Pendolo in movimento
Buon pomeriggio:
vorrei chiedere il vostro aiuto per risolvere il seguente problema:
TESTO:
Un pendolo semplice ($l = 0.4 m$) è appeso ad un supporto che si muove orizzontalmente con accelerazione $A = 5 m/s^²$. Calcolare: a) l'angolo di equilibrio rispetto alla verticale e
b) il periodo delle piccole oscillazioni rispetto alla posizione di equilibrio.
Il punto A l'ho risolto considerando un sistema di riferimento non inerziale e mi è risultato $theta_(eq)=27°$ in accordo con il risultato fornito dal mio libro di testo.
Ho però un dubbio riguardo al punto B:
per risolverlo ho considerato stavolta un sistema di riferimento inerziale e lungo la direzione tangente mi è risultato:
$gsin(theta)+Acos(theta)=l(deltatheta^2)/(deltat^2)$.
A questo punto però non so come procedere per due motivi:
1)L'angolo non tende a 0 e dunque applicare gli sviluppi di Taylor non mi aiuta (anche nelle ipotesi di piccole oscillazioni);
2)In ogni caso mi verrebbe un'equazione differenziale di secondo grado non omogenea e io non so come si risolvono.
Potreste aiutarmi a chiarire i miei dubbi?
Grazie mille!
P.S. Il risultato fornito dal libro è $tau=1,2s$, grazie ancora!
vorrei chiedere il vostro aiuto per risolvere il seguente problema:
TESTO:
Un pendolo semplice ($l = 0.4 m$) è appeso ad un supporto che si muove orizzontalmente con accelerazione $A = 5 m/s^²$. Calcolare: a) l'angolo di equilibrio rispetto alla verticale e
b) il periodo delle piccole oscillazioni rispetto alla posizione di equilibrio.
Il punto A l'ho risolto considerando un sistema di riferimento non inerziale e mi è risultato $theta_(eq)=27°$ in accordo con il risultato fornito dal mio libro di testo.
Ho però un dubbio riguardo al punto B:
per risolverlo ho considerato stavolta un sistema di riferimento inerziale e lungo la direzione tangente mi è risultato:
$gsin(theta)+Acos(theta)=l(deltatheta^2)/(deltat^2)$.
A questo punto però non so come procedere per due motivi:
1)L'angolo non tende a 0 e dunque applicare gli sviluppi di Taylor non mi aiuta (anche nelle ipotesi di piccole oscillazioni);
2)In ogni caso mi verrebbe un'equazione differenziale di secondo grado non omogenea e io non so come si risolvono.
Potreste aiutarmi a chiarire i miei dubbi?
Grazie mille!
P.S. Il risultato fornito dal libro è $tau=1,2s$, grazie ancora!
Risposte
Secondo me c'è un segno che non torna nell'equazione che hai scritto (se A=0 dovrebbe tornare la classica
$l (d^2 theta)/(dt^2)+ g sin(theta)=0$ ).
Inoltre non confondere McLaurin con Taylor. Puoi sempre sviluppare con Taylor attorno al punto $theta = theta_(eq)$. Ricaverai così un'equazione linearizzata omogenea che ti permetterà di risolvere il problema.
$l (d^2 theta)/(dt^2)+ g sin(theta)=0$ ).
Inoltre non confondere McLaurin con Taylor. Puoi sempre sviluppare con Taylor attorno al punto $theta = theta_(eq)$. Ricaverai così un'equazione linearizzata omogenea che ti permetterà di risolvere il problema.
Ciao Ingres, grazie per il tempo dedicatomi. Effettivamente $gsintheta$ doveva essere negativo.
Quello che però intendevo riguardo a Taylor è che (correggimi se sbaglio) essendo le funzioni seno e coseno derivabili in $RR$, dato un punto $x_0$ esse sono asintotiche al primo ordine a $f(x_0)$ stesse per $x->x_0$.
Questo mi porta a dover applicare lo sviluppo di Taylor fino a $n=1$, però questo complica moltissimo l'equazione: alla fine a me risulta (non mi sembra di aver fatto errori di calcolo):
$l(deltatheta^2)/(deltat^2)+theta(gcostheta_(eq)+sintheta_(eq))=-(Acostheta_(eq)+gcos^2theta_(eq)+sin^2theta_(eq))$.
