Pendolo Continuo

[Jack Scheletron]

salve a tutti, questo è il mio primo post sul sito e spero di fare tutto per bene
il problema su cui sto lavorando da qualche giorno è il seguente: data una corda di lunghezza \(\displaystyle l \) e densita lineare di massa \(\displaystyle \lambda \) inestensibile e fissata ad un estremo, studiare il suo moto in campo gravitazionale (\(\displaystyle \vec{g} \) costante). la mia idea era quella di scrivere la densità lagrangiana e poi utilizzare le equazioni di Eulero-Lagrange per trovare un'equazione generale del moto (alle derivate parziali) ma non riesco proprio a scrivere la lagrangiana in maniera sensata. grazie a chiunque saprà aiutarmi

[dRic]

io di meccanica ci capisco poco, ma non conviene passare per il calcolo del baricentro e poi considerare un pendolo semplice con tutta la massa nel baricentro ? Se non si può fare cazziatemi pure

[Shackle]

Non è ben chiaro se la corda, nel moto oscillatorio, si comporti come un’asta rigida o meno, senza deformarsi. In caso affermativo, come credo, si tratta nient’altro che di un pendolo composto, fatto da un’asta di data densità lineare e una massa all’estremo. Qui c’è la soluzione :

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8414506

[mgrau]

"Shackle":Non è ben chiaro se la corda, nel moto oscillatorio, si comporti come un’asta rigida o meno, senza deformarsi. In caso affermativo, come credo,...

Io invece penso di no. Ti porto due argomenti.
- Ogni segmento della corda, se fosse da solo, oscillerebbe con periodi diversi
- Quando si demoliscono (o crollano per conto loro) le ciminiere (un po' un pendolo a rovescio) il fusto della ciminiera non cade come un corpo rigido, ma tipicamente si spezza a metà durante la caduta (un esempio si vede qui

[Shackle]

@mgrau

dimmi allora come risolvi. Io vedo un comportamento caotico, se ogni pezzo di fune va un po’ per conto suo, fatta salva la continuità della fune.
Sulle ciminiere che cadono c’è un bell’esercizio.

[mgrau]

"Shackle":@mgrau

dimmi allora come risolvi. .

Certamente non lo so risolvere... ma non mi pare un argomento a favore del movimento rigido

[mgrau]

Terzo argomento, che mi pare decisivo.
Il doppio pendolo (vedi qui) è una drastica semplificazione del caso di una fune continua, pur essendo della stessa famiglia, e già presenta un comportamento caotico.
Mi pare che questo possa escludere la possibilità di una oscillazione rigida per la fune.

[Shackle]

Si, certo, scartiamo l'oscillazione rigida, il doppio pendolo è un indizio. Già esso è caotico, come avevo pensato subito. E se il doppio pendolo diventa triplo, quadruplo...multiplo , è ancora più caotico, penso. Ma sappiamo scrivere una lagrangiana per la fune continua che oscilla in maniera caotica? Ogni pezzettino di massa $dm$ ha una energia cinetica e una energia potenziale...
Bisogna pensarci un po' di più. Il link che hai messo parla di integrazione numerica, ad es con i metodi di Runge-Kutta, ma qui il difficile, per ora, è scrivere la lagrangiana.

[Shackle]

Gironzolando nel web, ho trovato questo:

https://www.researchgate.net/publicatio ... e_pendulum

dove si considera un filo senza massa, a cui sono attaccate n masse concentrate. Ad un certo punto, l'autore estende le sue considerazioni a un sistema continuo di masse , paragrafo 5. Ma l'articolo non mi pare proprio facile. Non ci provo neanche a leggerlo.

[Jack Scheletron]

vi cofermo che l'esercizio non è assolutamente un'asta rigida: è una corda deformabile e che non sto studiando in regime di piccole oscillazioni (problema lineare). il focus è su come scrivere la densità lagrangiana in effetti...