Pendolo fisico
Buonasera a tutti! Ieri mi sono cimentato nella risoluzione di una prova d'esame di Fisica I e ho riscontrato qualche difficoltà con un problema su un pendolo fisico.
È facile calcolare il momento della forza peso:
\( M_P=-mg\sin \theta \cdot \dfrac{D}{2} \)
Quello della forza elastica un po' meno. Questo è lo schema che mi sono fatto (M è il punto medio dell'asta):
Facendo intervenire l'ipotesi di piccole oscillazioni si potrebbe considerare l'allungamento pari allo spostamento orizzontale di M:
\( \Delta l = \dfrac{D}{2}\sin \theta \approx \dfrac{D\theta}{2} \)
oppure alla risultante degli spostamenti verticale e orizzontale:
\( \Delta l = \displaystyle\sqrt {\left[\dfrac{D}{2}(1-\cos \theta)\right]^2+\left(\dfrac{D}{2}\sin \theta\right)^2} = D\displaystyle\sqrt {\dfrac{1-\cos \theta}{2}} = D\sin \dfrac{\theta}{2} \approx \dfrac{D\theta}{2} \)
ed effettivamente è così che viene riportata la soluzione. A questo punto si risolve facilmente l'equazione differenziale, si trova la legge oraria e si calcola il periodo. Mi chiedevo però se esistesse un metodo più rigoroso per trovare l'allungamento della molla. Basterebbe determinare un'espressione matematica per la lunghezza finale in funzione delle variabili in gioco, dato che la lunghezza a riposo ce l'abbiamo ed è \(D/2\).
Grazie per la pazienza.
È facile calcolare il momento della forza peso:
\( M_P=-mg\sin \theta \cdot \dfrac{D}{2} \)
Quello della forza elastica un po' meno. Questo è lo schema che mi sono fatto (M è il punto medio dell'asta):
Facendo intervenire l'ipotesi di piccole oscillazioni si potrebbe considerare l'allungamento pari allo spostamento orizzontale di M:
\( \Delta l = \dfrac{D}{2}\sin \theta \approx \dfrac{D\theta}{2} \)
oppure alla risultante degli spostamenti verticale e orizzontale:
\( \Delta l = \displaystyle\sqrt {\left[\dfrac{D}{2}(1-\cos \theta)\right]^2+\left(\dfrac{D}{2}\sin \theta\right)^2} = D\displaystyle\sqrt {\dfrac{1-\cos \theta}{2}} = D\sin \dfrac{\theta}{2} \approx \dfrac{D\theta}{2} \)
ed effettivamente è così che viene riportata la soluzione. A questo punto si risolve facilmente l'equazione differenziale, si trova la legge oraria e si calcola il periodo. Mi chiedevo però se esistesse un metodo più rigoroso per trovare l'allungamento della molla. Basterebbe determinare un'espressione matematica per la lunghezza finale in funzione delle variabili in gioco, dato che la lunghezza a riposo ce l'abbiamo ed è \(D/2\).
Grazie per la pazienza.
Risposte
"_clockwise":
... un metodo più rigoroso ...
Probabilmente intendevi esatto, non più rigoroso. Ad ogni modo, è sufficiente applicare il teorema di Carnot al triangolo i cui vertici sono il punto P, il punto medio M dell'asta in posizione verticale e il punto medio M dell'asta in posizione generica:
$Dsqrt(1/4+sin^2(\theta/2)-sin(\theta/2)cos(\pi-\theta/2))-D/2=$
$=Dsqrt(1/4+sin^2(\theta/2)+sin(\theta/2)cos(\theta/2))-D/2=$
$=Dsqrt(1/4+(1-cos\theta)/2+1/2sin\theta)-D/2=$
$=D/2sqrt(2sin\theta-2cos\theta+3)-D/2=$
$=D/2(sqrt(2sin\theta-2cos\theta+3)-1)$
Probabilmente intendevi esatto, non più rigoroso.
L'approssimazione di certo si può giustificare rigorosamente grazie allo sviluppo in serie del seno o alle equivalenze asintotiche, ma l'idea stessa di identificare la componente orizzontale dello spostamento con l'allungamento come si può formalizzare?
Ad ogni modo, è sufficiente applicare il teorema di Carnot al triangolo i cui vertici sono il punto P, il punto medio M dell'asta in posizione verticale e il punto medio M dell'asta in posizione generica
Grazie davvero. Avevo pensato al teorema del coseno, ma mi spaventava applicarlo.
D'altronde il primo termine non nullo dello sviluppo del polinomio \( \displaystyle\sqrt {3+2(\sin \theta - \cos \theta)}-1 \) è proprio \( \theta \), quindi è tutto a posto. Tuttavia mi sfugge una cosa: come hai fatto a determinare l'angolo \( P\hat{M}M' \)? 
"_clockwise":
... come si può formalizzare?
Se lo spostamento è infinitesimo, tende ad essere orizzontale.
... come hai fatto a determinare l'angolo ...
Si tratta della somma di un angolo retto e di un angolo alla base del triangolo isoscele:
$\pi/2+(\pi-\theta)/2=\pi-\theta/2$
Quindi il triangolo compreso fra i punti medi e l'intersezione fra PM e la verticale sarebbe isoscele? E uno dei suoi angoli sarebbe \( \theta \)? Non capisco perché... 
Il triangolo $AM_1M_2$ (i pedici distinguono i due punti medi) è isoscele e di angolo al vertice $A=\theta$.
Chiarissimo, grazie mille per il prezioso aiuto.
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