Pendolo semplice con costante elastica
ciao a tutti, non riesco ad impostare questo esercizio, in quanto non capisco come variano l energie in gioco.
in poche parole l esercizio è questo: Abbiamo un pendolo tenuto a $a= 90°$ (orizzontale). Esso è costituito da una massa legata ad un estremo di un filo estendibile (costante elastica= $c$), l altro estremo fissato al muro.
Se la massa m vine abbandonata da questa posizione con velocità iniziale nulla, determina:
A) L allungamento $d$;
B) velocità in corrispondenza del massimo allungamento.
Se si trattava di un pendolo semplice con corda anaelastica potevo utilizzare la conservazione dell energia impostando la prima equazione in questo modo: $U=K$ ovvero tutta l energia potenziale ($U$) si trasforma in energia cinetica ($K$) a 0° ((dalla verticale).
In questo caso non posso farlo perche parte dell energia potenziale si trasforma in elastica ($Z$). Quindi Sarà $U=K+Z$
Ma in questa equazione ho 2 incognite: l allungamento e la velocita!
Secondo voi è corretto risolvero utilizzando la conservazione dell energia? o ci sono altri metodi?
I dati disponibili sono:
- massa;
- lunghezza filo;
- costante elastica.
in poche parole l esercizio è questo: Abbiamo un pendolo tenuto a $a= 90°$ (orizzontale). Esso è costituito da una massa legata ad un estremo di un filo estendibile (costante elastica= $c$), l altro estremo fissato al muro.
Se la massa m vine abbandonata da questa posizione con velocità iniziale nulla, determina:
A) L allungamento $d$;
B) velocità in corrispondenza del massimo allungamento.
Se si trattava di un pendolo semplice con corda anaelastica potevo utilizzare la conservazione dell energia impostando la prima equazione in questo modo: $U=K$ ovvero tutta l energia potenziale ($U$) si trasforma in energia cinetica ($K$) a 0° ((dalla verticale).
In questo caso non posso farlo perche parte dell energia potenziale si trasforma in elastica ($Z$). Quindi Sarà $U=K+Z$
Ma in questa equazione ho 2 incognite: l allungamento e la velocita!
Secondo voi è corretto risolvero utilizzando la conservazione dell energia? o ci sono altri metodi?
I dati disponibili sono:
- massa;
- lunghezza filo;
- costante elastica.
Risposte
Tra l'altro mi è venuta una domanda,scusatemi se forse è sciocca... Ma è lecito assumere che la velocità della massa sia sempre perpendicolare all'elastico? Nei momenti di massimo allungamento credo di sì,ma in generale ?
"Carla1992":
Tra l'altro mi è venuta una domanda,scusatemi se forse è sciocca... Ma è lecito assumere che la velocità della massa sia sempre perpendicolare all'elastico? Nei momenti di massimo allungamento credo di sì,ma in generale ?
No, in generale no. Hai una componenete ortogonale e una parallela al filo
E' per quello che nelle tue equazioni hai fatto un errore. Hai imposto che parallelamente al filo non ci sia accelerazione, ma in realta' c'e'.
Tanto e vero che se guardi i calcoli di ZPE, trovi un addendo 2rho*alfa, dovuta a coriolis.
Tanto e vero che se guardi i calcoli di ZPE, trovi un addendo 2rho*alfa, dovuta a coriolis.
Ok grazie professorkappa,volevo una conferma 
ieri ripensandoci me ne sono resa conto,cioè mi era venuto il dubbio
ieri ripensandoci me ne sono resa conto,cioè mi era venuto il dubbio
Infatti, sviluppando si ottiene:
$\rho = d+ \frac{3gm}{k}+...$
$\rho = d+ \frac{3gm}{k}+...$
Se non volessimo ricorrere alla Lagrangiana quindi, riferendomi alle equazioni di Zpe :
\( \left\{\begin{matrix} m \ddot{\rho}=m \rho \dot{\alpha}^2+mgsin{\alpha}-k(\rho-d)\\ 2 \dot{\rho}\dot{\alpha} + \rho \ddot{\alpha}=g \cos{\alpha} \end{matrix}\right. \)
Si potebbero ottenere entrambe ponendosi in un sistema di riferimento ruotante insieme al pendolo. La prima si ottiene considerando il moto lungo il filo (infatti al secondo membro c'è un termine centrifugo, gli altri due sono le forze reali agenti sulla massa in direzione del filo).
