Pendolo appeso a una giostra in movimento
Ciao! Vorrei sapere se ho risolto correttamente questo problema.
Una giostra di raggio R ruota con velocità angolare w. Al suo bordo è appeso un pendolo semplice di lunghezza L e massa m. In condizioni di equilibrio si determini l’angolo formato dal pendolo rispetto alla verticale.
Ho considerato che sul pendolo agiscono 3 forze: la tensione diretta nel verso del filo, la forza peso diretta verso il basso e la forza centripeta dovuta al moto della giostra diretta verso l'esterno. In condizione di equilibrio la sommatoria delle forze deve essere nulla quindi ho considerato un sistema di riferimento avente l'asse y con la stessa direzione del filo e ho uguagliato la forza peso parallela e la forza centripeta parallela.
$mgsen(theta)=mw^(2)Rcos(theta)$
(dove $theta$ è l'angolo da trovare, R il raggio della giostra e w la velocità angolare della giostra)
A questo punto si può ricavare l'angolo, ma non sono sicura che il procedimento sia corretto perchè non ho utilizzato la lunghezza del filo e perchè non sono sicura di poter applicare la forza centripeta generata dalla giostra direttamente al pendolo. Potete correggermi se ho sbagliato qualcosa ? Grazie
Una giostra di raggio R ruota con velocità angolare w. Al suo bordo è appeso un pendolo semplice di lunghezza L e massa m. In condizioni di equilibrio si determini l’angolo formato dal pendolo rispetto alla verticale.
Ho considerato che sul pendolo agiscono 3 forze: la tensione diretta nel verso del filo, la forza peso diretta verso il basso e la forza centripeta dovuta al moto della giostra diretta verso l'esterno. In condizione di equilibrio la sommatoria delle forze deve essere nulla quindi ho considerato un sistema di riferimento avente l'asse y con la stessa direzione del filo e ho uguagliato la forza peso parallela e la forza centripeta parallela.
$mgsen(theta)=mw^(2)Rcos(theta)$
(dove $theta$ è l'angolo da trovare, R il raggio della giostra e w la velocità angolare della giostra)
A questo punto si può ricavare l'angolo, ma non sono sicura che il procedimento sia corretto perchè non ho utilizzato la lunghezza del filo e perchè non sono sicura di poter applicare la forza centripeta generata dalla giostra direttamente al pendolo. Potete correggermi se ho sbagliato qualcosa ? Grazie
Risposte
Più che altro, hai sbagliato qualche concetto importante. Ti consiglio di ripassare la teoria, e soprattutto di capire bene la differenza tra forza centripeta e forza centrifuga , perché qui cascano molti.
Devi prima di tutto imparare a ragionare in base al sistema di riferimento nel quale ti metti, e vuoi considerare le forze agenti.
1) Riferimento inerziale , di un osservatore esterno alla giostra.
La massa ruota con la giostra , le forze effettivamente applicate sono due, cioè il peso $vecP$ e la tensione $vecT$ nel filo. La loro risultante è la forza centripeta , diretta radialmente verso il centro, che ha l'effetto di modificare istante dopo istante la traiettoria della massa, facendole descrivere una circonferenza. L'equazione del moto è data da :
$mveca = vecT + vecP$ .
Al primo membro c'è la forza centripeta , risultante di $vecT$ e $vecP$ . Se proietti l'equazione sull'asse verticale hai :
$Tcos\theta = P = mg$
Se proietti l'equazione sull'asse orizzontale hai : $m\omega^2*r = Tsen\theta$
dove $r$ è il raggio della circonferenza, legato alla lunghezza del filo e all'angolo $theta$ da una semplice relazione trigonometrica. Siccome conosci $\omega$ , ti puoi ricavare la tensione nel filo e l'angolo di equilibrio.
2) riferimento non inerziale, a cui è solidale un osservatore rotante con la giostra.
Nel riferimento rotante, l'osservatore dice che la massa è in equilibrio, cioè in quiete, perché su di essa agiscono due forze reali e una forza apparente, dovuta alla rotazione del riferimento, che è appunto la forza centrifuga. Perciò nel riferimento rotante hai : $vecP + vecT + vecF_c = 0 $ .
LAscio a te continuare un po'. La meta non è lontana.
Devi prima di tutto imparare a ragionare in base al sistema di riferimento nel quale ti metti, e vuoi considerare le forze agenti.
1) Riferimento inerziale , di un osservatore esterno alla giostra.
La massa ruota con la giostra , le forze effettivamente applicate sono due, cioè il peso $vecP$ e la tensione $vecT$ nel filo. La loro risultante è la forza centripeta , diretta radialmente verso il centro, che ha l'effetto di modificare istante dopo istante la traiettoria della massa, facendole descrivere una circonferenza. L'equazione del moto è data da :
$mveca = vecT + vecP$ .
Al primo membro c'è la forza centripeta , risultante di $vecT$ e $vecP$ . Se proietti l'equazione sull'asse verticale hai :
$Tcos\theta = P = mg$
Se proietti l'equazione sull'asse orizzontale hai : $m\omega^2*r = Tsen\theta$
dove $r$ è il raggio della circonferenza, legato alla lunghezza del filo e all'angolo $theta$ da una semplice relazione trigonometrica. Siccome conosci $\omega$ , ti puoi ricavare la tensione nel filo e l'angolo di equilibrio.
2) riferimento non inerziale, a cui è solidale un osservatore rotante con la giostra.
Nel riferimento rotante, l'osservatore dice che la massa è in equilibrio, cioè in quiete, perché su di essa agiscono due forze reali e una forza apparente, dovuta alla rotazione del riferimento, che è appunto la forza centrifuga. Perciò nel riferimento rotante hai : $vecP + vecT + vecF_c = 0 $ .
LAscio a te continuare un po'. La meta non è lontana.
Grazie mille, ora provo a rifarlo da capo. Ma il sistema di riferimento lo posso scegliere io? L'importante è che io mantenga lo stesso sistema di riferimento durante tutta la risoluzione giusto?
Certo, ma è importante risolvere questi esercizi in entrambi i riferimenti, per capire i diversi punti di vista.
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