Pendolo con vincolo
Salve a tutti, ho un dubbio su un punto di questo esercizio, spero possiate aiutarmi.
Testo:
Un punto materiale di massa $ m=185g $ è appeso ad un filo di lunghezza $ l=80 cm $ sospeso nel punto S. Il peso è inizialmente rilasciato dal punto A (filo teso orizzontalmente) con velocità nulla $ Va $. Dopo un quarto di oscillazione pendolare il punto materiale raggiunge il punto B (filo verticale) con velocità $ VB $. Il filo tocca un ostacolo (chiodo) di sezione trascurabile conficcato in C e il moto pendolare prosegue con un arco di raggio $ l' $ centrato in C. Determinare: a) La velocità $ Vb $ nel punto B; b) La massima lunghezza $ l' $ affinché la massa raggiunga il punto D con velocità $ Vd $ sufficiente a mantenere il filo teso.
Questa é la foto: https://it.m.wikibooks.org/wiki/File:Pendc.png
Il primo punto é ok, nel secondo, per calcolare $ Vd $, si impone che la forza centripeta in $ D $ sia maggiore della forza peso $ P $ ( e poi conservazione dell'energia che mi é chiara). Io non capisco perché, nel calcolo della velocità $ Vd $, calcolata in modo che nel punto $ D $ il filo sia teso, non si considera nell'equazione la tensione del filo, cioè $ -P-T=mV²/l' $.
Spero di essere stato chiaro e ringrazio dell'aiuto e della disponibilità.
Testo:
Un punto materiale di massa $ m=185g $ è appeso ad un filo di lunghezza $ l=80 cm $ sospeso nel punto S. Il peso è inizialmente rilasciato dal punto A (filo teso orizzontalmente) con velocità nulla $ Va $. Dopo un quarto di oscillazione pendolare il punto materiale raggiunge il punto B (filo verticale) con velocità $ VB $. Il filo tocca un ostacolo (chiodo) di sezione trascurabile conficcato in C e il moto pendolare prosegue con un arco di raggio $ l' $ centrato in C. Determinare: a) La velocità $ Vb $ nel punto B; b) La massima lunghezza $ l' $ affinché la massa raggiunga il punto D con velocità $ Vd $ sufficiente a mantenere il filo teso.
Questa é la foto: https://it.m.wikibooks.org/wiki/File:Pendc.png
Il primo punto é ok, nel secondo, per calcolare $ Vd $, si impone che la forza centripeta in $ D $ sia maggiore della forza peso $ P $ ( e poi conservazione dell'energia che mi é chiara). Io non capisco perché, nel calcolo della velocità $ Vd $, calcolata in modo che nel punto $ D $ il filo sia teso, non si considera nell'equazione la tensione del filo, cioè $ -P-T=mV²/l' $.
Spero di essere stato chiaro e ringrazio dell'aiuto e della disponibilità.
Risposte
La forza centripeta, in un moto circolare di raggio r, ha modulo $F_c=mv^2/r$ ; non ho detto “uniforme “, quindi in certi casi , come nel tuo , questo modulo può variare. Dal quesito a) hai trovato la velocità in B con la conservazione dell’energia , sia $v_B$ . Ora in B la massa pendolare m entra in un’orbita circolare di raggio $l’$ , con la velocità prima trovata, e deve arrivare in D senza cadere, quindi il filo dev’essere ancora teso. Devi scrivere:
La conservazione della energia meccanica tra B e D
La seconda equazione della dinamica del punto materiale, per cui , orientato l’asse verticale verso il basso, si ha $ P +T = F_c$
Quindi la tensione del filo c’è , e “al minimo “ è nulla. Il minimo di T corrisponde ala massimo di $l’$.
Se ho fatto bene i conti, il massimo di $l’$ è $2/5l$
La conservazione della energia meccanica tra B e D
La seconda equazione della dinamica del punto materiale, per cui , orientato l’asse verticale verso il basso, si ha $ P +T = F_c$
Quindi la tensione del filo c’è , e “al minimo “ è nulla. Il minimo di T corrisponde ala massimo di $l’$.
Se ho fatto bene i conti, il massimo di $l’$ è $2/5l$
Ok grazie, ma se considero l'equazione della dinamica nel punto più alto $ D $, la tensione, visto che ha segno concorde alla forza peso e alla forza centripeta, non dovrebbe andare ad aumentare il valore di $ l' $ ? Quindi perché la lunghezza del filo é max quando la tensione é nulla?