Per la seconda, consideriamo il moto perpendicolarmente al filo ; il primo termine è dovuto a coriolis, il secondo all'accelerazione angolare del sistema. Questi due termini dovuti alle forze apparenti eguagliano la forza reale dato che la massa si muove solo lungo il filo in questo sistema di riferimento non inerziale. E' giusto?
\( \left\{\begin{matrix} m \ddot{\rho}=m \rho \dot{\alpha}^2+mgsin{\alpha}-k(\rho-d)\\ 2 \dot{\rho}\dot{\alpha} + \rho \ddot{\alpha}=g \cos{\alpha} \end{matrix}\right. \)
Si potebbero ottenere entrambe ponendosi in un sistema di riferimento ruotante insieme al pendolo. La prima si ottiene considerando il moto lungo il filo (infatti al secondo membro c'è un termine centrifugo, gli altri due sono le forze reali agenti sulla massa in direzione del filo).
Per la seconda, consideriamo il moto perpendicolarmente al filo ; il primo termine è dovuto a coriolis, il secondo all'accelerazione angolare del sistema. Questi due termini dovuti alle forze apparenti eguagliano la forza reale dato che la massa si muove solo lungo il filo in questo sistema di riferimento non inerziale. E' giusto?
Tutta la fisica da Newton alle stringhe sta dentro a delle lagrangiane. Prima o poi bisogna farci l'abitudine
"anonymous_56b3e2":
Tutta la fisica da Newton alle stringhe sta dentro a delle lagrangiane. Prima o poi bisogna farci l'abitudine
E' vero, ed e' un metodo cosi potente che non puo' essere ignorato.
Comunque Carla, si, e' come hai scritto tu.
"anonymous_56b3e2":
Tutta la fisica da Newton alle stringhe sta dentro a delle lagrangiane. Prima o poi bisogna farci l'abitudine
Sto studiando il formalismo lagrangiano proprio ultimamente
spero di abituarmici presto
Nel presente esercizio, comunque, servirebbe solo l'energia che è $E=T+U$. Le equazioni del moto, che fra l'altro non sono risolubili analiticamente, qui non servirebbero...
"anonymous_56b3e2":
Nel presente esercizio, comunque, servirebbe solo l'energia che è $ E=T+U $. Le equazioni del moto, che fra l'altro non sono risolubili analiticamente, qui non servirebbero...
Non sono molto d'accordo.
A me sinceramente leggendo per la prima volta questo quesito mi è subito parso che chi lo ha scritto non avesse idea della complessità del problema, a meno di non fare delle assunzioni discutibili (eufemismo per dire sbagliate).
Non capivo come si potesse dire che l'elongazione massima si ha sulla verticale, e i ragionamenti fatti in proposito non mi hanno convinto.
Il moto risultante mi sembrava un moto molto complesso al limite del caotico, a secondo dei valori di $k$ ed $m$, e non mi pareva possibile dire dove l'elongazione massima si fosse presentata. Mi sembrava peraltro che persino assumendo che si avesse un massimo locale di elongazione quando il pendolo fosse sulla verticale (cosa non certa sarebbe stato necessario risolvere le equazioni) non sarebbe certo che quello fosse il valore massimo in assoluto perché nel bilancio andrebbe tenuto conto del valore assunto dall'energia cinetica in quel punto.
Poiché non mi fido mai del tutto delle mie deduzioni qualitative oggi finalmente ho trovato il tempo di fare una verifica.
Ho presso le equazioni del moto scritte da zpe, che mi sembrano assolutamente corrette, e lo ho integrate numericamente. Ho preso poi come riferimento il valore di elongazione massimo calcolato da zpe, (non ho controllato i passaggi per la mia pigrizia, ma mi fido, il ragionamento fatto per arrivare a tale formula mi pare corretto con le ipotesi che ha fatto).
Di seguito metto i grafici dell'andamento di elongazione contro tempo, angolo contro tempo e angolo contro elongazione per $m=1$ $k=10$ e $d=1$ con le condizioni iniziali del problema.
Come si vede ne risulta un moto molto complicato (ho arrestato l'integrazione dopo i primi 30 secondi).