La prima volta mi era venuta sbagliata per via del segno che mi hai fatto notare, però comunque mi sa di non aver capito qualcosa (eq è qui che ho scritto su questo forum) perchè mi sembra molto strana come equazione risolutiva.
Dov'è che sbaglio?
Grazie ancora!
Quello che però intendevo riguardo a Taylor è che (correggimi se sbaglio) essendo le funzioni seno e coseno derivabili in $RR$, dato un punto $x_0$ esse sono asintotiche al primo ordine a $f(x_0)$ stesse per $x->x_0$.
Questo mi porta a dover applicare lo sviluppo di Taylor fino a $n=1$, però questo complica moltissimo l'equazione: alla fine a me risulta (non mi sembra di aver fatto errori di calcolo):
$l(deltatheta^2)/(deltat^2)+theta(gcostheta_(eq)+sintheta_(eq))=-(Acostheta_(eq)+gcos^2theta_(eq)+sin^2theta_(eq))$.
La prima volta mi era venuta sbagliata per via del segno che mi hai fatto notare, però comunque mi sa di non aver capito qualcosa (eq è qui che ho scritto su questo forum) perchè mi sembra molto strana come equazione risolutiva.
Dov'è che sbaglio?
Grazie ancora!
Ma guarda mau21 che è molto più semplice. Basta che consideri che il pendolo risente di due accelerazioni: quella di gravità, verso il basso, e quella, diciamo apparente, di $5m/s^2$ all'indietro. Sommando le due, ti viene una accelerazione di $11,2m/s^2$, diretta di circa 26° indietro. Dopo di che, lo tratti come un pendolo normalissimo.
La soluzione di @mgrau è sicuramente più semplice, ma comunque volendo risolvere in modo analitico avremo l'equazione:
$l (d^2 theta)/(dt^2)+ g sin(theta)-A cos(theta)=0$
Ora risulta:
$cos(theta) = cos(theta_(eq)) - sin(theta_(eq))*Delta theta$
$sin(theta) = sin(theta_(eq)) +cos(theta_(eq))*Delta theta$
sostituendo risulta
$l (d^2 Delta theta)/(dt^2)+ g sin(theta_(eq))-A cos(theta_(eq)) + (g cos(theta_(eq)) + A sin(theta_(eq)))*Delta theta=0$
Il termine $ g sin(theta_(eq))-A cos(theta_(eq)) $ è nullo, per cui l'equazione diventa:
$l (d^2 Delta theta)/(dt^2)+ (g cos(theta_(eq)) + A sin(theta_(eq)))*Delta theta =0$
dove il termine $a=g cos(theta_(eq)) + A sin(theta_(eq)) approx 11$ (vedi quanto scritto da @mgrau) e quindi:
$tau = (2*pi)/sqrt(a/l) = (2*pi)/(sqrt(11/0.4) )= 1.2 s$
$l (d^2 theta)/(dt^2)+ g sin(theta)-A cos(theta)=0$
Ora risulta:
$cos(theta) = cos(theta_(eq)) - sin(theta_(eq))*Delta theta$
$sin(theta) = sin(theta_(eq)) +cos(theta_(eq))*Delta theta$
sostituendo risulta
$l (d^2 Delta theta)/(dt^2)+ g sin(theta_(eq))-A cos(theta_(eq)) + (g cos(theta_(eq)) + A sin(theta_(eq)))*Delta theta=0$
Il termine $ g sin(theta_(eq))-A cos(theta_(eq)) $ è nullo, per cui l'equazione diventa:
$l (d^2 Delta theta)/(dt^2)+ (g cos(theta_(eq)) + A sin(theta_(eq)))*Delta theta =0$
dove il termine $a=g cos(theta_(eq)) + A sin(theta_(eq)) approx 11$ (vedi quanto scritto da @mgrau) e quindi:
$tau = (2*pi)/sqrt(a/l) = (2*pi)/(sqrt(11/0.4) )= 1.2 s$
Grazie a entrambi!
