Pendolo che si accorcia
Ciao a tutti, è da un po' che mi sto scervellando su questo problema. Ho un pendolo la cui lunghezza viene ridotta con velcoità costante e *molto lentamente* come in figura.
Vorrei dimostrare che dall'istante $t_1$ in cui $\theta = 0$ all'istante $t_2$ in cui il pendolo è di nuovo in $\theta = 0$ vale
$$\Delta E = - \frac 1 2 \frac {\Delta l}{l} E$$
dove $E$ è l'energia costante dell'oscillazione non disturbata.
Ho provato veramente di tutto... Ormai è una settimana che mi ci arrovello e non riesco a venirne a capo. Qualche idea ?
Vorrei dimostrare che dall'istante $t_1$ in cui $\theta = 0$ all'istante $t_2$ in cui il pendolo è di nuovo in $\theta = 0$ vale
$$\Delta E = - \frac 1 2 \frac {\Delta l}{l} E$$
dove $E$ è l'energia costante dell'oscillazione non disturbata.
Ho provato veramente di tutto... Ormai è una settimana che mi ci arrovello e non riesco a venirne a capo. Qualche idea ?
Risposte
Sicuro che l'energia diminuisca? E che $theta_(max)$ resti costante, come pare dalla tua figura?
A sensazione, mi pare che si debba compiere lavoro per accorciare il filo.
A sensazione, mi pare che si debba compiere lavoro per accorciare il filo.
Ciao,
non sono riuscito ad arrivare alla soluzione, però ti lascio qualche idea:
Puoi studiare il moto nelle due situazioni, ovvero
Nell'istante iniziale ha solo energia cinetica, trovandosi a quota zero, quindi $U_i=0, K_i=1/2mv_1^2$
Mentre nell'istante in cui torna all'assetto iniziale $U_f=mgDeltal, K_f=1/2mv_f^2$
Ma sappiamo che allora
$1/2mv_i^2 = mgl(1-cos(theta))$
$1/2mv_f^2 = mgl_2(1-cos(theta))$
Il loro rapporto ci da
$v_f^2=l_2/lv_i^2$
Ora, utilizzando quanto trovato
$DeltaE = DeltaU + DeltaK = mgDeltal +1/2mv_i^2((Deltal)/l)=mgDeltal+(Deltal)/l*E_i$
Non so se si possa fare qualche altra considerazione su $mgDeltal$ per far saltare fuori quanto richiesto, però anche io penso che l'energia in generale aumenti piuttosto che diminuire dato che ne "assorbe" dal campo gravitazionale
non sono riuscito ad arrivare alla soluzione, però ti lascio qualche idea:
Puoi studiare il moto nelle due situazioni, ovvero
Nell'istante iniziale ha solo energia cinetica, trovandosi a quota zero, quindi $U_i=0, K_i=1/2mv_1^2$
Mentre nell'istante in cui torna all'assetto iniziale $U_f=mgDeltal, K_f=1/2mv_f^2$
Ma sappiamo che allora
$1/2mv_i^2 = mgl(1-cos(theta))$
$1/2mv_f^2 = mgl_2(1-cos(theta))$
Il loro rapporto ci da
$v_f^2=l_2/lv_i^2$
Ora, utilizzando quanto trovato
$DeltaE = DeltaU + DeltaK = mgDeltal +1/2mv_i^2((Deltal)/l)=mgDeltal+(Deltal)/l*E_i$
Non so se si possa fare qualche altra considerazione su $mgDeltal$ per far saltare fuori quanto richiesto, però anche io penso che l'energia in generale aumenti piuttosto che diminuire dato che ne "assorbe" dal campo gravitazionale
"mgrau":
Sicuro che l'energia diminuisca? E che $theta_(max)$ resti costante, come pare dalla tua figura?
A sensazione, mi pare che si debba compiere lavoro per accorciare il filo.
No. L'ampiezza massima aumenta. Quelle line che ho disegnato mi servivano solo per un giochino strano che facevo sui $dl$. In effetti potevo mettere un disegno più chiaro. Inoltre l'energia non diminuisce ma aumenta perché $\Delta l < 0$ quindi il segno meno serve solo a quello.
@caffeinaplus Non ho letto tutti i passaggi, ho dato uno sguardo veloce, ma robe del genere le ho provare e riprovate in tutte le salse. Magari c'è qualcosa che non vedo. Non ne vengo a capo.
