Particelle e pacchetti d'onda - Principio di Heisenberg
Sto cercando di capire le considerazioni che hanno portato al principio di indeterminazione di Heisenberg, ma non riesco proprio a capire questa frase (Alonso-Finn, vol.3):
"Il fatto che l'ampiezza del campo materiale sia la stessa per tutto lo spazio fa sì che il campo materiale di una particella libera non dia informazioni per quanto riguarda la localizzazione nello spazio di una particella libera avente quantità di moto ben definita. In altre parole il campo materiale è indipendente dalla posizione della particella ed un'osservazione del campo con qualunque mezzo non è in grado di rivelare la posizione della particella stessa."
Premetto che ho ben chiaro il significato del principio di indeterminazione di Heisenberg; quello che non riesco a capire è il passaggio precedente ed in particolare il ruolo giocato dalla velocità di fase e dalla velocità di gruppo del campo materiale.
Scusate la domanda ma è il mio primo approccio alla fisica moderna!
"Il fatto che l'ampiezza del campo materiale sia la stessa per tutto lo spazio fa sì che il campo materiale di una particella libera non dia informazioni per quanto riguarda la localizzazione nello spazio di una particella libera avente quantità di moto ben definita. In altre parole il campo materiale è indipendente dalla posizione della particella ed un'osservazione del campo con qualunque mezzo non è in grado di rivelare la posizione della particella stessa."
Premetto che ho ben chiaro il significato del principio di indeterminazione di Heisenberg; quello che non riesco a capire è il passaggio precedente ed in particolare il ruolo giocato dalla velocità di fase e dalla velocità di gruppo del campo materiale.
Scusate la domanda ma è il mio primo approccio alla fisica moderna!
Risposte
Il problema è che la funzione d'onda di una particella libera $\psi(x,t) = e^{i(kx-\omegat)}$ non è normalizzabile. Infatti il modulo quadro, che ha il significato fisico di una densità di probabilità, è pari a $|\psi(x,t)|^2 = 1$, il che vuol dire che la probabilità di trovare la particella è uguale in qualsiasi punto dello spazio.
Invece il pacchetto d'onda dato da $\psi(x,t) = 1/{\sqrt(2\pi)}\int_{-infty}^{+infty}\phi(k)e^{i(kx-\omegat)}dk$ può essere reso normalizzabile attraverso un'opportuna scelta di $\phi(k)$, in questo caso però non hai più un'energia e una velocità definita come nel caso della particella libera.
Infine la velocità di fase e di gruppo sono definite esattamente come per le onde elettromagnetiche.
Invece il pacchetto d'onda dato da $\psi(x,t) = 1/{\sqrt(2\pi)}\int_{-infty}^{+infty}\phi(k)e^{i(kx-\omegat)}dk$ può essere reso normalizzabile attraverso un'opportuna scelta di $\phi(k)$, in questo caso però non hai più un'energia e una velocità definita come nel caso della particella libera.
Infine la velocità di fase e di gruppo sono definite esattamente come per le onde elettromagnetiche.
Sempre tu? Grazie ancora! 
forse la mia aggiunta è scontata, ma non costa nulla dirla...
Una volta che si definisce il pacchetto d'onda come trasformata di fourier allora il principio di indeterminazione è conseguenza di una delle proprietà della trasformata $\Deltak \Deltax>=1/2$
A questo punto mi saprete dire come Heisenberg ricava il principio? cerco di essere più chiaro... Heisenberg storicamente ricava il principio da questa considerazione oppure dalla sua formulazione della meccanica quantistica, cioè la meccanica delle matrici?
Una volta che si definisce il pacchetto d'onda come trasformata di fourier allora il principio di indeterminazione è conseguenza di una delle proprietà della trasformata $\Deltak \Deltax>=1/2$
A questo punto mi saprete dire come Heisenberg ricava il principio? cerco di essere più chiaro... Heisenberg storicamente ricava il principio da questa considerazione oppure dalla sua formulazione della meccanica quantistica, cioè la meccanica delle matrici?
"Yak52":
A questo punto mi saprete dire come Heisenberg ricava il principio? cerco di essere più chiaro... Heisenberg storicamente ricava il principio da questa considerazione oppure dalla sua formulazione della meccanica quantistica, cioè la meccanica delle matrici?