In questo intervallo il valore massimo di elongazione risulta circa di 3.57 m, ad un angolo $alpha$ di circa 96°, il valore dell'elongazione massimo calcolato sulla verticale con la formula di zpe (con quelle ipotesi) risulterebbe invece pari circa a 2.79 m.
EDIT: Ho usato la stessa notazione di zpe quindi angolo di 90° corrisponde alla verticale.
EDIT2: Ho visto adesso che nel testo originale linkato da Palliit si aveva un rapporto $k/m$ molto alto. In quel caso allora in effetti ha senso assumere che la elongazione massima si ha sulla verticale (ecco perché gli esercizi vanno riportati bene!), ma solo in quel caso!
Faussone hai ragione!!! Avrei puntato 1000 dollari sulla simmetria dell'energia
Il sistema, invece, non è simmetrico. Per $k$ piccoli rispetto ad $m$ la traiettoria è alquanto fantasiosa. Per $k$ crescente la traiettoria tende a quella del pendolo con filo non elastico.
Qui ci sono alcune simulazioni.
m=1, d=1, k=1 --> https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6SkxwU01UazFnMms/view?usp=sharing
m=1, d=1, k=10 --> https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6QVg1QUN0dERJV3M/view?usp=sharing
m=1, d=1, k=100 --> https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6ck1kZ0ZnaWk3OGs/view?usp=sharing
m=1, d=1, k=1000 --> https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6RlNrck9PcW5fSjQ/view?usp=sharing
m=1, d=1, k=10000 --> https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6bW9sNk1laDRPQVk/view?usp=sharing.
Una ulteriore conferma che le cose sono sempre più complicate di come uno se le immagina.
Comunque, per $k/m$ grandi, si può approssimare che l'allungamento massimo avvenga sulla verticale ed il risultato ottenuto sviluppando con Taylor diventa corretto.
Il sistema, invece, non è simmetrico. Per $k$ piccoli rispetto ad $m$ la traiettoria è alquanto fantasiosa. Per $k$ crescente la traiettoria tende a quella del pendolo con filo non elastico.
Qui ci sono alcune simulazioni.
m=1, d=1, k=1 --> https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6SkxwU01UazFnMms/view?usp=sharing
m=1, d=1, k=10 --> https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6QVg1QUN0dERJV3M/view?usp=sharing
m=1, d=1, k=100 --> https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6ck1kZ0ZnaWk3OGs/view?usp=sharing
m=1, d=1, k=1000 --> https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6RlNrck9PcW5fSjQ/view?usp=sharing
m=1, d=1, k=10000 --> https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6bW9sNk1laDRPQVk/view?usp=sharing.
Una ulteriore conferma che le cose sono sempre più complicate di come uno se le immagina.
Comunque, per $k/m$ grandi, si può approssimare che l'allungamento massimo avvenga sulla verticale ed il risultato ottenuto sviluppando con Taylor diventa corretto.
Vorrei spiegare meglio il mio errore. Magari può servire a qualcuno per non rifarlo.
In questo problema l'energia si conserva. Abbiamo allora l'equazione:
$E(\alpha, \rho, \dot{\alpha}, \dot{\rho})=0$.
Nello spazio quadridimensionale $R^4$ di coordinate $(\alpha, \rho, \dot{\alpha}, \dot{\rho})$, l'equazione $E=0$ (che esprime la conservazione dell'energia) rappresenta (implicitamente) una ipersuperficie a $4-1=3$ dimensioni. La chiamo $S$.
Orbene, ogni traiettoria del sistema è una curva in $R^4$ che giace su $S$.
Supponiamo che $S$ presenti una qualche simmetria (cioè la sua equazione), come nel presente caso.
Ebbene, non vi è nulla che ci autorizzi a pensare che una traiettoria del sistema debba passare in generale necessariamente per i punti coinvolti dalla simmetria. Magari lo potrà fare in qualche caso particolare, ma non in generale.
Questa è la spiegazione del mio errore. Sono caduto nel tranello della simmetria. A mia parziale discolpa, posso affermare che quando un fisico trova una simmetria è come se avesse trovato il sacro graal (tutta la fisica è ricerca di simmetrie a cui le lagrangiane sottostanno) e ho perso la ragione
In questo problema l'energia si conserva. Abbiamo allora l'equazione:
$E(\alpha, \rho, \dot{\alpha}, \dot{\rho})=0$.