Ciao! Io ti mostro quello a cui sono arrivato (che non è il risultato che hai riportato) e poi ne discutiamo.
Supponiamo di avere un corpo puntiforme di massa $m$ attaccato ad un pendolo la cui lunghezza è data dalla legge oraria $l(t)= \alpha t + l_0$ con $|\alpha| \approx 0$. In un sistema di riferimento inerziale $\mathcal{I}$, utilizzando come coordinata lagrangiana l'angolo $\theta$ che il filo forma con la verticale, abbiamo che la Lagrangiana del sistema è:
\begin{equation}
\mathcal{L} = \frac{1}{2}m \bigg(\dot{l}^2 + l^2\dot{\theta}^2 \bigg) - mgl(t)\bigg(1-cos\big(\theta(t)\big)\bigg)
\end{equation}
Poiché sappiamo che $|\alpha| \approx 0$, trascuriamo i termini di ordine superiore al primo in $\alpha$ ed otteniamo:
\begin{equation}
\mathcal{L}(\theta, \dot{\theta},t) \approx \frac{1}{2}m \bigg(2\alpha t l_0 \dot{\theta^2} + l_0^2 \dot{\theta^2} \bigg) - mg(\alpha t + l_0)\bigg(1-cos\big(\theta\big)\bigg)
\end{equation}
Di conseguenza l'energia del sistema è:
\begin{equation}
\mathcal{E}(\theta, \dot{\theta},t) \approx \frac{1}{2}m \bigg(2\alpha t l_0 \dot{\theta^2} + l_0^2 \dot{\theta^2} \bigg) + mg(\alpha t + l_0)\bigg(1-cos\big(\theta\big)\bigg)
\end{equation}
che coincide con la funzione di Hamilton $\mathcal{H} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} \dot{\theta } - \mathcal{L}$, ma non possiamo utilizzare il teorema di Jacobi per determinare la variazione di Energia in quanto i vincoli del sistema (in questo caso il filo) dipendono esplicitamente dal tempo. L' equazione del moto, data dalle equazioni di Eulero-Lagrange:
\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\theta}} =0\\
\frac{d \theta}{dt} = \dot{\theta}
\end{cases}
\end{equation}
è:
\begin{equation}
m(2 l_0 \alpha t +l_0^2)\ddot{\theta} + 2ml_0 \alpha \dot{\theta}+ mg(\alpha t + l_0) \sin(\theta)=0
\end{equation}
che per $\alpha =0$ è esattamente la solita equazione del moto del pendolo. Tale modello vale evidentemente fino a quanto $l(t)>0$. Tale equazione è irrisolvibile in modo analitico, tuttavia facendo qualche supposizione ulteriore possiamo determinare i comportamenti del sistema per qualche configurazione particolare.
Supponiamo che $l_0 + \alpha t \approx l_0$ per un tempo "sufficientemente lungo", allora l'equazione diventa:
\begin{equation}\label{pend}
\ddot{\theta} \approx -\frac{2 \alpha}{l_0} \dot{\theta} -\frac{g}{l_0} \sin(\theta)
\end{equation}
Tale equazione rappresenta il moto di un pendolo con un' "attrito viscoso positivo" ($\alpha<0$), che tende ad aumentare l'energia del sistema. In virtù di ciò l'approssimazione di piccoli angoli, risulta inefficace per tempi lunghi (in quanto l'arrotolare del filo tende ad aumentare l'energia massima del sistema ed a "far scappare" il punto rappresentativo del sistema nello spazio delle fasi fuori da ogni compatto). Di contro se il pendolo si allungasse potremmo utilizzare efficacemente tale approssimazione ottenendo come soluzioni:
\begin{equation}
\theta(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}} cos(\omega_0 t + \phi)
\end{equation}
Siccome stiamo osservando il sistema dopo un periodo, è ragionevole poter utilizzare l'approssimazione $\sin(\theta) \approx \theta$, per cui l'equazione \eqref{pend}, diventa quella di un oscillatore armonico "smorzato":
\begin{equation}\label{armos}