Hai la nozione corretta di forza centripeta? Non è una forza in più che viene aggiunta alle forze applicate, che sono il peso e la tensione del filo. La seconda legge della dinamica $ SigmaF = ma$, se il punto materiale (la piccola massa attaccata al filo) è costretto su una traiettoria circolare di raggio r, diventa $ SigmaF = ma_c =mv^2/r$ .
L’accelerazione centripeta è una grandezza cinematica, la dinamica è determinata dalle forze agenti.
Il minimo di T , data la velocità, corrisponde al massimo di l’ , perché l’ è al denominatore della accelerazione centripeta. Guardando su wiki books, nell’esercizio collegato alla immagine, ho visto che c’è anche la soluzione.
Cerca anche nel forum “giro della morte “, la situazione è analoga.
L’accelerazione centripeta è una grandezza cinematica, la dinamica è determinata dalle forze agenti.
Il minimo di T , data la velocità, corrisponde al massimo di l’ , perché l’ è al denominatore della accelerazione centripeta. Guardando su wiki books, nell’esercizio collegato alla immagine, ho visto che c’è anche la soluzione.
Cerca anche nel forum “giro della morte “, la situazione è analoga.
Capito, grazie. Per quanto riguarda questo esercizio invece:
Una sfera di massa $ m=10kg $ legata a un cavo lungo $ 1 m $ viene fatta ruotare in un piano verticale compiendo $ n= 40 $ giri. Calcolare il massimo sforzo con cui é sollecitato il cavo.
In questo caso, il massimo sforzo si ha nel punto più alto di equazione $ P+T= mV²/l $ ( considerando un asse orientato verso il basso)? E la tensione in questo caso va considerata?
Una sfera di massa $ m=10kg $ legata a un cavo lungo $ 1 m $ viene fatta ruotare in un piano verticale compiendo $ n= 40 $ giri. Calcolare il massimo sforzo con cui é sollecitato il cavo.
In questo caso, il massimo sforzo si ha nel punto più alto di equazione $ P+T= mV²/l $ ( considerando un asse orientato verso il basso)? E la tensione in questo caso va considerata?
In base a tutto ciò che abbiamo detto prima, non dovrebbe esserti difficile rispondere alle domande. Non hai ancora inquadrato bene la situazione, mi pare.
La forza peso è un vettore orientato sempre verso il basso. Lo sforzo nel filo, applicato alla massa rotante, è un vettore diretto sempre verso il centro. Sforzo e tensione sono la stessa cosa, per intenderci. Scrivi la seconda eq della dinamica in forma vettoriale, e proietta sull’asse y verticale, orientato come vuoi. L’accelerazione centripeta è diretta anche essa verso il centro.
Nelle due posizioni, più in alto e più in basso, quando è maggiore lo sforzo? Se fai un disegno lo vedi meglio.
La forza peso è un vettore orientato sempre verso il basso. Lo sforzo nel filo, applicato alla massa rotante, è un vettore diretto sempre verso il centro. Sforzo e tensione sono la stessa cosa, per intenderci. Scrivi la seconda eq della dinamica in forma vettoriale, e proietta sull’asse y verticale, orientato come vuoi. L’accelerazione centripeta è diretta anche essa verso il centro.
Nelle due posizioni, più in alto e più in basso, quando è maggiore lo sforzo? Se fai un disegno lo vedi meglio.
Il massimo sforzo si ha nel punto più basso e l'equazione é $ T-P=mV²/l $ da cui non mi resta che ricavare T; dico bene?
Ora si: naturalmente queste quantità con segno sono le componenti dei vettori proiettati su un asse y orientato verticalmente verso l’alto. Nel link seguente, trovi descritto il moto di una massa tenuta da un filo, in una circonferenza disposta nel piano verticale; c’è anche la possibilità di mettere dei valori numerici e ricavare i risultati che si vogliono:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hb ... rt.html#c1
Come si vede, la minima velocità che deve avere la massa nel punto più alto si ottiene ponendo uguale a zero la T, per cui la forza centripeta è data dal solo peso, e eliminando m:
$v^2/r= g$ , da cui $v = sqrt(gr)$
Si vede anche che relazione c’è tra la tensione del filo in alto e quella in basso.
Per scrivere bene: $v^2/r$, basta scrivere v^2/r e mettere tra i dollari.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hb ... rt.html#c1
Come si vede, la minima velocità che deve avere la massa nel punto più alto si ottiene ponendo uguale a zero la T, per cui la forza centripeta è data dal solo peso, e eliminando m:
$v^2/r= g$ , da cui $v = sqrt(gr)$
Si vede anche che relazione c’è tra la tensione del filo in alto e quella in basso.
Per scrivere bene: $v^2/r$, basta scrivere v^2/r e mettere tra i dollari.
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