Pendolo (Corpo Rigido)
Un pendolo è costituito da due sbarre sottili di lunghezza d disposte a T rovesciata ed è vincolato a ruotare nel piano verticale attorno ad un punto posto all’estremità della sbarra verticale.
Si trovino: a) il momento di inerzia del sistema attorno all’asse di rotazione,
b) l’espressione dell’energia potenziale e dell’energia cinetica del sistema in funzione dell’angolo di inclinazione rispetto alla verticale e
c) l’equazione del moto nel limite di piccolo angolo e il periodo di oscillazione
Visto che il vincolo a cui è fissato il sistema è posto all'estremità della barra verticale e quindi non coincide con il centro di massa si può utilizzare il teorema di Huygens-Steiner
$I=I_c+m\alpha^2$
Ossia il momento di inerzia del sistema è uguale al momento di inerzia del corpo rispetto ad un asse parallelo al primo e passante per il centro di massa, dove m è la massa del sistema e dove $\alpha$ è la distanza dal centro di massa.
Il momento di inerzia di una sbarretta sottile è $I=1/12md^2$
Essendo le due sbarrette ortogonali fra loro, il momento di Inerzia dovrebbe essere uguale a $I=1/12md^2+md^2$ ossia $I=13/12md^2$
ma non sono sicuro al 100%, visto che non ho potuto seguire le lezioni all'università sui moti dei corpi rigidi e sui momenti di inerzia, quindi sto cercando di raccapezzarmi con il libro e con esercizi online ma ancora non posso dire di averci capito molto.
per il secondo punto non ho la minima idea da dove cominciare!
per il terzo punto invece (correggetemi se sbaglio) essendo un pendolo fisico (composto) ossia formato da un corpo rigido che oscilla, si ha che il momento della forza peso agisce come un momento di richiamo verso la posizione di riposo, ossia verso $\theta=0$ e questo momento dovrebbe valere $M=-mghSin\theta$
l'equazione del moto attorno all'asse z di rotazione dovrebbe essere
$(dL_z)/dt=I_z\alpha = I_z(d^2\theta)/dt^2 = -mghSin\theta = (d^2\theta)/dt^2 + (mghSin\theta)/I_z=0$
Il momento di inerzia dovrebbe essere quello trovato prima con il teorema di Huygens- Steiner
Ora se l'ampiezza delle oscillazioni è piccola $Sin\theta~=\theta$ si ottiene
$(d^2\theta)/dt^2 + (mgh\theta)/I_z =0 $
che è l'equazione del moto armonico e ha la soluzione
$\theta=\theta_0Sin(\Omegat+\phi)$
la pulsazione è $\Omega=sqrt((mgh)/I_z)$
il periodo $T=2pi/\Omega=2pisqrt(l/g)$
dove $l=I_z/mh$ rappresenta la lunghezza ridotta del pendolo composto.
Potreste darmi una mano?
Si trovino: a) il momento di inerzia del sistema attorno all’asse di rotazione,
b) l’espressione dell’energia potenziale e dell’energia cinetica del sistema in funzione dell’angolo di inclinazione rispetto alla verticale e
c) l’equazione del moto nel limite di piccolo angolo e il periodo di oscillazione
Visto che il vincolo a cui è fissato il sistema è posto all'estremità della barra verticale e quindi non coincide con il centro di massa si può utilizzare il teorema di Huygens-Steiner
$I=I_c+m\alpha^2$
Ossia il momento di inerzia del sistema è uguale al momento di inerzia del corpo rispetto ad un asse parallelo al primo e passante per il centro di massa, dove m è la massa del sistema e dove $\alpha$ è la distanza dal centro di massa.
Il momento di inerzia di una sbarretta sottile è $I=1/12md^2$
Essendo le due sbarrette ortogonali fra loro, il momento di Inerzia dovrebbe essere uguale a $I=1/12md^2+md^2$ ossia $I=13/12md^2$
ma non sono sicuro al 100%, visto che non ho potuto seguire le lezioni all'università sui moti dei corpi rigidi e sui momenti di inerzia, quindi sto cercando di raccapezzarmi con il libro e con esercizi online ma ancora non posso dire di averci capito molto.
per il secondo punto non ho la minima idea da dove cominciare!
per il terzo punto invece (correggetemi se sbaglio) essendo un pendolo fisico (composto) ossia formato da un corpo rigido che oscilla, si ha che il momento della forza peso agisce come un momento di richiamo verso la posizione di riposo, ossia verso $\theta=0$ e questo momento dovrebbe valere $M=-mghSin\theta$
l'equazione del moto attorno all'asse z di rotazione dovrebbe essere
$(dL_z)/dt=I_z\alpha = I_z(d^2\theta)/dt^2 = -mghSin\theta = (d^2\theta)/dt^2 + (mghSin\theta)/I_z=0$
Il momento di inerzia dovrebbe essere quello trovato prima con il teorema di Huygens- Steiner
Ora se l'ampiezza delle oscillazioni è piccola $Sin\theta~=\theta$ si ottiene
$(d^2\theta)/dt^2 + (mgh\theta)/I_z =0 $
che è l'equazione del moto armonico e ha la soluzione
$\theta=\theta_0Sin(\Omegat+\phi)$
la pulsazione è $\Omega=sqrt((mgh)/I_z)$
il periodo $T=2pi/\Omega=2pisqrt(l/g)$
dove $l=I_z/mh$ rappresenta la lunghezza ridotta del pendolo composto.