\ddot{\theta} \approx -\frac{2 \alpha}{l_0} \dot{\theta} -\frac{g}{l_0} \theta
\end{equation}
Posto $\gamma = -\frac{2 \alpha}{l_0}$ e $\omega_0^2 = \frac{g}{l_0}$, possiamo risolvere questa equazione usando il polinomio caratteristico, ottenendo come equazione algebrica associata ad \eqref{armos}:
\begin{equation}
\lambda^2 - \gamma \lambda + \omega_0^2 =0
\end{equation}
Le cui soluzioni sono:
\begin{equation}
\lambda_{1,2} = \frac{\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 -4 \omega_0^2}}{2}
\end{equation}
Poiché $\alpha^2< g$, le soluzioni di \eqref{armos} sono dei moti armonici modulati da esponenziali crescenti $\prop e^{\gamma/2}$; di conseguenza l'energia del sistema è:
\begin{equation}
\mathcal{E}(t) \approx \frac{1}{2} A \frac{mg}{l_0} e^{\frac{\gamma t}{2}} = \frac{1}{2} A \frac{mg}{l_0} e^{-\frac{\alpha t}{l_0}}
\end{equation}
Approssimando l'esponenziale al primo ordine otteniamo che:
\begin{equation}
\mathcal{E}(t) \approx \frac{1}{2} A \frac{mg}{l_0} \bigg(1 - \frac{\alpha t}{l_0} \bigg)
\end{equation}
Detta $\mathcal{E}_0 = \frac{1}{2} A \frac{mg}{l_0}$, abbiamo che:
\begin{equation}
\Delta{\mathcal{E}} \approx \mathcal{E}_0 \frac{l_0-l}{l_0}
\end{equation}
Non riesco a capire da dove salti fuori l'$1/2$. Fammi sapere!
Supponiamo di avere un corpo puntiforme di massa $m$ attaccato ad un pendolo la cui lunghezza è data dalla legge oraria $l(t)= \alpha t + l_0$ con $|\alpha| \approx 0$. In un sistema di riferimento inerziale $\mathcal{I}$, utilizzando come coordinata lagrangiana l'angolo $\theta$ che il filo forma con la verticale, abbiamo che la Lagrangiana del sistema è:
\begin{equation}
\mathcal{L} = \frac{1}{2}m \bigg(\dot{l}^2 + l^2\dot{\theta}^2 \bigg) - mgl(t)\bigg(1-cos\big(\theta(t)\big)\bigg)
\end{equation}
Poiché sappiamo che $|\alpha| \approx 0$, trascuriamo i termini di ordine superiore al primo in $\alpha$ ed otteniamo:
\begin{equation}
\mathcal{L}(\theta, \dot{\theta},t) \approx \frac{1}{2}m \bigg(2\alpha t l_0 \dot{\theta^2} + l_0^2 \dot{\theta^2} \bigg) - mg(\alpha t + l_0)\bigg(1-cos\big(\theta\big)\bigg)
\end{equation}
Di conseguenza l'energia del sistema è:
\begin{equation}
\mathcal{E}(\theta, \dot{\theta},t) \approx \frac{1}{2}m \bigg(2\alpha t l_0 \dot{\theta^2} + l_0^2 \dot{\theta^2} \bigg) + mg(\alpha t + l_0)\bigg(1-cos\big(\theta\big)\bigg)
\end{equation}
che coincide con la funzione di Hamilton $\mathcal{H} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} \dot{\theta } - \mathcal{L}$, ma non possiamo utilizzare il teorema di Jacobi per determinare la variazione di Energia in quanto i vincoli del sistema (in questo caso il filo) dipendono esplicitamente dal tempo. L' equazione del moto, data dalle equazioni di Eulero-Lagrange:
\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\theta}} =0\\
\frac{d \theta}{dt} = \dot{\theta}
\end{cases}
\end{equation}
è:
\begin{equation}
m(2 l_0 \alpha t +l_0^2)\ddot{\theta} + 2ml_0 \alpha \dot{\theta}+ mg(\alpha t + l_0) \sin(\theta)=0
\end{equation}
che per $\alpha =0$ è esattamente la solita equazione del moto del pendolo. Tale modello vale evidentemente fino a quanto $l(t)>0$. Tale equazione è irrisolvibile in modo analitico, tuttavia facendo qualche supposizione ulteriore possiamo determinare i comportamenti del sistema per qualche configurazione particolare.