Nello spazio quadridimensionale $R^4$ di coordinate $(\alpha, \rho, \dot{\alpha}, \dot{\rho})$, l'equazione $E=0$ (che esprime la conservazione dell'energia) rappresenta (implicitamente) una ipersuperficie a $4-1=3$ dimensioni. La chiamo $S$.
Orbene, ogni traiettoria del sistema è una curva in $R^4$ che giace su $S$.
Supponiamo che $S$ presenti una qualche simmetria (cioè la sua equazione), come nel presente caso.
Ebbene, non vi è nulla che ci autorizzi a pensare che una traiettoria del sistema debba passare in generale necessariamente per i punti coinvolti dalla simmetria. Magari lo potrà fare in qualche caso particolare, ma non in generale.
Questa è la spiegazione del mio errore. Sono caduto nel tranello della simmetria. A mia parziale discolpa, posso affermare che quando un fisico trova una simmetria è come se avesse trovato il sacro graal (tutta la fisica è ricerca di simmetrie a cui le lagrangiane sottostanno) e ho perso la ragione
Per quanto fossi convinto dall'inizio che l'elongazione massima non fosse sulla verticale (90 gradi, nel mio SdR) piu per istinto che per formulazione matematica (le lagrangiane mi tornavano identiche alle tue, ma ne avevo abbandonato lo studio perche in altre faccende affaccendato) devo dire che la simmetria ha fregato anche me: io facevo un elongazione massima a un angolo $90-\alpha$, l'accorciamento a 90, e un allungamento massimo ancora a $90+\alpha$, con $\alpha$ ovviamente funzione dei parametri in gioco (k ed m)
E nella mia testa, sempre a istinto, e' ancora cosi!!! Purtroppo non riesco a scaricare le immagini che Faus ha postato.
Qualcuno puo' aiutarmi? E' da quando ho cambiato PC che qualche impostazione non mi fa vedere le immagini.
Saluti a tutti
E nella mia testa, sempre a istinto, e' ancora cosi!!! Purtroppo non riesco a scaricare le immagini che Faus ha postato.
Qualcuno puo' aiutarmi? E' da quando ho cambiato PC che qualche impostazione non mi fa vedere le immagini.
Saluti a tutti
"professorkappa":
Purtroppo non riesco a scaricare le immagini che Faus ha postato.
Qualcuno puo' aiutarmi? E' da quando ho cambiato PC che qualche impostazione non mi fa vedere le immagini.
Strano.. dovresti vedere le immagini direttamente nel messaggio.. non so aiutarti
.Puoi usare i link diretti: questo, quest'altro e quest'altro ancora.
"Faussone":
[quote="professorkappa"]
Purtroppo non riesco a scaricare le immagini che Faus ha postato.
Qualcuno puo' aiutarmi? E' da quando ho cambiato PC che qualche impostazione non mi fa vedere le immagini.
Strano.. dovresti vedere le immagini direttamente nel messaggio.. non so aiutarti
.Puoi usare i link diretti: questo, quest'altro e quest'altro ancora.[/quote]
Infatti prima che il precedente PC morisse (perche, mi sento in dovere di condividere un segreto con voi, i PC e l'acqua di mare non vanno tanto d'accordo), non avevo problemi, scaricavo direttamente dal messaggio. Ma da che uso il nuovo pc, vedo solo un iconina verdognola, ma non succede nulla quando ci clicco sopra.
Aahahahahahahhha!!!! Ho appena provato a cliccare sui link diretti: a Dubai mi blocca perche il sito non e' "sicuro".....Ma dove li hai caricati, su un sito porno????? Vecchio satiro, tu..... 
"professorkappa":
Aahahahahahahhha!!!! Ho appena provato a cliccare sui link diretti: a Dubai mi blocca perche il sito non e' "sicuro".....Ma dove li hai caricati, su un sito porno????? Vecchio satiro, tu.....
Premesso che non ho nulla contro i siti porno, che anzi apprezzo
, no ho preferito caricarle semplicemente su tinypic che è il sito di upload di immagini consigliato nel forum.Strano che ti blocchi.... Comunque quelle figure non hanno niente di straordinario, sono simili a quelle messe da zpe alla fine, quindi non ti perdi niente di vietato ai minori
Eh, questa e' Dubai. Ti bloccano se cerchi di giocare a tressette online. Quando vado a casa mi attacco al VPN e gli do uno sguardo
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