Passaggio teoria Hamiltoniana

[vastità]

Ciao, torno a importunarvi nello specifico per quanto riguarda l'ultimo passaggio nella pic (proprio ultima riga).

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Cito la pagina precedente econtinuo mettendo la foto del testo a seguire

Per maggiore chiarezza nelle formule che seguiranno, denotiamo con
$u^(\lambda)=U^(\lambda)(q^\mu,p_\mu)$



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Spero possa bastare solo questo stralcio, in teoria sì perché deve essere una proprietà della derivazione che non vedo, insomma me viene qualcosa di diverso


Merci

[Sk_Anonymous]

È una semplice derivazione di funzione composta. La variabile di derivazione è anche dentro U. Magari la conosci come regola della catena? È solo un nome inventato per confondere le acque per me, ma ho notato che ad alcuni induce la giusta epifania.

[vastità]

Ciao Nikikinki, grazie per la risposta.

Ti dirò, in realtà sono giunto qui dopo averprovato la regola della catena, devo aver sbagliato qualcosa perché non mi torna. Mumble.

[Sk_Anonymous]

Visto che sono senza PC ho difficoltà a scrivere le formule. Scrivi tu come hai applicato la regola di derivazione in modo che mi sia più semplice farti notare dove sia l'errore, anche se non ci sono molti conti da fare il risulto si ottiene direttamente. Magari, visivamente, in quel risultato inverti l'ordine delle due derivate parziali bel secondo addendo e non farti ingannare dal fatto che a volte si usa u e a volte U, è la stessa cosa, c'è una ugualglianza tra le due.

[vastità]

Ciao, purtroppo tra mille esami e argomenti da studiare non sono riuscito a ritornare sull'argomento fino ad oggi (l'avevo accetata come tale, ma vorrei capirla)

In quanto alla tua richiesta avevo così fatto (lascio perdere gli indici per comodità):

$(\partialL)/(\partial q)+(\partialL)/(\partial U)*((\partialU)/(\partial q)+(\partialU)/(\partial p)*(\partialp)/(\partial q))$

[Sk_Anonymous]

L'ultimo addendo non ha ragione di esistere, stai derivando solo rispetto a $q$. Ricordati che nello spazio delle fasi $p$ sarà anche il momento coniugato a $q$ ma non dipende da essa. Quindi se proprio vuoi scrivere quell'ultimo addendo la derivata dell'impulso rispetto alla coordinata è nullo.

[vastità]

Ok, sarebbe

$(\partialL)/(\partial q)+(\partialL)/(\partial U)*((\partialU)/(\partial q))$

potrei essere d'accordo , ma...

Quei diamine delle inverse di Phi da dove saltano fuori? (mi riferisco alla pic)

Scusa ma sono un po' tonto

[Sk_Anonymous]

Sarà sicuramente scritto sul testo perché applica quella operazione no? Comunque la trasformata di legendre è usata per passare dalla lagrangiana all'hamiltoniana pur di raddoppiare le equazioni differenziali (da n al secondo ordine a 2n al primo ordine come puoi vedere). Per valutare il contesto andrebbe letto tutto ciò che c'è prima di questo stralcio che hai riportato, francamente non ricordo i dettagli andrebbe guardato.

[vastità]

No certo, sono d'accordissimo sul fatto che la trasformata di Legendre passi all'hamiltoniana.

Quello su cui non ero d'accordo (nel senso che non capisco) è l'uguaglianza dei due membri dell'ultima riga, nel senso che se L tilde me lo definisce come $\tildeL=(p,u)$, allora la derivata di questa L tilde rispetto alla coordinata lagrangiana dovrebbe essere quella scritta da me nell'ultimo post, senza quella mappa di legendre.

Intendevo questo

[Sk_Anonymous]

Pone $\tildeL= L o \Phi^(-1)$ . Se ci togli la trasformata ti resta la lagrangiana e non potrai mai ottenere le equazioni del moto nello spazio delle fasi.

[vastità]

parOk, mi son spiegato male su una cosa, intendevo che:

$\Phi^(-1)$ in componenti è: $U^\lambda(q^\mu,p_\mu)$

Ora:

$\tildeL= L o \Phi^(-1)= L(q^\mu,U^\lambda(q^\mu,p_\mu))$

Quindi in realtà svolgere la derivata

$\partial/(\partial q^\mu)(L o \Phi^(-1))$

in componenti è svolgere:

$(\partial\tildeL)/(\partialq^\mu)$

Ma da questa esce:

$(\partialL)/(\partial q)+(\partialL)/(\partial U)*((\partialU)/(\partial q))$

e non l'ultima riga dell'immagine mostata in apertura.

sbaglio?

[Sk_Anonymous]

Sì non avevo capito bene cosa intendessi. Potresti avere ragione ma come ho detto non ricordo bene i dettagli su come agisce legendre e sto preparando i bagagli per l'imminente vacanza quindi non ho modo di rispolverare la cosa. Mi spiace non poterti aiutare di più.

[vastità]

Mi hai aiutato in ongi caso davvero molto sia qui che nell'altra. Sei stato gentilissimo..
Ci ragionerò su ancora un po'


Ti auguro buone vacanze!!