Supponiamo che $l_0 + \alpha t \approx l_0$ per un tempo "sufficientemente lungo", allora l'equazione diventa:
\begin{equation}\label{pend}
\ddot{\theta} \approx -\frac{2 \alpha}{l_0} \dot{\theta} -\frac{g}{l_0} \sin(\theta)
\end{equation}
Tale equazione rappresenta il moto di un pendolo con un' "attrito viscoso positivo" ($\alpha<0$), che tende ad aumentare l'energia del sistema. In virtù di ciò l'approssimazione di piccoli angoli, risulta inefficace per tempi lunghi (in quanto l'arrotolare del filo tende ad aumentare l'energia massima del sistema ed a "far scappare" il punto rappresentativo del sistema nello spazio delle fasi fuori da ogni compatto). Di contro se il pendolo si allungasse potremmo utilizzare efficacemente tale approssimazione ottenendo come soluzioni:
\begin{equation}
\theta(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}} cos(\omega_0 t + \phi)
\end{equation}
Siccome stiamo osservando il sistema dopo un periodo, è ragionevole poter utilizzare l'approssimazione $\sin(\theta) \approx \theta$, per cui l'equazione \eqref{pend}, diventa quella di un oscillatore armonico "smorzato":
\begin{equation}\label{armos}
\ddot{\theta} \approx -\frac{2 \alpha}{l_0} \dot{\theta} -\frac{g}{l_0} \theta
\end{equation}
Posto $\gamma = -\frac{2 \alpha}{l_0}$ e $\omega_0^2 = \frac{g}{l_0}$, possiamo risolvere questa equazione usando il polinomio caratteristico, ottenendo come equazione algebrica associata ad \eqref{armos}:
\begin{equation}
\lambda^2 - \gamma \lambda + \omega_0^2 =0
\end{equation}
Le cui soluzioni sono:
\begin{equation}
\lambda_{1,2} = \frac{\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 -4 \omega_0^2}}{2}
\end{equation}
Poiché $\alpha^2< g$, le soluzioni di \eqref{armos} sono dei moti armonici modulati da esponenziali crescenti $\prop e^{\gamma/2}$; di conseguenza l'energia del sistema è:
\begin{equation}
\mathcal{E}(t) \approx \frac{1}{2} A \frac{mg}{l_0} e^{\frac{\gamma t}{2}} = \frac{1}{2} A \frac{mg}{l_0} e^{-\frac{\alpha t}{l_0}}
\end{equation}
Approssimando l'esponenziale al primo ordine otteniamo che:
\begin{equation}
\mathcal{E}(t) \approx \frac{1}{2} A \frac{mg}{l_0} \bigg(1 - \frac{\alpha t}{l_0} \bigg)
\end{equation}
Detta $\mathcal{E}_0 = \frac{1}{2} A \frac{mg}{l_0}$, abbiamo che:
\begin{equation}
\Delta{\mathcal{E}} \approx \mathcal{E}_0 \frac{l_0-l}{l_0}
\end{equation}
Non riesco a capire da dove salti fuori l'$1/2$. Fammi sapere!
@Masaki, ora non ho il tempo di controllare tutti i passaggi in maniera dettagliata, ma lo farò senz'altro stasera. L'unica cosa che mi premeva dire è che, la tua Lagrangiana non è la stessa da cui sono partito io. Secondo me il termine $2l \dot l \theta \dot \theta$ lo potresti anche levare. Io come lagrangiana ho scritto semplicemente
$$L = \frac 1 2 m (\dot l^2 + l^2 \dot \theta^2) - mgl \frac {\theta^2} 2$$
(dove ho usato l'approssimazione di angoli piccoli).
Questa lagrangiana, secondo me, la puoi ricavare facilmente pensando ad un corpo che si muove in 2D in coordinate polari (la cui energia cinetica è dunque $T = \frac 1 2 m (\dot r^2 + r^2 \dot \theta ^2)$) aggiungendo la condizione (il vincolo) $r = ct$ dove $c$ è la velocità con cui si accorcia il filo. Eliminando la variabile $r$ ottengo la lagrangiana di partenza.
Magari partendo da questa Lagrangiana i conti si semplificano.
PS: il libro da cui ho tratto l'esercizio sembrerebbe che inviti ad usate il "teorema dell'energia" ovvero $$\Delta E = \int_{t_1}^{t_2} \frac {\partial L}{\partial t} dt$$ soltanto che, ahimè, non riesco a calcolare quel rognoso integrale.