C'è solo una cosa che vorrei chiedere a Ingres: come hai fatto a renderti conto del termine nullo?
Chiaramente se prendi una calcolatrice te ne rendi conto ma c'è anche una maniera di farlo analiticamente?
Io non noto a prima vista alcuna relazione particolare tra il minuendo e il sottraendo.
Comunque grazie ancora per la vostra gentilezza e disponibilità, mi avete aiutato moltissimo!
C'è solo una cosa che vorrei chiedere a Ingres: come hai fatto a renderti conto del termine nullo?
Chiaramente se prendi una calcolatrice te ne rendi conto ma c'è anche una maniera di farlo analiticamente?
Io non noto a prima vista alcuna relazione particolare tra il minuendo e il sottraendo.
Comunque grazie ancora per la vostra gentilezza e disponibilità, mi avete aiutato moltissimo!
Si vede, anche a livello dell'equazione completa di partenza, che il termine in questione rappresenta la condizione di equilibrio, ovvero la condizione che permette di trovare il punto di equilibrio.
Quindi, nella condizione di equilibrio, il termine noto dell'equazione del moto armonico semplice è nullo...
Va bene, grazie di tutto!
Va bene, grazie di tutto!
Scusatemi ancora per il disturbo, potrei farvi un'ultima domanda a cui ho pensato ora?
Premetto che, essendo il corso di Fisica 1 precedente a quello di Analisi 2, io non ho mai visto la teoria sulle equazioni differenziali.
Il prof ha enunciato l'equazione del moto armonico semplice e ci ha detto che per l'esame dobbiamo conoscerne la soluzione.
L'equazione che però noi abbiamo preso in esame è stata:
$X^('')(t)+w^2X(t)=0$.
Ingres, quando hai applicato gli sviluppi di Taylor per poi scrivere l'equazione hai lasciato come coefficente di primo grado $Deltatheta$, che però in teoria sarebbe uguale a $theta-theta_(eq)$.
A quel punto hai considerato il suo coefficente pari a $w^2$ per risolvere l'esercizio.
Quello che però mi chiedo è: l'equazione in questo modo risulta la stessa (con la stessa soluzione analitica) oppure hai sottinteso il passaggio in cui moltiplicavi il coefficente per la parentesi e isolavi i termini non costanti (dipendenti da $theta$) per porli uguali a $w^2$.
Scusate la domanda, probabilmente banale, ma è solo per esserne sicuro, grazie e buona giornata!
Premetto che, essendo il corso di Fisica 1 precedente a quello di Analisi 2, io non ho mai visto la teoria sulle equazioni differenziali.
Il prof ha enunciato l'equazione del moto armonico semplice e ci ha detto che per l'esame dobbiamo conoscerne la soluzione.
L'equazione che però noi abbiamo preso in esame è stata:
$X^('')(t)+w^2X(t)=0$.
Ingres, quando hai applicato gli sviluppi di Taylor per poi scrivere l'equazione hai lasciato come coefficente di primo grado $Deltatheta$, che però in teoria sarebbe uguale a $theta-theta_(eq)$.
A quel punto hai considerato il suo coefficente pari a $w^2$ per risolvere l'esercizio.
Quello che però mi chiedo è: l'equazione in questo modo risulta la stessa (con la stessa soluzione analitica) oppure hai sottinteso il passaggio in cui moltiplicavi il coefficente per la parentesi e isolavi i termini non costanti (dipendenti da $theta$) per porli uguali a $w^2$.
Scusate la domanda, probabilmente banale, ma è solo per esserne sicuro, grazie e buona giornata!
Ciao mau21
non ho capito bene il tuo dubbio, ma ti confermo che nell'equazione
1) $Delta theta = theta - theta_(eq)$ e quindi sfrutto anche il fatto che $ (d^2 Delta theta)/(dt^2) = (d^2 theta)/(dt^2)$ essendo $theta_(eq)$ una costante.
2) Ho quindi solo sostituito e messo in evidenza il coefficiente (costante) che moltiplica $Delta theta$ ed eliminato il termine che era nullo.
