Pendolo lungo piano inclinato

[murphyslaw]

Salve, ho provato a risolvere questo problema (in allegato) e vorrei avere la vostra opinione sui miei risultati:

1) considero la forza peso come $ P=m*g* \cos\beta $
Quindi:
$ P = (-m*g*\cos\beta\cos\theta ) \hat{e_r} $
$ T = (m*g*\cos\beta\cos\theta+(V_T)^2/L)\hat{e_r}$
$ P = (-m*g*\cos\beta\sin\theta ) \hat{e_\theta} $

2) la pulsazione risulta $ \omega = \sqrt{(g*\cos\beta)/L} $
la frequenza è $f=\omega/(2*\pi)$
la legge oraria risulta $\theta(t)=\theta_0*\sin(\omega*t+\pi/2)$ (imponendo le condizioni iniziali ho trovato la fase)

3) La tensione è massima quando $\theta=0°$, ovvero a metà periodo, quindi devo risolvere la disequazione:
$m*g*cos\beta+m*L*\omega(0°)^2>T_{MAX}$

Gli altri due punti non li ho ancora sviluppati, ma la mia idea è che la forza fittizia sia la forza d'inerzia, ovvero $m*(-a_T)$.
Quindi si somma alla forza peso la forza d'inerzia causata dal moto, corretto?
Grazie

[donald_zeka]

Nella prima parte manca qualcosa, infatti chiede di trovare le forze lungo i due versori in funzione di $theta$, ma tu hai che T è funzione di $theta$ e $v^2$, pertanto devi esprimere $v^2$ in funzione di $theta$ usando la conservazione dell'energia.
SI, dato che il piano inclinato accelera verticalmente in alto, avrai una forza apparente $-ma$ agente parallelamente alla forza peso che andrà scomposta lungo i due versori.

[murphyslaw]

Giusto, anche se ricordo che fu detto che doveva essere in funzione di $\theta$ o anche di $\dot\theta$.
Se esprimessi l'accelerazione centripeta come $\omega^2*L$ invece di $v_T^2/L$? A quel punto la velocità angolare sarebbe la derivata di $\theta(t)$. Andrebbe bene?
Per quanto riguarda la disequazione per la tensione massima?

[donald_zeka]

In qualunque modo la esprimi, la velocità di quella massa appesa al pendolo è sempre la derivata di $theta$, infatti la massa appesa può solo muoversi nel tratto di circonferenze che descrive il pendolo, e quindi per individuare la posizione della massa appesa è necessaria solo una variabile, ossia $theta$ (si dice quindi che il sistema ha 1 grado di libertà) e quindi la velocità angolare sarà $omega=dot(theta)$ e la velocità tangenziale non sarà altro che $v=dot(theta)L$. Se per l'esercizio andava bene sia $theta$ che $dot(theta)$ allora l'esercizio finisce qui, se non con la conservazione dell'energia ti trovavi il quadrato della velocità in funzione dell'angolo.

Riguardo alla disequazione della tensione massima, da come l'hai scritto penso non vada bene, infatti non devi risolvere alcuna disequazione ma solo "controllare" che la tensione in quel punto non superi quella massima. Non c'è bisogno che usi la legge oraria per controllare quella disuguaglianza, basta usare la conservazione dell'energia. Comunque a $theta=0$ non è mezzo periodo bensì un quarto di periodo.

[murphyslaw]

Ok, perfetto, credo di aver capito. Grazie mille