Potreste darmi una mano?
Risposte
Il momento d' inerzia rispetto all'asse di rotazione non va bene.
Il momento di inerzia è additivo. Quello dell'asta verticale , rispetto al suo estremo in alto, vale $1/3ml^2$ . Quello dell'asta orizzontale , si dovrebbe calcolare sommando il m.i. proprio , cioè rispetto all'asse dell'asta stessa, col termine di trasporto $ml^2$ (teorema di Huygens) . Ma il m.i. proprio è trascurabile , puoi perciò assumerlo nullo. In definitiva , il momento di inerzia del pendolo composto rispetto all'asse di rotazione vale :
$I = 1/3ml^2 + ml^2 = 4/3 ml^2$
Trova ora il CM del corpo rigido. Immagina la massa totale concentrata nel CM . Assumi un piano di riferimento per l'energia potenziale , sul quale essa sia considerata nulla. Per esempio, puoi assumere il piano orizzontale passante per il CM quando il pendolo è fermo in posizione verticale . Ora sposta il pendolo, facendolo ruotare di un certo angolo $\theta$ rispetto alla verticale : se da questa posizione lasci andare il corpo, quanto valgono l'energia cinetica e l'energia potenziale, in funzione dell'angolo?
Comunque, la seconda domanda per me è un po' sciocca, ovvero è posta male. Ti direi di ignorarla.
Per il terzo punto, hai fatto bene , ma tieni presente il valore corretto di $I$ . Naturalmente $h$ è la distanza del CM dall'asse di rotazione.
http://www.****.it/lezioni/fisica/di ... posto.html
Il momento di inerzia è additivo. Quello dell'asta verticale , rispetto al suo estremo in alto, vale $1/3ml^2$ . Quello dell'asta orizzontale , si dovrebbe calcolare sommando il m.i. proprio , cioè rispetto all'asse dell'asta stessa, col termine di trasporto $ml^2$ (teorema di Huygens) . Ma il m.i. proprio è trascurabile , puoi perciò assumerlo nullo. In definitiva , il momento di inerzia del pendolo composto rispetto all'asse di rotazione vale :
$I = 1/3ml^2 + ml^2 = 4/3 ml^2$
Trova ora il CM del corpo rigido. Immagina la massa totale concentrata nel CM . Assumi un piano di riferimento per l'energia potenziale , sul quale essa sia considerata nulla. Per esempio, puoi assumere il piano orizzontale passante per il CM quando il pendolo è fermo in posizione verticale . Ora sposta il pendolo, facendolo ruotare di un certo angolo $\theta$ rispetto alla verticale : se da questa posizione lasci andare il corpo, quanto valgono l'energia cinetica e l'energia potenziale, in funzione dell'angolo?
Comunque, la seconda domanda per me è un po' sciocca, ovvero è posta male. Ti direi di ignorarla.
Per il terzo punto, hai fatto bene , ma tieni presente il valore corretto di $I$ . Naturalmente $h$ è la distanza del CM dall'asse di rotazione.
http://www.****.it/lezioni/fisica/di ... posto.html
"Shackle":
Quello dell'asta orizzontale , si dovrebbe calcolare sommando il m.i. proprio , cioè rispetto all'asse dell'asta stessa, col termine di trasporto $ml^2$ (teorema di Huygens) . Ma il m.i. proprio è trascurabile , puoi perciò assumerlo nullo.
Perchè il MI proprio è trascurabile? dipende da qual è l'asse di rotazione della T, che non è esplicitato dal problema: se questo sta nel piano della T, (cioè la sbarretta in basso si muove di traverso) hai ragione ; ma se è perpendicolare, no, e il MI proprio è in questo caso $1/12 M l^2$
"mgrau":
Perchè il MI proprio è trascurabile? dipende da qual è l'asse di rotazione della T, che non è esplicitato dal problema: se questo sta nel piano della T, (cioè la sbarretta in basso si muove di traverso) hai ragione ; ma se è perpendicolare, no, e il MI proprio è in questo caso $1/12 M l^2$
Certo, dipende dall'orientamento della barra trasversale rispetto all'asse di rotazione . Bisogna chiederlo all'autore del testo. Ho assunto che fossero paralleli.
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