Pendolo
Se ho un pendolo di lunghezza $l$ e un angolo di partenza $\theta_0$, il testo mi dice "Quando l'ampiezza delle oscillazioni non è piccola il moto è ancora periodico, ma non armonico, e il periodo $T'$dipende dall'ampiezza; detta $∆T=T'-T$ la differenza tra periodo vero e quello $T=sqrt(\frac{l}{g})$ si ha che $∆T/T$ in funzione di $\theta_0$ fino al valore di $\theta_0=90°$, dove $T'=1.16T$"
Non capisco perché il moto è ancora periodico e da dove esce quell'$1.16$.
È urgente per favore
Non capisco perché il moto è ancora periodico e da dove esce quell'$1.16$.
È urgente per favore
Risposte
Considera la semicirconferenza che deve essere percorsa, di lunghezza $piL$.
Chiama $theta$ l'angolo che il raggio che va all'archetto $Ld theta$ forma con l'orizzontale. Quindi $theta$ va da $0$ a $pi$.
La velocità che il pendolo ha percorrendo l'archetto è data da $sqrt(2gh)$ dove $h = L sin theta$.
Il tempo che ci mette a percorrere l'archetto è $(Ld theta)/sqrt(2Lgsin theta)$
Integri fra $0$ e $pi$ e sai quanto ci mette a percorrere il semicerchio.
Trovi il periodo delle piccole oscillazioni, fai il rapporto e, se sei fortunato, ti esce 1,16...
Chiama $theta$ l'angolo che il raggio che va all'archetto $Ld theta$ forma con l'orizzontale. Quindi $theta$ va da $0$ a $pi$.
La velocità che il pendolo ha percorrendo l'archetto è data da $sqrt(2gh)$ dove $h = L sin theta$.
Il tempo che ci mette a percorrere l'archetto è $(Ld theta)/sqrt(2Lgsin theta)$
Integri fra $0$ e $pi$ e sai quanto ci mette a percorrere il semicerchio.
Trovi il periodo delle piccole oscillazioni, fai il rapporto e, se sei fortunato, ti esce 1,16...
Quando l'ampiezza delle oscillazioni non è piccola il moto è ancora periodico, ma non armonico
Mi viene difficile crederlo...se fai partire il pendolo con ampiezza "abbastanza grande" il moto è praticamente casuale...
"Vulplasir":Quando l'ampiezza delle oscillazioni non è piccola il moto è ancora periodico, ma non armonico
Mi viene difficile crederlo...se fai partire il pendolo con ampiezza "abbastanza grande" il moto è praticamente casuale...
Cosa intendi?
https://php.math.unifi.it/archimede/arc ... uygens.jpg
Intendo una cosa del genere, se non c'è la guida a "guidare" il filo, allora se le ampiezze delle oscillazioni sono abbastanza grandi c'è il rischio che il filo non sia in trazione, soprattutto nei punti estremi dell'oscillazione
Intendo una cosa del genere, se non c'è la guida a "guidare" il filo, allora se le ampiezze delle oscillazioni sono abbastanza grandi c'è il rischio che il filo non sia in trazione, soprattutto nei punti estremi dell'oscillazione
Ho riportato le esatte parole del libro ...
Quell'$1.16$ però da dove esce??
Quell'$1.16$ però da dove esce??
Probabilmente esce dalla relazione
$T/T_0\approx 1+1/16 theta_0^2+11/3072\theta_0^4+ 173 / \text{737280} \theta_0^6+ ...$
Sarei comunque curioso di vedere un'immagine di quel testo.
$T/T_0\approx 1+1/16 theta_0^2+11/3072\theta_0^4+ 173 / \text{737280} \theta_0^6+ ...$
Sarei comunque curioso di vedere un'immagine di quel testo.
Magari, "ampiezza abbastanza grande" si può ragionevolmente supporre che sia limitata al semicerchio inferiore, così il filo resta sempre bello teso. Ma non vi piace il mio integrale per il calcolo del periodo?
"mgrau":
... Ma non vi piace il mio integrale per il calcolo del periodo?
Certo che ci piace, e attendiamo con impazienza il risultato dell' "integrazione"!
@RenzoDF Devo dire che mi sfugge il motivo dell'ironia, ma lasciamo perdere.
L'integrale in questione è certamente troppo difficile per me, ma il valore numerico di $int_(0)^(pi) 1/sqrt(sin theta)d theta = 5.244$, e poi $T = 5.244 *sqrt(L/(2g))$
Invece, il semiperiodo di un pendolo di lunghezza $L$ è $T' = pisqrt(L/g)$
Il rapporto $(T')/T = 5.244/sqrt 2*1/pi = 1.18$, è abbastanza somigliante al misterioso 1.16
L'integrale in questione è certamente troppo difficile per me, ma il valore numerico di $int_(0)^(pi) 1/sqrt(sin theta)d theta = 5.244$, e poi $T = 5.244 *sqrt(L/(2g))$
Invece, il semiperiodo di un pendolo di lunghezza $L$ è $T' = pisqrt(L/g)$
Il rapporto $(T')/T = 5.244/sqrt 2*1/pi = 1.18$, è abbastanza somigliante al misterioso 1.16
"mgrau":
@RenzoDF Devo dire che mi sfugge il motivo dell'ironia,
L'ironia è dovuta al fatto che notavo che non ti eri accorto che quello è un integrale ellittico e quindi non è esprimibile attaverso una primitiva elementare ma al più attraverso una serie.
"mgrau":
... Il rapporto $(T')/T = 5.244/sqrt 2*1/pi = 1.18$, è abbastanza somigliante al misterioso 1.16
Certo, e quel valore approssimato è lo stesso che si ottiene attraverso la somma dei primi termini della serie di potenze indicata nel mio precedente post e che in più occasioni si è cercato di mettere sotto forma di una funzione approssimante.
Devo ammettere che non ho una grande familiarità con gli integrali ellittici...
Perfetto, il tutto esula dalle mie attuali conoscenze!
Il libro comunque è il Mazzoldi
Il libro comunque è il Mazzoldi
... pagina?
PS ... pagina 50; dalla quale si comprende che il Mazzoldi va a ricavare il suddetto valore 0.16 direttamente
dal diagramma di \(\Delta T/T\) in funzione di $\theta_0$ di fig. 2.18, ottenendo $T^{\prime}\approx 1.16\ T$. (Mistero svelato! 
)
Per i più curiosi sull'argomento, un primo link per approfondire
https://www.researchgate.net/profile/Djilali_Amrani/publication/236972340_Approximation_expressions_for_the_large-angle_period_of_a_simple_pendulum_revisited/links/54ef7d4f0cf2495330e2796e/Approximation-expressions-for-the-large-angle-period-of-a-simple-pendulum-revisited.pdf
PS ... pagina 50; dalla quale si comprende che il Mazzoldi va a ricavare il suddetto valore 0.16 direttamente
dal diagramma di \(\Delta T/T\) in funzione di $\theta_0$ di fig. 2.18, ottenendo $T^{\prime}\approx 1.16\ T$. (Mistero svelato! )Per i più curiosi sull'argomento, un primo link per approfondire
https://www.researchgate.net/profile/Djilali_Amrani/publication/236972340_Approximation_expressions_for_the_large-angle_period_of_a_simple_pendulum_revisited/links/54ef7d4f0cf2495330e2796e/Approximation-expressions-for-the-large-angle-period-of-a-simple-pendulum-revisited.pdf
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