Pendolo semplice
devo trovare l'equazione di Hamilton-Jacobi per un pendolo semplice.
La mia Hamiltoniana è
$ H=(pvarphi )/(ml^2)-mgl $
ora soprattutto quando porto alle quadrature, vengono fuori calcoli un pò strani...
Starò sbagliando qualcosa... ma cosa?
chi mi aiuta?
La mia Hamiltoniana è
$ H=(pvarphi )/(ml^2)-mgl $
ora soprattutto quando porto alle quadrature, vengono fuori calcoli un pò strani...
Starò sbagliando qualcosa... ma cosa?
chi mi aiuta?
Risposte
Non capisco, quella non è l'hamiltoniana di un pendolo. Come l'hai ricavata? Comunque riporta anche il ragionamento e i conti, non è che possiamo indovinare dove tu stia sbagliando in base all'astrologia.
E magari modifica il titolo eliminando il carattere maiuscolo, please.
"Nikikinki":
Non capisco, quella non è l'hamiltoniana di un pendolo. Come l'hai ricavata? Comunque riporta anche il ragionamento e i conti, non è che possiamo indovinare dove tu stia sbagliando in base all'astrologia.
hai ragione sorry... il problema è che ho scritto 1 hamiltoniana sbagliata.
ovviamente era (e chiedo scusa in anticipo per la formula che scriverò male) $ 1/2 (pvartheta)^2/(ml^2) -mglcosvartheta $
per quanto riguarda tutti i calcoli... diciamo che con questo procedimento ho un pò di difficoltà.
In ogni caso, scrivo la forma H-J
$ -alpha +1/(2ml^2)((partialWvartheta )/(partial vartheta ))^2+mglcosvartheta =0 $
integro e porto alle quadrature
scrivo la soluzione per S
equazioni di trasformazione
non vi riporto tutte le formule perchè per scriverne una ci metto parecchio
e vorrei sapere se procedendo in tal modo va bene, sperando di non farvi ricorrere all'astrologia
Ancora non ci siamo. L' hamiltoniana è
$H=p_theta^2/(2ml^2)+mgl(1-cos\theta)$ ma non è che va tirata a caso, è facile da ricavare. Detto questo, riprova a fare il conto, se ancora non ti torna posta i passaggi che segui, dicendo magari anche cosa indichi con $\alpha$ , $W$ etc. Se si vuole avere una risposta in genere si fa così
in modo da non scaricare tutto il peso su chi tenta di aiutarti a capire. Anche perchè ormai con questo caldo tanta voglia di stare a scrivere dal pc non ne ho 
$H=p_theta^2/(2ml^2)+mgl(1-cos\theta)$ ma non è che va tirata a caso, è facile da ricavare. Detto questo, riprova a fare il conto, se ancora non ti torna posta i passaggi che segui, dicendo magari anche cosa indichi con $\alpha$ , $W$ etc. Se si vuole avere una risposta in genere si fa così
in modo da non scaricare tutto il peso su chi tenta di aiutarti a capire. Anche perchè ormai con questo caldo tanta voglia di stare a scrivere dal pc non ne ho
scusa ma nn capisco perchè è sbagliata l Hamiltoniana...
Sono andata a spulciare anche dagli appunti del prof e i calcoli dovrebbero essere quelli...
e comunque non la tiro a caso la risposta XD...
Sono andata a spulciare anche dagli appunti del prof e i calcoli dovrebbero essere quelli...
e comunque non la tiro a caso la risposta XD...
Calcoliamocela così ci togliamo ogni dubbio. Consideriamo questo pendolo semplice con attaccata la massa $m$ e di lunghezza $l$ con tutte le approssimazioni del caso. Guardiamo questa immagine che ho preso da google. Lascia perdere tutte le forze scritte, ci interessa solo la configurazione e l'angolo $\theta$
L'hamiltoniana è per definizione
$H(q_i,p_i,t)=\sum_i p_i \dotq_i - L(q_i,\dotq_i,t)$
e consideriamo la lagrangiana $L=K-U$.
L'energia cinetica è $K=1/2 m \dotx^2=1/2 m (l \dot\theta)^2=1/2 m l^2 \dot\theta^2 $
L'energia potenziale è $U=mgh$ dove $h$ è l'altezza della massa durante l'oscillazione rispetto allo zero di quando passa per il punto più basso.
Quindi (guardando la figura è il segmento che va dall'angolo retto evidenziato fino al punto più basso) $h=mg(l-lcos\theta)=mgl(1-cos\theta)$
Quindi $L=1/2 m l^2 \dot\theta^2 - mgl(1-cos\theta)$
Il momento coniugato alla variabile angolare è $p_(\theta)=(\partialL)/(\partial\dot\theta)=ml^2\dot\theta$
L'hamiltoniana è allora
$H=ml^2\dot\theta * dot\theta - 1/2 m l^2 \dot\theta^2 + mgl(1-cos\theta)=ml^2\dot\theta^2/2+mgl(1-cos\theta)$
ma la voglio in funzione delle variabili dello spazio delle fasi, quindi usando la relazione tra momento coniugato e angolo
$H=p_(\theta)^2/(2ml^2) + mgl (1-cos\theta)$
L'hamiltoniana è per definizione
$H(q_i,p_i,t)=\sum_i p_i \dotq_i - L(q_i,\dotq_i,t)$
e consideriamo la lagrangiana $L=K-U$.
L'energia cinetica è $K=1/2 m \dotx^2=1/2 m (l \dot\theta)^2=1/2 m l^2 \dot\theta^2 $
L'energia potenziale è $U=mgh$ dove $h$ è l'altezza della massa durante l'oscillazione rispetto allo zero di quando passa per il punto più basso.
Quindi (guardando la figura è il segmento che va dall'angolo retto evidenziato fino al punto più basso) $h=mg(l-lcos\theta)=mgl(1-cos\theta)$
Quindi $L=1/2 m l^2 \dot\theta^2 - mgl(1-cos\theta)$
Il momento coniugato alla variabile angolare è $p_(\theta)=(\partialL)/(\partial\dot\theta)=ml^2\dot\theta$
L'hamiltoniana è allora
$H=ml^2\dot\theta * dot\theta - 1/2 m l^2 \dot\theta^2 + mgl(1-cos\theta)=ml^2\dot\theta^2/2+mgl(1-cos\theta)$
ma la voglio in funzione delle variabili dello spazio delle fasi, quindi usando la relazione tra momento coniugato e angolo
$H=p_(\theta)^2/(2ml^2) + mgl (1-cos\theta)$
perfetto il prof non considera,quindi neanche io xD, il segmentino.
$ h=lcos vartheta $
$ h=lcos vartheta $
Già. Mi pare parecchio strano, magari verifica gli appunti con qualche altro, c'è anche la possibilità che sia sfuggito a te mentre li scrivevi
PS: ad un certo punto ho scritto $h=mg...$ ovviamente quella mg non c'entra niente nella formula di h avevo in testa il potenziale di prima. Ma penso si capisca
PS: ad un certo punto ho scritto $h=mg...$ ovviamente quella mg non c'entra niente nella formula di h avevo in testa il potenziale di prima. Ma penso si capisca
no no gli appunti sn ok... mi sono confrontata cn gli altri... mah... procederò per il metodo H-J con il procedimento scritto su
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