Passaggio oscuro teorema di Poynting

[Studente ingegneria]

Per dimostrare il teorema di Poynting ho trovato sugli appunti un passaggio poco chiaro che sfrutta le densità di energia sia elettrostaticca che magnetostatica.
$1/2(del (\vec B * \vec H))/(del t)= 1/2 (del (1/ \mu\vec B* \vec B)) /(del t) = 2/2 1/\mu \vec B (del \vec B)/(del t) = \vec H * (del \vec B )/ (del t)$
Perchè resta ancora l'operatore di derivata dopo che ho derivato e quindi ho $ 2 \vec B$ ?
Passaggio analogo per l'altra relazione.....$1/2(del (\vec D * \vec E))/(del t)=\vec E * (del \vec D )/ (del t) $
se sono stata poco chiara ditelo che vedrò di spiegarmi meglio.
Grazie.

[Thomas16]

attento... pensa per analogia ad uno scalare dipendente dal tempo invece che ad un vettore... (è solo per chiarezza e diminuire il numero di componenti... le regole poi come vedi sono simili per i vettori!).. chiamialo $K$...

naturalmente sarà $K(t)$, una funzione del tempo... (NB: nel tuo caso B ha una dipendenza sia dal tempo che dallo spazio, per questo c'è la derivata parziale)...

vuoi derivare $(K*K)(t)$ rispetto al tempo... come fai? devi usare la regola di derivazione delle funzioni composte, infatti la funzione sopra è uguale alla composizione $f°K$ con $f: x->x^2$...

la regola è $(f°g)'(t)=f'(g(t))*g'(t)$

tu in sostanza ti sei dimenticato di inserire $g'(t)$

passando a più variabili concettualmente la cosa si complica un pò ed entrando in gioco differenziali e cose di questo tipo, il risultato comunque è formalmente uguale a quello del caso unidimensionale....

[dustofstar]

Innanzitutto ricorda la derivata di un prodotto:
$d(f*g)=(df)*g+f*(dg)$

quindi pensando a $vecB$ come ad una funzione $f$ avrai:
$(del(vecB*vecB))/(delt)=(del(vecB)*vecB+vecB*del(vecB))/(delt)= 2 (del(vecB)*vecB)/(delt)$

e quindi $1/2((del1/(\mu)vecB*vecB))/(delt)=1/(2*\mu)*(del(vecB*vecB))/(delt)=2/(2\mu)(delvecB)/(delt)*vecB=1/(\mu)(delvecB)/(delt)*vecB=(delvecB)/(delt)*vecH$