3) A questo punto l'equazione, dividendo per la lunghezza l, diventa esattamente quella indicata dal tuo docente con $omega^2 = a/l$, le soluzioni sono esattamente dello stesso tipo, ovvero $Delta theta$ sarà una combinazione lineare di $sin(omega t)$ e $cos(omega t)$, e in particolare anche il periodo sarà $tau=(2 pi )/omega$
non ho capito bene il tuo dubbio, ma ti confermo che nell'equazione
1) $Delta theta = theta - theta_(eq)$ e quindi sfrutto anche il fatto che $ (d^2 Delta theta)/(dt^2) = (d^2 theta)/(dt^2)$ essendo $theta_(eq)$ una costante.
2) Ho quindi solo sostituito e messo in evidenza il coefficiente (costante) che moltiplica $Delta theta$ ed eliminato il termine che era nullo.
3) A questo punto l'equazione, dividendo per la lunghezza l, diventa esattamente quella indicata dal tuo docente con $omega^2 = a/l$, le soluzioni sono esattamente dello stesso tipo, ovvero $Delta theta$ sarà una combinazione lineare di $sin(omega t)$ e $cos(omega t)$, e in particolare anche il periodo sarà $tau=(2 pi )/omega$
Perfetto,
grazie mille!
Potrei fare solo un'ultima domanda, sempre riferita alle equazioni differenziali (anche se non propriamente a questo esercizio)?
Nel caso in cui io abbia un'equazione non omogenea:
$X^('')(t)+w^2X(t)+f(t)=0$ (stessa equazione ma non omogenea).
Il prof ha detto che la soluzione si può esprimere come somma della soluzione omogenea e di una particolare.
Se non ho capito male la soluzione particolare si trova con il metodo delle somiglianti considerando un polinomio dello stesso grado (vuol dire questo "somigliante"?) di $f(t)$ e imponendo che esso sia soluzione dell'equazione per ricavarne i coefficenti.
Giusto?
Grazie ancora!
grazie mille!
Potrei fare solo un'ultima domanda, sempre riferita alle equazioni differenziali (anche se non propriamente a questo esercizio)?
Nel caso in cui io abbia un'equazione non omogenea:
$X^('')(t)+w^2X(t)+f(t)=0$ (stessa equazione ma non omogenea).
Il prof ha detto che la soluzione si può esprimere come somma della soluzione omogenea e di una particolare.
Se non ho capito male la soluzione particolare si trova con il metodo delle somiglianti considerando un polinomio dello stesso grado (vuol dire questo "somigliante"?) di $f(t)$ e imponendo che esso sia soluzione dell'equazione per ricavarne i coefficenti.
Giusto?
Grazie ancora!
"mau21":
Il prof ha detto che la soluzione si può esprimere come somma della soluzione omogenea e di una particolare
Corretto e questo vale per tutte le equazioni differenziali lineari, quindi anche di ordine superiore al secondo e anche a coefficienti non costanti.
"mau21":
Se non ho capito male la soluzione particolare si trova con il metodo delle somiglianti considerando un polinomio dello stesso grado (vuol dire questo "somigliante"?) di f(t) e imponendo che esso sia soluzione dell'equazione per ricavarne i coefficenti.
Corretto. La soluzione particolare è una qualunque funzione che soddisfa l'equazione a prescindere che soddisfi le condizioni iniziali. Ci sono dei metodi per ricavarla nei casi più complessi (ad es. nel caso di coefficienti non costanti), ma quello della somiglianza è il più "popolare" per le equazioni a coefficienti costanti. Quindi se il termine non omogeneo è un esponenziale si prova con un esponenziale, se è un polinomio con un polinomio dello stesso grado e se è una sinusoide con una combinazione di sinusoidi e cosinusoidi alla stessa frequenza.
Bisogna però stare attenti in qualche caso: ad esempio se ho l'equazione dei moti armonici e la f(t) è una sinusoide alla stessa pulsazione $omega$, si vede che la soluzione particolare è una combinazione di termini $t*sin(omega t), t*cos(omega t)$. Questa risposta diverge nel tempo ed è la rappresentazione matematica del fatto che se solleciti un sistema con una funzione avente la stessa frequenza della frequenza naturale del sistema stesso otterrai una risposta abnorme per "risonanza".
Va bene, grazie mille per tutto!
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