PSS: comunque grazie mille per aver l'impegno messo nella risposta. Devi averci messo un bel po' a calcolare tutto quanto!! Grazie mille
!
$$L = \frac 1 2 m (\dot l^2 + l^2 \dot \theta^2) - mgl \frac {\theta^2} 2$$
(dove ho usato l'approssimazione di angoli piccoli).
Questa lagrangiana, secondo me, la puoi ricavare facilmente pensando ad un corpo che si muove in 2D in coordinate polari (la cui energia cinetica è dunque $T = \frac 1 2 m (\dot r^2 + r^2 \dot \theta ^2)$) aggiungendo la condizione (il vincolo) $r = ct$ dove $c$ è la velocità con cui si accorcia il filo. Eliminando la variabile $r$ ottengo la lagrangiana di partenza.
Magari partendo da questa Lagrangiana i conti si semplificano.
PS: il libro da cui ho tratto l'esercizio sembrerebbe che inviti ad usate il "teorema dell'energia" ovvero $$\Delta E = \int_{t_1}^{t_2} \frac {\partial L}{\partial t} dt$$ soltanto che, ahimè, non riesco a calcolare quel rognoso integrale.
PSS: comunque grazie mille per aver l'impegno messo nella risposta. Devi averci messo un bel po' a calcolare tutto quanto!! Grazie mille
!
Si si può omettere perché è esprimibile come derivata totale nel tempo di una funzione che dipende da $\theta$ e $t$ (infatti se noti non dà contributi alle equazioni del moto). In effetti aveva senso usare l'espressione in polari, senza stare li a fare i conti esplicitamente. Sono un po' arrugginito di Meccanica Analitica. Comunque ai fini delle equazioni del moto il risultato è identico (e tra l'altro a conferma di ciò il fatto che per $\alpha=0$ tornano le equazioni del pendolo matematico).
1) Non saprei se tu possa usare quell'identità lì, perché non siamo nelle ipotesi del teorema di Jacobi.
2) Figurati, come sempre si impiega molto più tempo a scrivere in latex che a fare i conti. Poi l'esercizio era molto carino e mi aveva preso
1) Non saprei se tu possa usare quell'identità lì, perché non siamo nelle ipotesi del teorema di Jacobi.
2) Figurati, come sempre si impiega molto più tempo a scrivere in latex che a fare i conti. Poi l'esercizio era molto carino e mi aveva preso
Il problema posto è facilmente risolvibile affrontando la teoria degli invarianti adiabatici. Infatti, per un oscillatore armonico:
Non resta che differenziare rispetto alle due variabili $E$ e $l$:
Ad ogni modo, meglio avere almeno un riferimento bibliografico:
Invariante adiabatico I
$[I=E/\omega] ^^ [\omega=sqrt(g/l)] rarr [I=Esqrt(l/g)]$
Non resta che differenziare rispetto alle due variabili $E$ e $l$:
$[\DeltaI=0] rarr [\DeltaE*sqrt(l/g)+E*1/2sqrt(g/l)1/g\Deltal=0] rarr [(\DeltaE)/E=-1/2(\Deltal)/l]$
Ad ogni modo, meglio avere almeno un riferimento bibliografico:
Landau, Meccanica
@anonymous_0b37e9 Grazie mille! Purtroppo questa teoria degli invarianti adiabatici mi è nuova e a giudica dall'indice del libro che sto leggendo non è contenuta nel mio libro. Cercherò di vedere cosa dice il Landau. Grazie ancora!
"Masaki":
Si si può omettere perché è esprimibile come derivata totale nel tempo di una funzione che dipende da θ e t (infatti se noti non dà contributi alle equazioni del moto).
Comunque non ho ben capito questa cosa. Che non dà contributi alle equazioni di moto di moto l'ho verificato per brutale differenziazione, ma non ho capito il motivo fisico che ci sta dietro. Se per esempio la lunghezza del raggio cambiasse con funzione arbitraria $l=f(t)$ il termine non mi pare vada via. Però, procedendo come ho fatto io, ragionando sul moto in coordinate polari quel termine non salta proprio fuori... Dove starebbe l'inghippo ?