A vedere qui si direbbe che l'abbia ricavato da queste considerazioni (in particolare considerando solo il caso del pacchetto gaussiano).
non conosco i risvolti storici della cosa, ma la formulazione algebrica del principio di indeterminazione è nettamente più elegante
la si trova sul Sakurai (e anche altrove probabilmente), e si parte dalla definizione degli operatori $DeltaA=A- $ e $DeltaB = B - $ fino ad arrivare alla legge generale
$ >= 1/4 < [A,B]> ^2 $
che sicuramente Heisenberg avrebbe apprezzato.
tra l'altro ricordo con affetto quel paragrafo del Sakurai in quanto spazza via completamente la vulgata secondo cui il principio di indeterminazione ha a che fare con lo strumento di misura (idea che addirittura si trova su alcuni libri lowprofile, tipo Griffiths o Resnick, per non parlare ovviamente dall'Halliday)
la si trova sul Sakurai (e anche altrove probabilmente), e si parte dalla definizione degli operatori $DeltaA=A- $ e $DeltaB = B - $ fino ad arrivare alla legge generale
$
che sicuramente Heisenberg avrebbe apprezzato.
tra l'altro ricordo con affetto quel paragrafo del Sakurai in quanto spazza via completamente la vulgata secondo cui il principio di indeterminazione ha a che fare con lo strumento di misura (idea che addirittura si trova su alcuni libri lowprofile, tipo Griffiths o Resnick, per non parlare ovviamente dall'Halliday)
Infatti quella che ha detto wedge è la formulazione che nel nostro corso formale ci hanno fatto... è sicuramente quella più elegante e la dimostrazione, da quel che ricordo, non è difficile.
ma credo cmq, come dice Eredir, che Heisenberg all'inizio la ricavò proprio grazie a Fourier... diciamo che la mia domanda voleva più essere una conferma, in quanto non mi ricordo come, ma avevo già sentito questa cosa ed ero rimasto sorpreso.
ma credo cmq, come dice Eredir, che Heisenberg all'inizio la ricavò proprio grazie a Fourier... diciamo che la mia domanda voleva più essere una conferma, in quanto non mi ricordo come, ma avevo già sentito questa cosa ed ero rimasto sorpreso.
Il fatto come dici tu wedge che alcuni libri dicono che il principio di indeterminazione ha a che fare con lo strumento di misura mi pare abbastanza grave... forse questo deriva dal fatto che molti testi enunciano il principio con l'esempio dell'elettrone colpito dal fotone. Dunque il fotone, atto a rivelare la posizione dell'elettrone, modifica la sua velocita ecc...
E' dunque utile sottolineare che invece il principio deriva dalla non commutazione di certe osservabili fisiche (come ben fa vedere la formulazione scritta da wedge) e quindi dall'algebra non commutativa che caratterizza la natura quantistica, che è indipendente dallo strumento.
E' dunque utile sottolineare che invece il principio deriva dalla non commutazione di certe osservabili fisiche (come ben fa vedere la formulazione scritta da wedge) e quindi dall'algebra non commutativa che caratterizza la natura quantistica, che è indipendente dallo strumento.
"Yak52":
Il fatto come dici tu wedge che alcuni libri dicono che il principio di indeterminazione ha a che fare con lo strumento di misura mi pare abbastanza grave... forse questo deriva dal fatto che molti testi enunciano il principio con l'esempio dell'elettrone colpito dal fotone. Dunque il fotone, atto a rivelare la posizione dell'elettrone, modifica la sua velocita ecc...
sono d'accordissimo con te. infatti non sono veri libri di MQ (tipo Cohen-Tannoudji, Messiah, Sakurai, Landau e altri) ma semplici surrogati.
l'esempio del microscopio che con i suoi fotoni sposta gli elettroni è utile a capire l'indeterminazione euristicamente parlando (magari tutta la popolazione lo conoscesse!), ma è una bestialità formale e concettuale per chiunque studia Fisica.
PS il fatto che il buon vecchio Erwin fosse partito da Fourier invece mi ha sorpreso non poco
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