta(t) mi sembra impossibile per via analitica.
Non riesco a vedere l'allungamento massimo sulla verticale se non per particolari valori della costante. Riesco a concepire un allungamento massimo a due angoli simmetrici rispetto alla verticale e un accorciamento massimo sulla verticale, ma e' solo sensazione senza supporto di calcolo per adesso.
Rettifico.
Siccome nella posizione iniziale il filo non esplica forza elastica, si hanno solo allungamenti.
Siccome nella posizione iniziale il filo non esplica forza elastica, si hanno solo allungamenti.
E' un problema a due gradi di libertà con lagrangiana:
[tex]L=\frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\alpha}^2)-mg(h-\rho sin{\alpha})-\frac{1}{2}k(\rho - d)^2[/tex] (1),
dove $\rho$ è la lunghezza del filo, $d$ è la lunghezza iniziale del filo (quando non presenta forza elastica), $h$ è l'altezza dal pavimento del punto di applicazione del pendolo ed $\alpha$ è l'angolo del filo rispetto al soffitto misurato in senso orario.
Le equazioni del moto sono:
[tex]\left\{\begin{matrix} m \ddot{\rho}=m \rho \dot{\alpha}^2+mgsin{\alpha}-k(\rho-d)\\ 2 \dot{\rho}\dot{\alpha} + \rho \ddot{\alpha}=g \cos{\alpha} \end{matrix}\right.[/tex] (2).
L'energia è:
[tex]E=\frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\alpha}^2)+mg(h-\rho sin{\alpha})+\frac{1}{2}k(\rho - d)^2=mgh[/tex] (3)
da cui si ricava:
[tex]\frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\alpha}^2)-mg\rho sin{\alpha}+\frac{1}{2}k(\rho - d)^2=0[/tex] (4).
Il massimo allungamento si ha quando $\dot{\rho}=0$, $\alpha=\frac{\pi}{2}$ e $\ddot{\alpha}=0$.
Ciò soddisfa la seconda equazione del moto ed anche la simmetria dell'energia. Infatti, per questo secondo caso, se si fa la trasformazione [tex]\left\{\begin{matrix} \alpha\rightarrow \pi -\alpha\\ \dot{\alpha}\rightarrow -\dot{\alpha}\\ \rho\rightarrow \rho\\ \dot{\rho}\rightarrow -\dot{\rho} \end{matrix}\right.[/tex] l'energia non cambia.
Applicando l'equilibrio delle forze sulla verticale (per $\alpha=\frac{\pi}{2}$), si ottiene:
$\dot{\alpha}^2=\frac{k}{m}-\frac{kd}{m \rho}-\frac{g}{\rho}$ (5).
Sostituendo questa nella (4) e risolvendo rispetto a $\rho$ si ottiene:
[tex]\rho=\frac{3(kd+mg)\pm \sqrt{k^2d^2+18kdmg+9m^2g^2}}{4k}=\left\{\begin{matrix} \rho_{+}\\ \rho_{-} \end{matrix}\right.[/tex] (6).
Entrambe le soluzioni sono positive, $\rho_{-}d$, per cui rappresenta un allungamento del filo dalla situazione iniziale $d$ in cui la forza elastica è nulla.
La soluzione cercata è quindi $\rho = \rho_{+}$ che, facendo il limite $k \rightarrow \infty $ (filo non allungabile), fornisce $\rho = d$, come è giusto che sia.
Sarebbe ora interessante sviluppare $\rho$ in serie di Taylor con punto iniziale $\varepsilon=0$, essendo $k=\frac{1}{\varepsilon}$, ovvero cercare la soluzione se il filo è poco allungabile, magari viene fuori la soluzione proposta dal testo... Più tardi ci provo.
S.e.e.o.
[tex]L=\frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\alpha}^2)-mg(h-\rho sin{\alpha})-\frac{1}{2}k(\rho - d)^2[/tex] (1),
dove $\rho$ è la lunghezza del filo, $d$ è la lunghezza iniziale del filo (quando non presenta forza elastica), $h$ è l'altezza dal pavimento del punto di applicazione del pendolo ed $\alpha$ è l'angolo del filo rispetto al soffitto misurato in senso orario.
Le equazioni del moto sono:
[tex]\left\{\begin{matrix} m \ddot{\rho}=m \rho \dot{\alpha}^2+mgsin{\alpha}-k(\rho-d)\\ 2 \dot{\rho}\dot{\alpha} + \rho \ddot{\alpha}=g \cos{\alpha} \end{matrix}\right.[/tex] (2).
L'energia è:
[tex]E=\frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\alpha}^2)+mg(h-\rho sin{\alpha})+\frac{1}{2}k(\rho - d)^2=mgh[/tex] (3)
da cui si ricava:
[tex]\frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\alpha}^2)-mg\rho sin{\alpha}+\frac{1}{2}k(\rho - d)^2=0[/tex] (4).
Il massimo allungamento si ha quando $\dot{\rho}=0$, $\alpha=\frac{\pi}{2}$ e $\ddot{\alpha}=0$.
Ciò soddisfa la seconda equazione del moto ed anche la simmetria dell'energia. Infatti, per questo secondo caso, se si fa la trasformazione [tex]\left\{\begin{matrix} \alpha\rightarrow \pi -\alpha\\ \dot{\alpha}\rightarrow -\dot{\alpha}\\ \rho\rightarrow \rho\\ \dot{\rho}\rightarrow -\dot{\rho} \end{matrix}\right.[/tex] l'energia non cambia.
Applicando l'equilibrio delle forze sulla verticale (per $\alpha=\frac{\pi}{2}$), si ottiene:
$\dot{\alpha}^2=\frac{k}{m}-\frac{kd}{m \rho}-\frac{g}{\rho}$ (5).
Sostituendo questa nella (4) e risolvendo rispetto a $\rho$ si ottiene:
[tex]\rho=\frac{3(kd+mg)\pm \sqrt{k^2d^2+18kdmg+9m^2g^2}}{4k}=\left\{\begin{matrix} \rho_{+}\\ \rho_{-} \end{matrix}\right.[/tex] (6).
Entrambe le soluzioni sono positive, $\rho_{-}
La soluzione cercata è quindi $\rho = \rho_{+}$ che, facendo il limite $k \rightarrow \infty $ (filo non allungabile), fornisce $\rho = d$, come è giusto che sia.
Sarebbe ora interessante sviluppare $\rho$ in serie di Taylor con punto iniziale $\varepsilon=0$, essendo $k=\frac{1}{\varepsilon}$, ovvero cercare la soluzione se il filo è poco allungabile, magari viene fuori la soluzione proposta dal testo... Più tardi ci provo.
S.e.e.o.
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