Particelle identiche: principio di indistinguibilità
Ho un grande dubbio sull'interpretazione intuitiva proposta riguardo questo principio, di cui trovo trattazione anche qui: https://people.sissa.it/~degironc/MQ/mq ... ode70.html
Il concetto è chiaro: nel caso quantistico, se 1 e 2 sono particelle identiche, l’evento “la particella 1 è in x1 e 2 è in x2” deve essere indistinguibile dall’evento “la particella 2 è in x1 e 1 è in x2” recitano altre dispense in rete.
In poche parole per l'indistinguibilità delle particelle devo simmetrizzare o antisimmetrizzare la funzione d'onda dato che:
Questo è quanto leggo. Ora il dubbio, non mi ci ritrovo con il senso degli indici posizione x1, x2 e dello stato a,b con il senso delle frasi, voglio dire:
quando scrivo $Phi_a(x_1)$ mi verrebbe da dire che la funzione d'onda della particella a modulo quadro nel punto x1 corrisponde alla densità di prob. di trovare la particella a in x1. Quindi quando scrivo $Phi_a(x_1)Phi_b(x_2)$ al massimo sto dicendo che la particella a nello stato $Phi_a$ con posizionamento in x1 è indistinguibile dalla particella b nello stato phi di b se posizionata se posizionata in x1.
Invece da quanto leggo nella dispensa sembra che x1 sia la particella a ma non mi sembra aver molto senso.
Inoltre non mi ritrovo sulla simmetrizzazione a questo punto perché (io l'avrei vista così) quando voglio simmetrizzare $Phi_a(x_1)Phi_b(x_2)$ vuol dire che non posso dire con certezza se in x1 si trovi la particella a o b, quindi posso avere una "probabilità" di avere anche b in x1, cioè $Phi_b(x_1)$ e viceversa che mi dona: $Phi_a(x_2)Phi_b(x_1)$.
Ma se tanto mi dà tanto, allora, seguendo quanto indicato nel quote, dovrei dire che: la particella a è denotata da x1 quindi mi scombussola tutto.
Però nemmeno il mio modo di vedere le cose torna troppo bene poiché da un'altra fonte trovo scritto: "la soluzione per l'indistinguibilità è creare una funzione d'onda che non dica alcunché riguardo quale particella si trovi in uno stato o nell'altro" e nella mia interpretazione in realtà la particella "a" si trova sempre nello stato $Phi_a$ per come vedo io le cose è solo che $Phi_a$ dà un "contributo" sia nella posizione x1 che x2. In altre parole io gioco solo sulla "variabile libera" dello stato non sullo stato in sé, mentre questa fonte sembra proprio dire che cambio stato della particella a.
Insomma qualcosa non funziona sia se la vedo in un modo che nell'altro e sono assai confuso, come vanno viste correttamente le cose?
Il concetto è chiaro: nel caso quantistico, se 1 e 2 sono particelle identiche, l’evento “la particella 1 è in x1 e 2 è in x2” deve essere indistinguibile dall’evento “la particella 2 è in x1 e 1 è in x2” recitano altre dispense in rete.
In poche parole per l'indistinguibilità delle particelle devo simmetrizzare o antisimmetrizzare la funzione d'onda dato che:
- “la particella 1 è nello stato a e la particella 2 è nello stato b” corrisponde a $Phi_a(x_1)Phi_b(x_2)$
- “la particella 2 è nello stato a e la particella 1 è nello stato b” corrisponde a $Phi_a(x_2)Phi_b(x_1)$
In definitiva: $Phi(x_1,x_2)=Phi_a(x_1)Phi_b(x_2)+-Phi_a(x_2)Phi_b(x_1)$
Questo è quanto leggo. Ora il dubbio, non mi ci ritrovo con il senso degli indici posizione x1, x2 e dello stato a,b con il senso delle frasi, voglio dire:
quando scrivo $Phi_a(x_1)$ mi verrebbe da dire che la funzione d'onda della particella a modulo quadro nel punto x1 corrisponde alla densità di prob. di trovare la particella a in x1. Quindi quando scrivo $Phi_a(x_1)Phi_b(x_2)$ al massimo sto dicendo che la particella a nello stato $Phi_a$ con posizionamento in x1 è indistinguibile dalla particella b nello stato phi di b se posizionata se posizionata in x1.