Supponiamo di conoscere una Lagrangiana, che per comodità assumiamo funzione di una sola coordinata lagrangiana $q$. Se introduciamo una modifica alla Lagrangiana nota mediante la derivata totale nel tempo di una funzione $f(q,t)$[nota]di classe $\mathcal{C}^2$[/nota]:
\begin{equation}
L'(q, \dot{q},t)= L(q, \dot{q},t) + \frac{d f}{dt}(q,t)
\end{equation}
abbiamo che le equazioni di Eulero-Lagrange sono identiche per $L$ ed $L'$:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{d}{dt} \frac{\partial L'}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L'}{\partial q} &= \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} + \frac{d}{dt} \frac{\partial }{\partial \dot{q}} \bigg( \frac{\partial f}{\partial q} \dot{q} + \frac{\partial f}{\partial t} \bigg) - \frac{\partial }{\partial q} \bigg( \frac{\partial f}{\partial q} \dot{q} + \frac{\partial f}{\partial t} \bigg)\\
&= \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} + \frac{\partial^2 f}{\partial q^2} \dot{q} + \frac{\partial^2 f}{\partial t \partial q} - \frac{\partial^2 f}{\partial q^2} \dot{q} -\frac{\partial^2 f}{\partial t \partial q}\\
&= \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q}
\end{aligned}
\end{equation}
Poi vedere questa $\frac{df}{dt}$ come una libertà ulteriore che ti offre il sistema[nota]simile ai Gauge dei potenziali elettromagnetici[/nota], che generalizza ad esempio il concetto del poter sommare una costante al potenziale senza cambiare la "fisica" del sistema. L'introduzione del termine $\frac{df}{dt}$ rappresenta tutta una serie di trasformazioni che puoi fare alla Lagrangiana senza che cambino le equazioni del moto del sistema. Perché ci interessano questo tipo di trasformazioni che lasciano inalterate le equazioni del moto[nota]Dal punto di vista puramente matematico, tutte le Lagrangiane che differiscono per un termine del tipo $\frac{df}{dt}$ formano una classe di equivalenza, ottenuta dalla relazione di equivalenza "avere le stesse equazioni del moto". Tutte queste Lagrangiane sono matematicamente e fisicamente equivalenti[/nota]? Beh, perché la fisica sta "solo" in queste equazioni e nelle quantità che vi compaiono: posizione, velocità, accellerazione ... La Lagrangiana, come l'energia o il momento angolare, non hanno di per sè nessun significato fisico, non sono altro che delle quantità astratte con cui è più semplice fare i conti. E' lo stesso discorso che fai quando introduci i gauge di Lorentz o Coulomb:possiamo introdurre a piacere delle modifiche ai potenziali, in modo da semplificare i conti, purché non cambino i campi, che sono ciò che misuro (quindi qualcosa di Fisico) mediante una carica di prova.
Seconda cosa, la dipendenza funzionale della lunghezza dal tempo non ha alcun ruolo incisivo in questo discorso, in quanto l'avrei approssimata al primo ordine in ogni caso; inoltre nell'energia cinetica compare il termine $\dot{l}^2$ che non può essere espresso come derivata totale nel tempo di una funzione dipendente solo da $\theta$ e $t$.
Comunque non è che potresti dare un' occhiata ai conti che non riesco a capire da dove salti fuori l'$1/2$?
Grazie
\begin{equation}
L'(q, \dot{q},t)= L(q, \dot{q},t) + \frac{d f}{dt}(q,t)
\end{equation}
abbiamo che le equazioni di Eulero-Lagrange sono identiche per $L$ ed $L'$:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{d}{dt} \frac{\partial L'}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L'}{\partial q} &= \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} + \frac{d}{dt} \frac{\partial }{\partial \dot{q}} \bigg( \frac{\partial f}{\partial q} \dot{q} + \frac{\partial f}{\partial t} \bigg) - \frac{\partial }{\partial q} \bigg( \frac{\partial f}{\partial q} \dot{q} + \frac{\partial f}{\partial t} \bigg)\\
&= \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} + \frac{\partial^2 f}{\partial q^2} \dot{q} + \frac{\partial^2 f}{\partial t \partial q} - \frac{\partial^2 f}{\partial q^2} \dot{q} -\frac{\partial^2 f}{\partial t \partial q}\\
&= \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q}
\end{aligned}
\end{equation}
Poi vedere questa $\frac{df}{dt}$ come una libertà ulteriore che ti offre il sistema[nota]simile ai Gauge dei potenziali elettromagnetici[/nota], che generalizza ad esempio il concetto del poter sommare una costante al potenziale senza cambiare la "fisica" del sistema. L'introduzione del termine $\frac{df}{dt}$ rappresenta tutta una serie di trasformazioni che puoi fare alla Lagrangiana senza che cambino le equazioni del moto del sistema. Perché ci interessano questo tipo di trasformazioni che lasciano inalterate le equazioni del moto[nota]Dal punto di vista puramente matematico, tutte le Lagrangiane che differiscono per un termine del tipo $\frac{df}{dt}$ formano una classe di equivalenza, ottenuta dalla relazione di equivalenza "avere le stesse equazioni del moto". Tutte queste Lagrangiane sono matematicamente e fisicamente equivalenti[/nota]? Beh, perché la fisica sta "solo" in queste equazioni e nelle quantità che vi compaiono: posizione, velocità, accellerazione ... La Lagrangiana, come l'energia o il momento angolare, non hanno di per sè nessun significato fisico, non sono altro che delle quantità astratte con cui è più semplice fare i conti. E' lo stesso discorso che fai quando introduci i gauge di Lorentz o Coulomb:possiamo introdurre a piacere delle modifiche ai potenziali, in modo da semplificare i conti, purché non cambino i campi, che sono ciò che misuro (quindi qualcosa di Fisico) mediante una carica di prova.
