Particella quantistica libera
Ho su $R$ particella libera quantistica che obbedisce alla
$(del\psi)/(delt)=-1/2\Delta\psi$
come dato iniziale ho $\psi_0(x)=sqrt(2/\pi)e^(ipx)/(1+x^2)$ con p>0
allora dimostrare che per ogni tempo positivo è più probabile che la particella si trovi a destra dell'origine.
(ovvero che l'integrale da 0 a infinito del modulo della soluzione al quadrato sia maggiore di $1/2$).
Io ho provato a scrivere la soluzione integrando con la funzione di green ma non riesco a far vedere che quell'integrale è maggiore di $1/2$, ho provato a derivare rispetto al tempo la probabilità e non sono arrivato da nessuna parte, ho provato a derivare la corrente di probabilità ma inutilmente. Forse c'è un modo che non passa per la soluzione...
$(del\psi)/(delt)=-1/2\Delta\psi$
come dato iniziale ho $\psi_0(x)=sqrt(2/\pi)e^(ipx)/(1+x^2)$ con p>0
allora dimostrare che per ogni tempo positivo è più probabile che la particella si trovi a destra dell'origine.
(ovvero che l'integrale da 0 a infinito del modulo della soluzione al quadrato sia maggiore di $1/2$).
Io ho provato a scrivere la soluzione integrando con la funzione di green ma non riesco a far vedere che quell'integrale è maggiore di $1/2$, ho provato a derivare rispetto al tempo la probabilità e non sono arrivato da nessuna parte, ho provato a derivare la corrente di probabilità ma inutilmente. Forse c'è un modo che non passa per la soluzione...
Risposte
Se esista un modo semplice non lo so, io sono andato a forza bruta.
Allora, prima riscrivo la $ \psi_0 (x) $ in rappresentazione di Fourier ottenendo
$ \psi_0 (x) = \frac{sqrt(2)}{\pi} \frac{e^(ipx)}{1+x^2} = \int_(-\infty)^(+\infty) \frac{dk}{\pi sqrt(2)}e^(-|p-k|)e^(ikx) $
alla quale applico l'operatore di evoluzione temporale $ U = exp(-iHt) $ dove l'hamiltoniano è ovviamente $ H = \frac{p^2}{2m} = -\frac{\nabla^2}{2m} $
ottengo così
$ \psi (x,t)=U\psi_0 (x)=\int_(-\infty)^(+\infty) \frac{dk}{\pi sqrt(2)}exp(-i\frac{k^2t}{2m}+ikx-|p-k|) $
questo integrale non può essere risolto esattamente perché il modulo nella fase non mi permette di completare il quadrato, però il fattore $ e^{-|p-k|} $ fa sì che solo i valori di $ k $ prossimi a $ p $ contribuiscano significativamente all'integrale. Quindi sviluppo la fase al primo ordine in $ k $ intorno a $ p $ ottenendo
$ \psi (x,t)~~\frac{e^{i\frac{p^2t}{2m}}}{\pi \sqrt(2)}\int_(-\infty)^(+\infty) exp[ik(x-\frac{pt}{m}) - |p-k|] dk$
questo integrale può essere calcolato esattamente ottenendo
$ \psi (x,t)=\frac{sqrt(2)}{\pi} \frac{exp[ip(x-v/2t)]}{1+(x-vt)^2} $
dove $ v=p/m > 0 $ per ipotesi, quindi ho ottenuto un onda che si propaga verso destra
Se ora calcolo la densità di probabilità ottengo
$ \rho(x,t) = \bar \psi \psi = \frac{2}{\pi^2}[\frac{1}{1+(x-vt)^2}]^2$
quindi si vede che la densità di probabilità ha un massimo per $ x = vt $, ovvero il massimo si propaga verso destra.
Salvo qualche svista, i risultati sono questi.
Allora, prima riscrivo la $ \psi_0 (x) $ in rappresentazione di Fourier ottenendo
$ \psi_0 (x) = \frac{sqrt(2)}{\pi} \frac{e^(ipx)}{1+x^2} = \int_(-\infty)^(+\infty) \frac{dk}{\pi sqrt(2)}e^(-|p-k|)e^(ikx) $
alla quale applico l'operatore di evoluzione temporale $ U = exp(-iHt) $ dove l'hamiltoniano è ovviamente $ H = \frac{p^2}{2m} = -\frac{\nabla^2}{2m} $
ottengo così
$ \psi (x,t)=U\psi_0 (x)=\int_(-\infty)^(+\infty) \frac{dk}{\pi sqrt(2)}exp(-i\frac{k^2t}{2m}+ikx-|p-k|) $
questo integrale non può essere risolto esattamente perché il modulo nella fase non mi permette di completare il quadrato, però il fattore $ e^{-|p-k|} $ fa sì che solo i valori di $ k $ prossimi a $ p $ contribuiscano significativamente all'integrale. Quindi sviluppo la fase al primo ordine in $ k $ intorno a $ p $ ottenendo
$ \psi (x,t)~~\frac{e^{i\frac{p^2t}{2m}}}{\pi \sqrt(2)}\int_(-\infty)^(+\infty) exp[ik(x-\frac{pt}{m}) - |p-k|] dk$
questo integrale può essere calcolato esattamente ottenendo
$ \psi (x,t)=\frac{sqrt(2)}{\pi} \frac{exp[ip(x-v/2t)]}{1+(x-vt)^2} $
dove $ v=p/m > 0 $ per ipotesi, quindi ho ottenuto un onda che si propaga verso destra
Se ora calcolo la densità di probabilità ottengo
$ \rho(x,t) = \bar \psi \psi = \frac{2}{\pi^2}[\frac{1}{1+(x-vt)^2}]^2$
quindi si vede che la densità di probabilità ha un massimo per $ x = vt $, ovvero il massimo si propaga verso destra.
Salvo qualche svista, i risultati sono questi.