Invece da quanto leggo nella dispensa sembra che x1 sia la particella a ma non mi sembra aver molto senso.
Inoltre non mi ritrovo sulla simmetrizzazione a questo punto perché (io l'avrei vista così) quando voglio simmetrizzare $Phi_a(x_1)Phi_b(x_2)$ vuol dire che non posso dire con certezza se in x1 si trovi la particella a o b, quindi posso avere una "probabilità" di avere anche b in x1, cioè $Phi_b(x_1)$ e viceversa che mi dona: $Phi_a(x_2)Phi_b(x_1)$.
Ma se tanto mi dà tanto, allora, seguendo quanto indicato nel quote, dovrei dire che: la particella a è denotata da x1 quindi mi scombussola tutto.
Però nemmeno il mio modo di vedere le cose torna troppo bene poiché da un'altra fonte trovo scritto: "la soluzione per l'indistinguibilità è creare una funzione d'onda che non dica alcunché riguardo quale particella si trovi in uno stato o nell'altro" e nella mia interpretazione in realtà la particella "a" si trova sempre nello stato $Phi_a$ per come vedo io le cose è solo che $Phi_a$ dà un "contributo" sia nella posizione x1 che x2. In altre parole io gioco solo sulla "variabile libera" dello stato non sullo stato in sé, mentre questa fonte sembra proprio dire che cambio stato della particella a.
Insomma qualcosa non funziona sia se la vedo in un modo che nell'altro e sono assai confuso, come vanno viste correttamente le cose?
Risposte
"sgrisolo":
... quando scrivo $\Phi_a(x_1)\Phi_b(x_2)$ ... la particella $a$ ... è indistinguibile dalla particella $b$ ...
Veramente, quando scrivi:
$\Phi_a(x_1)\Phi_b(x_2)$
intendi che la particella $1$ è nello stato $a$ e che la particella $2$ è nello stato $b$, né più, né meno. Insomma, non esiste nessuna particella $a$ e nessuna particella $b$, piuttosto, esiste uno stato $a$ e uno stato $b$.
Ciao, grazie per la risposta.
Però non capisco, la particella 1 dipende dal pedice 1 della posizione x? Non mi è chiaro, voglio cioè dire. Se scrivo: $\Phi_a(x_2)\Phi_b(x_1)$ che la particella 1 è nello stato b e la 1 nello stato a?
Pensavo che lo stato dipendesse dalla particella, ossia che a particella a corrispondesse phi_a
Però non capisco, la particella 1 dipende dal pedice 1 della posizione x? Non mi è chiaro, voglio cioè dire. Se scrivo: $\Phi_a(x_2)\Phi_b(x_1)$ che la particella 1 è nello stato b e la 1 nello stato a?
Pensavo che lo stato dipendesse dalla particella, ossia che a particella a corrispondesse phi_a
Se scrivi:
intendi che la particella $2$ è nello stato $a$ e che la particella $1$ è nello stato $b$. Ad ogni modo, poiché contano solo i numeri di occupazione, nel caso in cui si abbiano due particelle in due stati differenti $a$ e $b$, al netto della normalizzazione, se le due particelle sono bosoni:
se le due particelle sono fermioni:
Hai fatto riferimento solo alla particella $1$. Probabilmente una svista.
$\Phi_a(x_2)\Phi_b(x_1)$
intendi che la particella $2$ è nello stato $a$ e che la particella $1$ è nello stato $b$. Ad ogni modo, poiché contano solo i numeri di occupazione, nel caso in cui si abbiano due particelle in due stati differenti $a$ e $b$, al netto della normalizzazione, se le due particelle sono bosoni:
$\Phi_a(x_1)\Phi_b(x_2)+\Phi_a(x_2)\Phi_b(x_1)$
se le due particelle sono fermioni:
$\Phi_a(x_1)\Phi_b(x_2)-\Phi_a(x_2)\Phi_b(x_1)$
"sgrisolo":
... che la particella $1$ è nello stato $b$ e la $1$ nello stato $a$ ...
Hai fatto riferimento solo alla particella $1$. Probabilmente una svista.
Ho capito, grazie! 
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