Seconda cosa, la dipendenza funzionale della lunghezza dal tempo non ha alcun ruolo incisivo in questo discorso, in quanto l'avrei approssimata al primo ordine in ogni caso; inoltre nell'energia cinetica compare il termine $\dot{l}^2$ che non può essere espresso come derivata totale nel tempo di una funzione dipendente solo da $\theta$ e $t$.
Comunque non è che potresti dare un' occhiata ai conti che non riesco a capire da dove salti fuori l'$1/2$?
Grazie
"Masaki":
Comunque non è che potresti dare un' occhiata ai conti che non riesco a capire da dove salti fuori l'12?
Non ho capito come hai calcolato l'energia nell (12), ma per il resto i conti mi paiono corretti... Almeno li ho rifatti seguendo il tuo procedimento e mi tornano... Magari non è lecita qualche approssimazione, ma non saprei proprio...
Comunque non ho ancora capito una cosa riguardo a quel termine che se ne deva andare via. La tua dimostrazione matematica mi torna, ma non ho capito come fai a dire che ##2l\dot l \theta \dot \theta## lo puoi scrivere come derivata di una funzione delle sole variabili ##\theta## e ##t##, e poi perché invece ##\dot l^2## no? Scusa la domanda stupida.
Quella in $(12)$ è l'energia di un oscillatore armonico smorzato positivamente, cioè con oscillazioni modulate da un esponenziale crescente. Credo che il motivo per cui venga il doppio del risultato sia che vengano considerate il doppio delle oscillazioni.
In ogni caso per quanto riguarda il termine $l \dot{l}\theta \dot{\theta}$ (nel caso in esame con le conseguenti approssimazioni) esso può essere visto come derivata di $\theta^2$ con altra roba, mentre in generale non puoi esprimere la grandezza $dot{l}^2 \theta^2$ come una derivata totale.
Se non sei convinto puoi pensarla così: la posizione di un punto in un piano usando le coordinate polari può essere scritta come:
\begin{equation}
\begin{cases}
x = r \cos(\theta)\\
y = r \sin(\theta)
\end{cases}
\end{equation}
dove $\theta \in (0, 2 \pi)$ e $r \in (0 , +\infty)$[nota]Vengono scelti dei sottoinsiemi aperti in modo tale da definire un diffeomorfismo da $\mathbb{R}^2$ a $(0, 2 \pi) \oplus (0,+\infty)$. In questo modo si riesce a rappresentare il piano ad eccezione di un numero di punti di misura di Lebesgue nulla, ovvero il semiasse negativo con l'origine. I risultati espressi in coordinate polari, definiti in $(0, 2 \pi) \oplus (0,+\infty)$, vanno poi estesi per continuità a tutto $\mathbb{R}^2$.[/nota]. Se interpretiamo $r, \theta$ come funzioni del tempo la velocità del punto può essere scritta come:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{x} = \dot{r} \cos(\theta) - r \sin(\theta) \dot{\theta} \\
\dot{y} = \dot{r} \sin(\theta) +r \cos(\theta) \dot{\theta}
\end{cases}
\end{equation}
L'energia cinetica è:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{T}(r, \dot{r},\theta, \dot{\theta},t) &= \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2)\\
& = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 \cos(\theta)^2 + r^2 \sin(\theta)^2 \dot{\theta}^2 - 2\dot{r} r \sin(\theta) \cos(\theta) \dot{\theta} + \dot{r}^2 \sin(\theta)^2 + r^2 \cos(\theta)^2 \dot{\theta}^2 + 2\dot{r} r \sin(\theta) \cos(\theta) \dot{\theta})\\
&= \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2)
\end{aligned}
\end{equation}
Anzi adesso che ci penso, ho sbagliato a scrivere giù la lagrangiana in quanto ho usato la lunghezza d'arco invece che la posizione, anche se per via delle approssimazioni, sono arrivato alla stessa lagrangiana a cui sarei arrivato procedendo correttamente (provo a correggere).
In ogni caso per quanto riguarda il termine $l \dot{l}\theta \dot{\theta}$ (nel caso in esame con le conseguenti approssimazioni) esso può essere visto come derivata di $\theta^2$ con altra roba, mentre in generale non puoi esprimere la grandezza $dot{l}^2 \theta^2$ come una derivata totale.
Se non sei convinto puoi pensarla così: la posizione di un punto in un piano usando le coordinate polari può essere scritta come:
\begin{equation}
\begin{cases}
x = r \cos(\theta)\\
y = r \sin(\theta)
\end{cases}
\end{equation}
dove $\theta \in (0, 2 \pi)$ e $r \in (0 , +\infty)$[nota]Vengono scelti dei sottoinsiemi aperti in modo tale da definire un diffeomorfismo da $\mathbb{R}^2$ a $(0, 2 \pi) \oplus (0,+\infty)$. In questo modo si riesce a rappresentare il piano ad eccezione di un numero di punti di misura di Lebesgue nulla, ovvero il semiasse negativo con l'origine. I risultati espressi in coordinate polari, definiti in $(0, 2 \pi) \oplus (0,+\infty)$, vanno poi estesi per continuità a tutto $\mathbb{R}^2$.[/nota]. Se interpretiamo $r, \theta$ come funzioni del tempo la velocità del punto può essere scritta come:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{x} = \dot{r} \cos(\theta) - r \sin(\theta) \dot{\theta} \\
\dot{y} = \dot{r} \sin(\theta) +r \cos(\theta) \dot{\theta}
\end{cases}
\end{equation}
L'energia cinetica è:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{T}(r, \dot{r},\theta, \dot{\theta},t) &= \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2)\\
& = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 \cos(\theta)^2 + r^2 \sin(\theta)^2 \dot{\theta}^2 - 2\dot{r} r \sin(\theta) \cos(\theta) \dot{\theta} + \dot{r}^2 \sin(\theta)^2 + r^2 \cos(\theta)^2 \dot{\theta}^2 + 2\dot{r} r \sin(\theta) \cos(\theta) \dot{\theta})\\
&= \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2)
\end{aligned}
\end{equation}
Anzi adesso che ci penso, ho sbagliato a scrivere giù la lagrangiana in quanto ho usato la lunghezza d'arco invece che la posizione, anche se per via delle approssimazioni, sono arrivato alla stessa lagrangiana a cui sarei arrivato procedendo correttamente (provo a correggere).
Non pensavo fosse una formula nota la $(12)$. A questo punto non saprei proprio cosa dire... Rifarò di nuovo i conti. Anche se inizio ad averci speso troppo tempo e gli esami sono alle porte 
Ma vai tra vez. Fai gli esami e quanto hai tempo fammi sapere
Scusate se ritorno. Una domanda stupida: ipotizzando che accorciandosi il pendolo passi da stati di equilibrio, ovvero stadi in cui le soluzio all'equazione del moto sono le calssiche che tutti conosciamo. si può dire che *in media* il potenziale gravitazionale tra uno stadio (1) e uno stadio (2), a seguito di una lentissima variazione della lunghezza, si aumentato di $mg∆l$. Secondo me sì, ma ci sono arrivato con uno strano ragionamento geometrico di cui non sono affatto sicuro.
PS: chiedo perché se ciò fosse vero allora l'esercizio sarebbe banalmente risolvibile col teorema del virtuale
PS: chiedo perché se ciò fosse vero allora l'esercizio sarebbe banalmente risolvibile col teorema del virtuale
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